曲線積分與曲面積分20707課件

1、曲線積分與曲面積分【例11.1】設(shè)平面曲線 為下半圓周 ，則曲線積分解：的方程又可寫成 被積函數(shù)在 上取值，于是，原積分(半徑為1的半圓周長(zhǎng))方法二，寫出的參數(shù)方程方法一，則【例11.2】計(jì)算其中是曲線從A（1,0）到B（2,0）的一段弧【解析】選y為參數(shù)x=1-y: 【例11.3】設(shè) 是平面 在第一卦線上的部分，則解析：因?yàn)樗浴纠?1.4】設(shè) 其中 是介于 和 下側(cè).解：取下側(cè)故曲線上任意一點(diǎn)處法向量所以【例11.5】設(shè)是由錐面 與半球面圍城的空間區(qū)域，是 的整個(gè)邊界的外圍，則【解析】以表示由與半球面所圍成的有界閉區(qū)域，有高斯公式得【例11.6】計(jì)算曲線積分其中L是第一象限內(nèi)從點(diǎn)A(0,1

2、)到點(diǎn)B(1,0)的單位圓弧【解析】則【例11.7】計(jì)算其中L為拋物線 上從點(diǎn)A（1，-1）到點(diǎn)B(1,1)的一段弧【解析】將所給積分化為對(duì)y的定積分來計(jì)算，則【例11.8】計(jì)算曲線積分 其中L是以點(diǎn)（1,0）為中心的，R為半徑的圓周（R1),取逆時(shí)針方向?！窘馕觥坑?且P(x,y)與Q（x,y)滿足作足夠小的橢圓：則由復(fù)連同域上格林公式有備注： 本題的方法叫“挖洞法”設(shè)P(x,y),Q(x,y)在以L為邊界線的閉區(qū)域D內(nèi)除 外有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 則【例11.9】設(shè)函數(shù)f(u)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)A(1,1),B(3,3), 為以 為直徑的左上半個(gè)圓弧，從A到B，求【解析】設(shè)P=由題意：添

3、直線段自B至A,記為3）備注：添加輔助線構(gòu)成閉曲線其中L+ 構(gòu)成正向閉合曲線，P,Q所在L+ 所圍成閉曲線內(nèi)具有 連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。【例11.10】計(jì)算【解析】設(shè)為錐面為z=1上部分，在xoy面投影為則所以【例11.11】計(jì)算之間部分下側(cè)【解析】原式=-【例11.12】計(jì)算曲面積分其中 是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與y軸正向的夾角恒大于 【解析】積分曲線 的方程為添加曲面其法向量與y軸正向相同，設(shè) 所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，則有其中D（y）:3)注：添加:輔助曲面構(gòu)成閉曲面其中 構(gòu)成閉曲面 指向 的外側(cè)【例11.13】計(jì)算的上側(cè)。【解析】添加構(gòu)成封閉曲面令所以原式=【例11.14】計(jì)算被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界，它的方向與這個(gè)三角形上側(cè)