2022年一類求三角形面積的極值問題的解題思路與方法

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載 一類求三角形面積的極值問題的解題思路與方法 問題： 過點(diǎn) P 2,3 的直線與 x 軸, y 軸的正半軸分別相交于點(diǎn) A, B ,求 ABO 的 面積最小值,以及此時(shí)所對應(yīng)的直線方程； 解答這類問題的思路是：建立函數(shù)關(guān)系,利用有關(guān)函數(shù)的基本理論以及不等式的學(xué)問, 求出目標(biāo)函數(shù)的最值； 在爭論函數(shù)的最值時(shí), 要留意函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)值的限制； 在運(yùn)用均值不等式求最值 時(shí),要留意取等號(hào)的條件是否具備；構(gòu)造一元二次方程,利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí),判 別式為非負(fù)數(shù),求最值； 解答這類問題的常用解題方法如下： 一, 利用三角函數(shù)的有界性求解 解法 1： 設(shè)過點(diǎn) P 2,3 的直

2、線方程為： x y 1 ,就 2 3 1 ,于是可設(shè) a b a b2 3a 2, b 2； cos sin 1 3 12 記 ABO 的面積為 S ,就 S ab = 2 2 22 sin cos sin 2 2由于 00, b 0.所以 b 3 . b39 9于是： b 3 2 b 3 6 ； b 3 b 3所以： S= b 3 9 6 12 ； b3解法 4：設(shè)過點(diǎn) P 2,3 的直線方程為： x y 1 ,就 2 3 1 ,于是 ab 3a 2b a b a b由于直線與 x 軸, y 軸的正半軸相交,所以 a 0,b 0 ；利用均值不等式得： ab 3a 2b 2 6ab , ab

3、ab 26 0 ,而 ab 0 ,所以 ab 24 ； 記 ABO 的面積為 S,就 S 1 ab 12 2當(dāng)且僅當(dāng) 3a 2b 且 24 時(shí), a 4,b 6 ；面積有最小值 S 12 ； ab 第 2 頁,共 3 頁所求的直線方程為： x y 1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載 46評(píng)注 ： 此題利用均值不等式,產(chǎn)生一個(gè)新的不等式,解這個(gè)不等式求出 ab 的最值,從而獲解； 小 三,判別式法 解法 5：設(shè)過點(diǎn) P 2,3 的直線方程為： y 3k x 2 , k 0直線與 x 軸, y 軸的正半軸分別相交于點(diǎn) A 2 3 ,0 , B 0,3 k 2k . 由圖知 記 ABO 的面積為 S,就 S

4、12332k 2k 化簡得： 4k 2 2s 12 k 90（ 1） 將上式視為關(guān)于 k 的一元二次方程,由于 k R,所以, 0 ； 即 2 s 12 24490S 12 或 S 0舍去）； k 3 2面積的最小值是： S 12,代入（ 1）得： 此時(shí)所對應(yīng)的直線方程為： y 33x 23x 2 y 12 2評(píng)注： 上述方法就是構(gòu)造一元二次方程,利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí),判別式為 非負(fù)數(shù),求解； 解法 6：設(shè)過點(diǎn) P 2,3 的直線方程為： x y 1,就 2 3 1 ,于是 a2b aba b b3由于直線與 x 軸, y 軸的正半軸相交,就 a0,b 0 ； 記 ABO 的面積為 S,就 S 1 ab= 212b bb232b 3 b化簡得： b2Sb 3S 0（ 2） 將上式視為關(guān)于 b 的一元二次方程,由于 bR,所以, 0 ； 即 S 2 43S 0 S 12 ；由于 S 0面積的最小值是： S 12,代入（ 2）得： b6 ,