我的大二上概率論第一章概率1

1、第五節(jié) 條件概率條件概率乘法公式小結(jié) 布置作業(yè) 在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1. 條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B). 一般地 P(A|B) P(A) P(A )=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A=擲出2點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A|B)=？擲骰子 已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中.容易看到P(A|B)于是P(A )=3/10， 又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一

2、等品，4件二等品. 現(xiàn)從這10件中任取一件，記 B=取到正品A=取到一等品，P(A|B)則P(A )=3/10， B=取到正品P(A|B)=3/7 本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例. A=取到一等品， 計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件. 這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來(lái)考慮問(wèn)題. 若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) , 即此點(diǎn)必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B變成了新的樣本空間 , 于是 有(1). 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)0,

3、則稱 (1)2. 條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3. 條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證) 2)從加入條件后改變了的情況去算 4. 條件概率的計(jì)算1) 用定義計(jì)算:P(B)0 擲骰子例：A=擲出2 點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù) 例1 擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少? 解法1解法2 解 設(shè)A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出6點(diǎn)應(yīng)用 定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算由條件概率的定義：即 若P(B)0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而 P(AB

4、)=P(BA)二、 乘法公式若已知P(B), P(A|B)時(shí), 可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故 P(A)0 , 則 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若 P(A)0,則P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率注意P(AB)與P(A | B)的區(qū)別！請(qǐng)看下面的例子 例2 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中 300件是乙廠生產(chǎn)的. 而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)

5、乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn),A=是標(biāo)準(zhǔn)件所求為P(AB) .設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)A=是標(biāo)準(zhǔn)件若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問(wèn)它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是 P(A|B) .B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn) 例3 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4. 問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解 設(shè)A=能活20年以上，B=能活25年以上依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為 P(B|A) .條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

6、 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的 ,設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A) 與 P(A |B) 的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率 P(A|B) 是在原條件下又添加 “B 發(fā)生 ” 這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.乘法公式應(yīng)用舉例 一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球. 隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進(jìn)行四次 ，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率. （波里亞罐子模型）b個(gè)白球, r個(gè)紅球于是

7、W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球. ” b個(gè)白球, r個(gè)紅球 隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球. 解 設(shè) Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第j次取出是紅球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出 當(dāng) c 0 時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率. 這是一個(gè)傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4) 一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行, 5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家

8、都想去,只好用抽簽的方法來(lái)解決.入場(chǎng)券5張同樣的卡片,只有一張上寫(xiě)有“入場(chǎng)券”,其余的什么也沒(méi)寫(xiě). 將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？ “先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ” 到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大。”我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券” i1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.也就是說(shuō)，則 表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒(méi)抽到.也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人未抽到，由于由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5計(jì)算得： 這就是有關(guān)抽簽順序問(wèn)題的正確解答. 同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒(méi)有抽到. 因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5