高等流體力學(xué)講義6

1、高等流體力學(xué)無粘性流體的勢(shì)流理論前進(jìn)1無粘性流體的勢(shì)流理論 主要內(nèi)容：基本勢(shì)流及其疊加 有勢(shì)流動(dòng)理論基礎(chǔ)圓柱繞流 勢(shì)流理論的地位和作用有勢(shì)流動(dòng)的基本方程結(jié)束前進(jìn)復(fù)變函數(shù)及保角變換 若干簡單勢(shì)流的復(fù)勢(shì) 儒可夫斯基翼型繞流 2有勢(shì)流動(dòng)的基本方程 連續(xù)方程Euler運(yùn)動(dòng)方程 勢(shì)流條件 Lamb-DOMEKO方程的形式 無旋流動(dòng) 積分 Lagrange積分 不可壓縮流體恒定流3勢(shì)流理論基礎(chǔ) 二維勢(shì)流中，既有流函數(shù)（x,y），又有流速勢(shì) (x,y)的存在。根據(jù)二者的定義，得二者之間的下列關(guān)系： Cauchy-Riemann條件 令復(fù)勢(shì) 共軛函數(shù) 和共軛函數(shù)，故二者均滿足Laplace方程。 等勢(shì)線和流線

2、是互相垂直的，構(gòu)成流網(wǎng)。求二維恒定勢(shì)流解析解的途徑可以分為以下三種： （i）求流速勢(shì)函數(shù)Neumann問題 （ii）求流函數(shù)Dirichlet問題 （iii）求復(fù)勢(shì)W（z）函數(shù)4有勢(shì)流動(dòng)中的奇點(diǎn) 不可壓縮流體有勢(shì)流動(dòng)的兩個(gè)基本條件是各點(diǎn)流速的散度為零，各處渦量為零。 其中一個(gè)條件被破壞的點(diǎn)或線稱為奇點(diǎn)或奇線 （1）連續(xù)條件中的奇點(diǎn)源和匯流速矢量V=grad與 =const的表面垂直，流動(dòng)系徑向流動(dòng)，4 m稱為匯或源的強(qiáng)度(Strength)。 當(dāng)m為正值時(shí)，流速方向指向球心，在流體力學(xué)里稱為點(diǎn)匯(Point sink)。 當(dāng)m為負(fù)值時(shí)，從球心輻射向外，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)源(Point source

3、) 。越接近球心，流速越大。5源或匯都是一種徑向流動(dòng)，切向流速等于零。源或匯的流速勢(shì)應(yīng)服從下列關(guān)系： 積分 徑向流速ur為流動(dòng)圖形如圖所示， 平面源和匯 若在軸線方向（即z方向）取一單位長度，則流量Q為源或匯的單位強(qiáng)度 6（2）無渦條件中的奇點(diǎn)流線呈圓周形的流動(dòng)統(tǒng)稱為渦。流線為同心圓周，而流速與半徑成反比，質(zhì)點(diǎn)沒有旋轉(zhuǎn)（中心點(diǎn)除外）的流動(dòng)稱為自由渦流（Free Vortex）。自由渦流的流速分布可表示為，或渦量 在極坐標(biāo)中，自由渦流的勢(shì)函數(shù) 的全微分為把ur, u代入后積分，可得自由渦流的流速勢(shì) 和是共軛的，故， 由此可得7基本勢(shì)流及其疊加 均勻流動(dòng) 由流速勢(shì)定義， 流線方程式 由平面勢(shì)流，得

4、 流函數(shù)為， 積分8源和匯 二維源的流速勢(shì)表達(dá)式 流函數(shù)的表達(dá)式為匯就是負(fù)的源。 在直角坐標(biāo)里，如源位于原點(diǎn)，則流速勢(shì)和流函數(shù)分別表示如下：流速分量為源位于P（x1,y1）點(diǎn)， 9自由渦流 從動(dòng)力學(xué)角度來看，流體質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)其徑向撤職心慣性力與壓強(qiáng)的徑向梯度所形成的壓力處于平衡狀態(tài)，即由此得式中dA為隔離體垂直于半徑方向的平均面積為向心的徑向加速度 。因流動(dòng)是無旋的有勢(shì)流動(dòng)，Lagrange積分適用于不同流線上的質(zhì)點(diǎn)。則 即10平面偶極子 把一對(duì)強(qiáng)度相等的位于x軸上的源和匯各向原點(diǎn)靠攏，當(dāng)它們之間的距離逐漸減小為零時(shí)，源與匯的強(qiáng)度逐漸增強(qiáng)，使 Cs 趨近于一個(gè)有限值。當(dāng) s =0時(shí)，一對(duì)平

5、面的源和匯合并成一個(gè)平面的偶極子，具有強(qiáng)度。 設(shè)在xy平面上有一點(diǎn)P，P到源的距離為r1，到匯的距離為r2。P點(diǎn)的流速勢(shì)是源在該點(diǎn)的流速勢(shì) 加上匯在該點(diǎn)的流速勢(shì) 設(shè)則 其中 當(dāng) 時(shí) 11同理，偶極子的流函數(shù) 任一點(diǎn)的流速為流速矢量的絕對(duì)值為 12垂直拐角繞流（停滯點(diǎn)附近的流動(dòng)） 流速勢(shì) 流函數(shù) 得流速分量 u=2Ax. V= -2Ay 流線方程式(原點(diǎn)為駐點(diǎn) )xy=const 13任意拐角繞流對(duì)于邊界任意角的平面勢(shì)流，其流速勢(shì)及流函數(shù)可用極坐標(biāo)表示為1、當(dāng) =或 n=1 時(shí)，可見等勢(shì)線與流線全是平等的直線，兩者互相垂直，如圖所示。得等勢(shì)線：x=常量流 線：y=常量流速為，ux=A=u0, u

6、y=0平面無旋流動(dòng) 142、當(dāng) 或n=2時(shí) 則 流線： 等勢(shì)線： 可見等勢(shì)線與流線全是雙曲線，且互相垂直，如圖所示。3、當(dāng) 或n2時(shí) 等勢(shì)線： 流線： =0時(shí)， 如圖6-14所示 154、當(dāng) 或 2n1 時(shí) 當(dāng)A0時(shí)流動(dòng)圖形如圖6-15（a）所示，A0時(shí)流動(dòng)圖形如圖6-15(b)所示。 5、當(dāng) 或 n=2/3 時(shí) 該流動(dòng)的圖形如圖6-16所示 6、當(dāng) 或 n=1/2 時(shí) 流動(dòng)圖形如圖6-17所示，它對(duì)應(yīng)于圍繞薄平板邊緣的流動(dòng)。16渦對(duì)設(shè)有兩個(gè)渦并列在x軸上，間距為d。任一點(diǎn)P距兩個(gè)渦的距離分別為r1和r2。由前式，得流函數(shù)的表示式 同理，得流速勢(shì)， 。圖6.18 均勻流和源的疊加圖6.19 均

7、勻流加源后的流線圖形 半體繞流的流速勢(shì)或流函數(shù)可把均勻流和源的流速勢(shì)或流函數(shù)疊加而成。 因=0,故均勻流 源 繞半體流動(dòng)的流速勢(shì) 流函數(shù)為 17半體輪廓外形 :設(shè)停滯點(diǎn)為 ，該點(diǎn)流速等于零，即 停滯點(diǎn)位置 將其代入流函數(shù)公式得， 通過停滯點(diǎn)的流線為 半體外形的公式 則18均勻流和源及匯的疊加 均勻流上疊加一個(gè)源，得半體的繞流。如在半體尾部再加一個(gè)匯，則可得Rankine體的繞流。（圖6.21a,b）設(shè)源位于x=處，匯位于x=+處。流場(chǎng)任一點(diǎn)p到源的矢徑為r1，極角為1 ；到匯的矢徑為r2，極角為2 ，則疊加后的流函數(shù)為疊加后的流速勢(shì)為Rankine體的長度: 源和匯的間距是2。設(shè)繞流體全長為2l，則停滯點(diǎn)s離源點(diǎn)距離rs=l-；停滯點(diǎn)s離源點(diǎn)距離rs=l+ 。停滯點(diǎn)速度V為19Rankine體的外形: 停滯點(diǎn)s的坐標(biāo)極角 ，該點(diǎn)的流函數(shù) 。其流線就是Rankine體的外形，其式為20圓柱繞流 無環(huán)量圓柱繞流均勻流、偶極子的組合（一）均勻流、偶極子的組合在坐標(biāo)原點(diǎn)，布置一個(gè)強(qiáng)度為m，方向與x軸相反的偶極子，再疊加一個(gè)沿x軸的均勻流，這兩個(gè)流動(dòng)疊加所得新勢(shì)流的流速勢(shì)及流函數(shù)為如圖6-22所示。21（1）零流線的流線由sin=0得，由得，零流線方程 （2）相應(yīng)的流場(chǎng)如圖6-24所示 流動(dòng)圖譜如圖6-25所示。 2