北師大版高中數(shù)學(xué)必修2 專題 3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

1、北師大版高中數(shù)學(xué)必修2 專題 3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c若 c2+2ab=a2+b2+6，C=23，則 ABC 的面積是 A 3 B 332 C 32 D 33 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 A=60，b=1，SABC=3，則 a+2b+csinA+2sinB+sinC= A 2393 B 2633 C 833 D 23 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，S 表示 ABC 的面積若 ccosB+bcosC=asinA，S=34b2+a2c2，則 B= A 90 B 6

2、0 C 45 D 30 在 ABC 中，cos2B2=a+c2c（a，b，c 分別為角 A，B，C 的對邊），則 ABC 的形狀為 A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，則下列結(jié)論正確的有 A若 AB，則 sinAsinB B若 sin2A=sin2B，則 ABC 一定為等腰三角形C若 acosBbcosA=c，則 ABC 一定為直角三角形D若 B=3，AB=2，且該三角形有兩解，則邊 AC 的范圍是 3,+ 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c若 ac=8，a+c=7，B=3，則

3、b= 在 ABC 中，已知 a=8，b=5，面積為 12，則 cos2C= 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c若 c2=ab2+4，C=3，則 ABC 的面積是 A 3 B 3 C 33 D 332 已知 ABC 是等腰直角三角形，點 D 在線段 BC 的延長線上若 BC=AD=22，則 CD= A 1 B 2 C 63 D 62 如圖，為了測量某濕地 A，B 兩點間的距離，觀察者找到在同一條直線上的三點 C，D，E從 D 點測得 ADC=67.5，從 C 點測得 ACD=45，BCE=75，從 E 點測得 BEC=60若測得 DC=23，CE=2（單位：百米），則

4、A，B 兩點間的距離為 A 6 B 22 C 3 D 23 已知 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，點 M 在邊 AB 上，且 AM=13AB，b=2，CM=273，2sinAsinBsin2B=cb，則 SABC= A 334 B 3 C 23 D 833 如圖，在 ABC 中，已知點 D 在 BC 邊上，ADAC，sinBAC=223，AB=32，AD=3，則 BD= 在 ABC 中，D 是 BC 邊上一點，BAD=DAC=60，BC=7，且 ABD 與 ADC 面積之比為 53，則 AD= 已知 ABC 同時滿足下列四個條件中的三個： A=3； cosB=23； a

5、=7； b=3(1) 請指出這三個條件，并說明理由；(2) 求 ABC 的面積在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且 ccosB+bcosC=3acosB(1) 求 cosB 的值；(2) 若 c=2，ABC 的面積為 22，求 b 的值一船自西向東勻速航行，上午 10 時到達一座燈塔 P 的南偏西 75 距塔 68 海里的 M 處，下午 2 時到達這座燈塔的東南方向的 N 處，則這只船的航行速度為 A1762 海里/小時B346 海里/小時C1722 海里/小時D342 海里/小時如圖所示，為了測量 A，B 處島嶼的距離，小明在 D 處觀測，A，B 分別在 D 處的

6、北偏西 15，北偏東 45 方向，再往正東方向行駛 40 海里至 C 處，觀測 B 在 C 處的正北方向，A 在 C 處的北偏西 60 方向，則 A，B 兩處島嶼間的距離為 A 206 海里B 406 海里C 201+3 海里D 40 海里中華人民共和國國歌有 84 個字，37 小節(jié)，奏唱需要 46 秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度 15 的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為 60 和 30，第一排和最后一排的距離為 102 米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為 A 3323（米

7、/秒）B 5323（米/秒）C 7323（米/秒）D 8323（米/秒）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點 A 處下山至 C 處有兩種路徑一種是從 A 沿直線步行到 C另一種是先從 A 沿索道乘纜車到 B然后從 B 沿直線步行到 C現(xiàn)有甲、乙兩位游客從 A 處下山，甲沿 AC 勻速步行，速度為 50m/min在甲出發(fā) 2min 后，乙從 A 乘纜車到 B，在 B 處停留 1min 后，再從 B 勻速步行到 C假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為 130m/min，山路 AC 長為 1260m，經(jīng)測量，cosA=1213，cosC=35當乙出發(fā) min 時，乙在纜車上與甲的距離最短已知 ABC 的內(nèi)角 A，B

8、，C 滿足 cos2A+cos2B=1+cos2C，且 2sinAsinB=sinC，則下列結(jié)論正確的是 A A=B，C2 B AB，C=2 C AB，C2 D A=B，C=2 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且滿足 b2+c2a2=bc，a=3，則 b+c 的取值范圍是 A 1,3 B 3,23 C 3,33 D 3,333 在 ABC 中，B=60，AC=3，則 AB+2BC 的最大值為 如圖，在 ABC 中，AC=BC，C=2，點 O 是 ABC 外一點，OA=2，OB=1，則平面四邊形 OACB 面積的最大值是 在平面四邊形 ABCD 中，已知 AB=26

9、，AD=3，ADB=2ABD，BCD=3(1) 求 BD；(2) 求 BCD 周長的最大值在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 c=1，A=23，且 ABC 的面積為 32 .(1) 求 a 的值；(2) 若 D 為 BC 上一點，且 ，求 sinADB 的值從 AD=1， CAD=6 這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答答案1. 【答案】C【解析】由 c2+2ab=a2+b2+6，可得 c2=a2+b22ab+6由 C=23 及余弦定理可知 c2=a2+b22abcosC=a2+b2+ab，所以 a2+b22ab+6=a2+b2+ab，所以 ab=2多以

10、 SABC=12absinC=32【知識點】余弦定理2. 【答案】A【解析】由題知 SABC=12bcsinA=34c=3，所以 c=4，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=1+164=13，所以 a=13由正弦定理 asinA=bsinB=csinC，得 a+2b+csinA+2sinB+sinC=asinA=1332=2393故選A【知識點】余弦定理、正弦定理3. 【答案】D【解析】由 ccosB+bcosC=asinA 及正弦定理得 sinCcosB+sinBcosC=sin2A，則 sinC+B=sin2A，即 sinA=sin2A又 sinA0，所以 sinA=1又因為 0

11、A180，所以 A=90由余弦定理、三角形面積公式及 S=34b2+a2c2，得 12absinC=34b2+a2c2，即 12absinC=342abcosC，整理得 tanC=3又 0C90，所以 C=60，故 B=30【知識點】余弦定理、正弦定理4. 【答案】B【解析】因為 cos2B2=1+cosB2，cos2B2=a+c2c，所以 1+cosBc=a+c，所以 a=cosBc=a2+c2b22a，所以 2a2=a2+c2b2，所以 a2+b2=c2，所以 ABC 為直角三角形【知識點】判斷三角形的形狀5. 【答案】A；C【解析】由正弦定理及大邊對大角可知A正確；由 sin2A=sin

12、2B 可得 A=B 或 A+B=2，則 ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；由正弦定理可得 sinAcosBsinBcosA=sinC，又 sinC=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，則 cosAsinB=0因為 0B，所以 sinB0，所以 cosA=0，因為 0A，所以 A=2，故C正確；D結(jié)合 ABsinB=3 及畫圓弧法可知，只有 3AC2 時滿足條件，故D錯誤【知識點】正弦定理6. 【答案】 5 【解析】由題知 ac=8，a+c=7，B=3，由余弦定理 b2=a2+c22accosB，得 b2=a2+c2ac=a+c23ac=7238=25，則 b=5【知識點

13、】余弦定理7. 【答案】 725 【解析】由題知在 ABC 中，a=8，b=5，面積為 12，則 12absinC=20sinC=12，解得 sinC=35，所以 cos2C=12sin2C=12925=725【知識點】正弦定理8. 【答案】B【解析】由 c2=ab2+4 可得 c2=a2+b22ab+4，又由余弦定理得 c2=a2+b22abcos3=a2+b2ab，所以 2ab+4=ab，解得 ab=4則 SABC=12absinC=12432=3【知識點】余弦定理9. 【答案】D【解析】由 ABC 是等腰直角三角形及 BC=AD=22 可知 ABC 是以 BAC 為直角的等腰直角三角形，

14、如圖所以 AC=2又因為 ACD=135，所以 cos135=CD2+484CD=22，化簡得 CD2+22CD4=0，解得 CD=62 或 CD=62（舍去）【知識點】余弦定理10. 【答案】C【解析】在 ADC 中，ACD=45，ADC=67.5，則 DAC=1804567.5=67.5，所以 AC=DC=23在 BCE 中，BCE=75，BEC=60，則 EBC=1807560=45，由正弦定理 CEsinEBC=BCsinBEC，得 BC=CEsinBECsinEBC=23222=3則在 ABC 中，AC=23，BC=3，ACB=180ACDBCE=60，由余弦定理得 AB2=AC2+

15、BC22ACBCcosACB=9，則 AB=3【知識點】解三角形的實際應(yīng)用問題11. 【答案】B【解析】由題知在 ABC 中，2sinAsinBsin2B=cb，所以 2sinAsinBsin2B=sinCsinB，所以 2sinCcosB=2sinAsinB，所以 2sinCcosB=2sinBcosC+cosBsinCsinB，解得 cosC=12又 0C0由余弦定理 AB2+AC22ABACcos120=BC2，得 25k2+9k2+15k2=49，解得 k=1所以 AB=5，AC=3，故 cosB=AB2+BC2AC22ABBC=1314因為 BDDC=53，且 BD+DC=7，故 B

16、D=358，DC=218又 AD2=AB2+BD22ABBDcosB=25+122564253581314=22564, 所以 AD=158【知識點】余弦定理14. 【答案】(1) ABC 同時滿足，理由如下：若 ABC 同時滿足，因為 cosB=2323，所以 A+B，矛盾，所以 ABC 只能同時滿足，所以 ab，所以 AB，故 ABC 不滿足，故 ABC 滿足，(2) 因為 a2=b2+c22bccosA，所以 72=32+c223c12，解得 c=8 或 c=5（舍），所以 ABC 的面積 S=12bcsinA=63【知識點】余弦定理、正弦定理15. 【答案】(1) 在 ABC 中，由正

17、弦定理及 ccosB+bcosC=3acosB，得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，所以 sinC+B=3sinAcosB，又因為 sinC+B=sinA，所以 sinA=3sinAcosB，因為 A0,，所以 sinA0，所以 cosB=13(2) 因為角 B 是 ABC 的內(nèi)角，所以 sinB0，sinB=1cos2B=223，又 SABC=12acsinB，所以 12a2223=22，解得 a=3，在 ABC 中，由余弦定理得 2accosB=a2+c2b2，所以 23213=32+22b2，解得 b=3【知識點】余弦定理、正弦定理16. 【答案】A【解析】如圖所

18、示，在 PMN 中，PMsin45=MNsin120，所以 MN=6832=346，所以 v=MN4=1726（海里/小時）【知識點】解三角形的實際應(yīng)用問題17. 【答案】A【解析】在 ACD 中，ADC=15+90=105，ACD=9060=30，所以 CAD=45由正弦定理可得 CDsinCAD=ADsinACD，解得 AD=CDsinACDsinCAD=401222=202在 RtDCB 中，BDC=45，所以 BD=2CD=402在 ABD 中，由余弦定理可得 AB2=AD2+BD22ADBDcosADB=800+3200220240212=2400, 解得 AB=206（海里）所以

19、A，B 兩處島嶼間的距離為 206 海里【知識點】解三角形的實際應(yīng)用問題18. 【答案】B【解析】如圖，由題得 HAB=45，HBA=105，所以 AHB=30在 HAB 中，由正弦定理得 HBsinHAB=ABsinAHB，即 HBsin45=102sin30，解得 HB=20，則在 BHD 中，OH=HBsinHBO=20sin60=103，所以升旗的速度應(yīng)為 10346=5323（米/秒）【知識點】解三角形的實際應(yīng)用問題19. 【答案】 3537 【解析】在 ABC 中，因為 cosA=1213，cosC=35，所以 sinA=513，sinC=45，從而 sinB=sinA+C=sin

20、A+C=sinAcosC+cosAsinC=51335+121345=6365. 由正弦定理得 ABsinC=ACsinB，得 AB=ACsinCsinB=1260456365=1040，所以乙在 AB 段的時間 0t1040130，即 0t8假設(shè)乙出發(fā) 1 分鐘時，甲，乙兩游客的距離為 d，此時，甲行走了 100+50t，乙距離 A 處的距離為 130t，由余弦定理得 d2=100+50t2+130t22130t100+50t1213=20037t270t+50=20037t35372+62537. 因為 0t8，所以當 t=3537 時，乙在纜車上與甲的距離最短【知識點】解三角形的實際應(yīng)用

21、問題20. 【答案】D【解析】因為 cos2A+cos2B=1+cos2C，所以 12sin2A+12sin2B=1+12sin2C，可得 sin2A+sin2B=sin2C，所以由正弦定理得 a2+b2=c2，所以 C=2又因為 sinC=2sinAsinB，A+B=2，所以 2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1，可得 sin2A=sin2B=1，由于 A，B 為銳角，可得 A=B=4【知識點】正弦定理21. 【答案】B【解析】因為 b2+c2a2=bc，所以 cosA=b2+c2a22bc=bc2bc=12，由 A0,，可得 A=3因為由正弦定理得 bsinB=c

22、sinC=3sin3=2，所以 b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin23B=2sinB+232cosB+12sinB=3sinB+3cosB=23sinB+6. 因為 B+C=23，所以 B0,23，可得 B+66,56，所以 sinB+612,1，所以 b+c=23sinB+63,23【知識點】Asin(x+)形式函數(shù)的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理22. 【答案】 27 【解析】在 ABC 中，由 ABsinC=ACsinB=BCsinA，得 AB=ACsinBsinC=332sinC=2sinC，同理 BC=2sinA 所以 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4

23、sin120C=4sinC+23cosC=27sinC+tan=32,且是第一象限角, 又因為 0C120，所以 AB+2BC 的最大值為 27【知識點】Asin(x+)形式函數(shù)的性質(zhì)、正弦定理23. 【答案】 2+54 【解析】由題意可知 ABC 為等腰直角三角形，設(shè) AC=BC=m，則 AB=2m設(shè) AOB=，則 AOB 中，由 OA=2，OB=1 及余弦定理可知 12+222m2=4cos，所以 m2=54cos2，所以 SOAB=1221sin=sin，SABC=m22=54cos記平面四邊形 OACB 的面積為 S，則 S=54cos+sin=54+2sin4因為 0，所以 4434，所以當 4=2，即 =34 時，平面四邊