數學物理方法第0章2011

1、預備知識矢量場論8/9/202210.1 矢量函數標量連續(xù)可微函數 ，其導數定義為標量函數 當一個矢量依某個變量的變化而變化，該矢量就稱為矢量函數，簡稱矢函數，或者說矢量的每個分量都是函數，在直角坐標系中可表示為矢量函數8/9/20222單變量矢函數：導數：微分：結論：對矢函數的每個分量分別求導數或微分即可。0.1.1 矢函數的導數和微分8/9/20223多變量矢函數偏導數：結論：對矢函數的每個分量分別求偏導數。說明：對電磁學來講，一般有x、y、z、t四個自變量。8/9/20224結果是曲線下所圍的面積0.1.2 矢函數的積分曲線積分其中復習定積分8/9/20225有向線元矢量 ：大小為 ，方

2、向為該點處有向曲線的正方向有向曲線：定義了正方向的曲線一、線積分當 時， 變成有向線元 ，其方向為該點處的切線方向，亦即有向曲線的正方向在直角坐標系中，有向線元矢量可表示為8/9/20226定義：矢函數 在L上的標量線積分為特別地，環(huán)路和環(huán)量環(huán)路環(huán)量其中8/9/20227二、面積分正側面負側面有向曲面：定義了正側面的曲面當 時， 變成有向面元 ，其方向為該處有向曲面的正法線方向法線方向： ，從負側面指向正側面并與該面垂直的方向有向面元：在直角坐標系中，有向面元矢量可表示為8/9/20228定義： 在S上的標量積分為稱為 在S上的通量如果S是封閉曲面，習慣上規(guī)定其外側面為正側面， 的通量記為S正

3、側面正側面8/9/20229三、幾個常用矢量法向單位矢量： (normal)切向單位矢量： (tangential) 一般令曲線的切向與曲線的正方向相同 曲線上任意點的法向、切向均唯一 曲面上任意點的法向唯一、切向有無數正方向8/9/2022100M ( x，y，z )xyz 模值： 任意點 M 的坐標為（x , y , z）， 矢徑 ：一般用某點的矢徑來指代某點，即：矢徑為 的點常被稱為點 或 點。M 的矢徑為：8/9/2022110.2 三種常用的正交坐標系為了考察某一物理量在空間的分布和變化規(guī)律，必須引入坐標系。而且，常根據被研究物體幾何形狀的不同而采用不同的坐標系。在電磁場理論中，常用

4、的坐標系有三種：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。任何描述三維空間的坐標系都要有三個獨立的坐標變量u1、u2、u3(如直角坐標系中的x、y、z)， 當u1、u2、u3均為常數時，就代表三組曲面(或平面)，稱為坐標面。 8/9/202212若三組坐標面在空間每一點正交，則坐標面的交線(一般是曲線)也在空間每點正交，這種坐標系叫做正交曲線坐標系。上述三種坐標系是許多正交曲線坐標系中較常用的三種?？臻g任一點M沿坐標面的三條交線方向各取的單位矢量，稱為坐標單位矢量。它的模等于1，并以各坐標變量正的增加方向作為正方向。 一個正交曲線坐標系的坐標單位矢量相互正交并滿足右手螺旋法則。8/9/202213(-

5、, +)空間任一點P (x0,y0,z0)是三個坐標曲面：x=x0, y=y0, z=z0的交點重要特征：其方向不隨P點位置的變化而變化，是常矢量，遵循右手螺旋法則Ax、 Ay、 Az分別是矢量 在ex、ey、ez 方向上的投影基本變量： x、y、z直角坐標系單位矢量：變化范圍均為矢量表示：8/9/202214兩個矢量運算在直角坐標系中的數學表示和差等于對應分量之和或之差點積叉積矢量運算：8/9/202215在直角坐標系中，位置矢量其微分體積元為在直角坐標系中，與三個坐標單位矢量垂直的三個面積元分別為8/9/202216基本變量： 、z變化范圍均為圓柱坐標系0, +)、0, 2、(-, +)

6、空間任一點P (0, 0,z0)是三個坐標曲面：=0, = 0, z=z0的交點以z軸作軸線的半徑為的圓柱面z=z 圓柱坐標系與直角坐標系之間的變換關系為：以z軸為界的半平面平行于xy平面的平面或者為： 8/9/202217重要特征： 不是常矢量，其方向隨空間坐標變化，沿, , z增加的方向。遵循右手螺旋法則單位矢量：特別強調： 圓柱坐標系中的三個單位矢量(與直角坐標系的不同)，除 外， 和 都不是常矢量，因為它們的方向隨P點的位置(即空間坐標)不同而變化。8/9/202218兩種坐標系下的坐標單位矢量之間的變換關系：由下圖可得到直角坐標系到圓柱坐標系的關系： 由上式可知 和 是隨變化的，且：

7、矢量表示：其中，A、A、Az分別是矢量 在 、 、 方向上的投影。8/9/202219在圓柱坐標系中，位置矢量其微分它在、z增加方向上的微分元分別是： d、d、dz，三者都是長度，如圖所示。體積元為在圓柱坐標系中，與三個坐標單位矢量垂直的三個面積元分別為8/9/202220基本變量： r、變化范圍均為球坐標系空間任一點P (r 0, 0, 0)是三個坐標曲面： r = r 0, = 0, = 0的交點球坐標系與直角坐標系之間的變換關系為：或者為： 0, +)、0, 、0, 2半徑為r的球面以原點為頂點、以z軸為軸線的圓錐面以z軸為界的半平面8/9/202221重要特征：不是常矢量，其方向隨空間

8、坐標變化，沿r, ，, 增加的方向。遵循右手螺旋法則單位矢量：特別強調：球坐標系中的三個單位矢量(與直角坐標系的不同)，不是常矢量，因為它們的方向隨P點的位置(即空間坐標)不同而變化。8/9/202222球坐標系與直角坐標系的坐標單位矢量之間的變換關系：由上式可知三個單位矢量不是常矢量矢量表示：其中，Ar、 A 、 A分別是矢量 A 在 、 、 方向上的投影。8/9/202223在球坐標系中，位置矢量其微分它在r、 、 增加方向上的微分元分別是： dr、 rd 、 rsind，三者都是長度，如圖所示。在球坐標系中，與三個坐標單位矢量垂直的三個面積元分別為體積元為8/9/2022240.3 標量

9、場的梯度場的概念場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內，除有限個點和表面外，其物理量應是處處連續(xù)的；場的分類場概念的引入：物理量（如溫度、電場、磁場）在空間中以某種形式分布，若每一時刻每一位置該物理量都有一個確定的值，則稱在該空間中確定了該物理量的場。 按物理量的性質 標量場 物理量為標量（溫度場、電位場） 矢量場 物理場為矢量（電場、磁場） 按物理量的變化特性 靜態(tài)場 物理量不隨時間的變化而變化 時變場（動態(tài)場） 物理量隨時間的變化而變化8/9/202225空間某一區(qū)域定義一個標量函數，其值隨空間坐標的變化而變化，有時還可能隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一個標量場。在標量場中，各點

10、的場量是隨空間位置變化的標量。一個標量場可以用一個標量函數來表示。例如，在直角坐標下，如溫度場，電位場，高度場。0.3.1 標量場的等值面 標量場8/9/202226例如：等溫面、等位面在研究標量場時，常用等值面形象、直觀地描述物理量在空間的分布狀況。等值面的特點常數c取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面族充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。思考“爬山”同樣的增量情況下沿什么方向最“陡”？ 由所有場值相等的點所構成的面（線），即為等值面（線）。即若標量函數為 ，則等值面方程為等值面的定義8/9/2022271.方向導數的概念0.3.2 方向導數 標

11、量場u(x,y,z)的等值面只描述了場量u的分布狀況， 而研究標量場的另一個重要方面是，研究標量場u(x,y,z)在場中任一點的鄰域內沿各個方向的變化規(guī)律。為此，引入了標量場的方向導數和梯度的概念。 設M0是標量場u(M)中的一個已知點，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l。M是l上的動點，到點M0的距離為l，如圖所示。若當M沿射線趨于M0(即l趨于零)時，比值 的極限存在，則稱此極限為標量場u(M)在點M0處沿l方向的方向導數，即： 方向導數表征標量場空間中，某點處場值沿各個方向變化的規(guī)律。8/9/202228由此可知，方向導數是標量場u(M)在點M0處沿l方向對距離的變化率。注：方向導數與點M

12、0和l方向都有關，因此，標量場中，在 一個給定點M0處沿不同的方向，其方向導數一般是不同 的。方向導數物理意義8/9/2022292.方向導數的計算公式 方向導數的定義與坐標系無關，但其具體的計算公式卻與坐標系有關。根據復合函數求導法則，在直角坐標系中：設l方向的方向余弦為cos、cos、cos，即：則得到直角坐標系中方向導數的計算公式為：8/9/2022300.3.3 梯度 從標量場的某一點出發(fā)有無窮多個方向。一般來說，沿這些不同方向上的變化率的大小(方向導數)是不同的，必然存在一個變化最大的方向。為此，引入梯度的概念。1.梯度的概念 標量場的梯度是一個矢量。標量場變化最大的方向為標量場梯度

13、的方 向，其大小為最大的變化率或者最大的方向導數。記作grad u，即：2.梯度的計算式梯度的定義與坐標系無關，但梯度的具體表達式與坐標系有關。式中： 為場量 變化率最大方向上的單位矢量8/9/202231在直角坐標系中，變化率最大的方向上的單位矢量表示為最大的變化率（方向導數）表示為令則矢量 是在給定點處的一常矢量，與方向l無關。因此上式中，當 與 的方向一致時，即cos( , )=1 時，標量場在該點處的方向導數最大，即沿矢量 方向的方向導數最大，此最大值為矢量 的模。根據梯度的定義， 就是梯度。8/9/202232在直角坐標系中，梯度的表達式為引入哈密頓算符“”，在直角坐標系中表示為哈密

14、頓算符的雙重性質：哈密頓算符是矢量 哈密頓算符具有微分特性則標量場的梯度可表示為這表明標量場u的梯度可認為是算符作用于標量函數u的一種運算。又稱為矢性微分算符8/9/202233在圓柱坐標系中，哈密頓算符“”和梯度的表達式為在球坐標系中，哈密頓算符“和梯度的表達式為8/9/2022343.梯度的性質（1）標量場u的梯度是一個矢量場，通常稱u為標量場 u所產生的梯度場；（2）標量場u(M)中，在給定點沿任意方向l的方向導數 等于梯度在該方向上的投影。（3）標量場梯度的大小表示標量場的最大變化率。（4） 標量場u(M)中每一點M處的梯度，垂直于過該點的 等值面，且指向函數u(M)增加的方向。即，梯

15、 度就是該等值面的法向矢量。8/9/2022354.梯度的運算法則8/9/202236矢量場空間某一區(qū)域定義一個矢量函數，其大小和方向隨空間坐標的變化而變化，有時還可能隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一個矢量場。如速度場，電場，磁場。一個矢量場可以用一個矢量函數來表示。一個矢量場可以分解為三個分量場。例如，在直角坐標下，0.4 矢量場的通量與散度其中的三個分量分別是 沿x、y、z方向的分量。8/9/202237對于矢量場，可用一些有向曲線來形象描述矢量在空間的分布，這些有向曲線稱之為矢量線。矢量線的疏密程度代表矢量線的大小。在矢量線上，任一點的切線方向都與該點的場矢量方向相同。在直角坐標系中，矢量場

16、表示為 0.4.1 矢量場的矢量線矢量線定義矢量線性質8/9/202238M(x,y,z)是場中的矢量線上的任意一點，其矢徑與其微分矢量分別為點M處的矢徑微分與矢量線相切，即點M處 與 共線， / ，于是有 這就是矢量線的微分方程組。解此方程組即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。8/9/202239【例1.4.1】設點電荷q位于坐標原點， 它在空間任一點M(x,y,z)處所產生的電場強度矢量為：式中，q、均為常數， =exx+eyy+ezz為M點的位置矢量。求 的矢量線方程并畫出矢量線圖。 8/9/202240由矢量線的微分方程組可得：由此解方程組可得 這是從點電荷q所在處（坐標原點）發(fā)出的

17、射線束，如圖1.4.2：所示點電荷的矢量線8/9/2022410.4.2 矢量場的通量 分析和描繪矢量場的性質時，矢量場穿過一個曲面的通量是一個重要的基本概念。 設S是一空間曲面，dS為其上的面元，取一個與此面元相垂直的單位矢量，即法向單位矢量 ，則稱矢量：為面元矢量。即： 法向單位矢量 的取法有兩種情況：面元矢量 定義：面積很小的有向曲面。 ：面元面積，為微分量其值可認為無限小 ：面元法線方向，垂直于面元平面。對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋法則去定；對閉合曲面：閉合面外法線方向8/9/202242閉合曲面情況非閉合曲面情況8/9/202243通量的概念 將矢量場 與其中的任一面元矢量

18、 的標量積 定義為矢量 穿過面元矢量 的通量。將曲面S上各面元的 相加，則得到矢量 穿過曲面S的通量，即： 例如：在電場中，電位移矢量D在某一曲面S上的面積分就是矢量D通過該曲面的電通量；在磁場中，磁感應強度B在某一曲面S上的面積分就是矢量B通過該曲面的磁通量。如果S是一個閉合曲面，則通過閉合曲面的總通量可表 示為：8/9/202244若 從面元矢量 的負側穿到 的正側時， 與 相交成銳角，則通過面元 的通量為正值；反之，二者相交成鈍角，通過面元dS的通量為負值。 通過閉合曲面的總通量則表示穿出閉合面S內的正通量與進入閉合曲面S的負通量的代數和。通量的物理意義正通量源若 穿出多于穿入，閉合面內

19、有發(fā)出矢量線的正源若 穿出少于穿入，閉合面內有匯集矢量線的負源若 穿出等于穿入，閉合面內無源，或正源負源代數和為08/9/2022450.4.3 矢量場的散度 矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域內每一點的通量特性，為此，引入矢量場的散度。1. 散度的概念 在矢量場 中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面S，設S所限定的體積為V，當體積V以任意方式縮向M點，即趨近于零時， 若下列極限: 存在，則稱此極限為矢量場 在點M處的散度。8/9/202246由散度定義可知，散度表示單位體積內散發(fā)出來的矢量的通量。討論：在矢量場中， 若 ，則該矢量場稱為有源場， 為源密度 若 處處成立，

20、則該矢量場稱為無源場 散度的物理意義： 矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性； 矢量場的散度是一個標量 矢量場的散度是空間坐標的函數 矢量場的散度值表征空間中通量源的密度。8/9/2022472. 散度的計算式 散度與V的形狀無關，只要在取極限過程中，所有尺寸都趨于零即可?？梢钥闯觯⒍仁菍κ噶繄龅囊环N微分運算，描述矢量場在空間的某種變化情況。在直角坐標系下：在圓柱坐標系下： 在球面坐標系下：哈密頓算符8/9/202248由求散度的公式可見，散度運算是點乘和求導運算的組合，因此，其運算規(guī)則與微分運算規(guī)則相似，例如 8/9/2022490.4.4 散度定理散度定理或高斯定理 散度定理表明，

21、矢量場的散度在體積V上的體積分等于該矢量場限定該體積的閉合曲面S上的面積分，是矢量散度的體積分與該矢量閉合曲面積分之間的一個變換關系，在電磁理論中非常有用。8/9/202250散度定理的證明 從散度定義有： 則在一定體積V內的總的通量為： 得證！8/9/202251例 1.4.2 已知 ， 。 求矢量 在 處的散度解：根據散度的計算公式有：8/9/2022520.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的散度描述了通量源的分布情況，反映了矢量場的一個重要性質；矢量場的環(huán)流和旋度反映了矢量場空間變化規(guī)律的另一個重要性質。0.5.1 環(huán)流C其中dl是路徑上的線元矢量，其大小為dl，方向沿路徑C的切線方向。矢量

22、場的環(huán)流是描述矢量場性質的重要的量（對比矢量場的通量）。在場矢量 空間中，取一有向閉合路徑C，則稱沿1積分的結果稱為矢量 沿C的環(huán)量。即：8/9/202253環(huán)流面密度矢量場的通量是描述矢量場穿過某一曲面的通量源。矢量場的環(huán)流是描述矢量場穿過某一閉合曲線的積分，表征矢量場的漩渦源。若矢量場的環(huán)流不為0，則矢量場中有產生該場的漩渦源。與通量源不同，漩渦源的矢量線即不發(fā)出、也不匯聚。在場矢量 空間中，圍繞空間某點M取一面元 ，其邊界曲線為C，面元法線方向為 ，當面元面積無限縮小時，可定義 在點M處沿 方向的環(huán)流密度 表示矢量場 在點M處沿 方向的漩渦源密度：其值與 方向有關。 保持以 為法線方向8

23、/9/2022540.5.2 旋度1.旋度的概念 由于矢量場在點M處的環(huán)流面密度與面元的法矢 有關，那么在矢量場的一給定點M處，沿不同方向 的環(huán)流面密度值一般是不同的。在某一確定的方向上，環(huán)流面密度可能取得最大值。為此，引入旋度的概念。即環(huán)流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量旋度是一個矢量，模值等于環(huán)流密度的最大值；方向為最大環(huán)流密度的方向。用 表示，即：式中： 表示矢量場旋度的方向。8/9/202255矢量的旋度為矢量，是空間位置的函數；矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；矢量場在某個方向的環(huán)量密度是旋度在該方向上的投影。如圖所示，即：2.旋度的計算式 旋度的定義與坐標系

24、無關，但其具體的計算公式卻與坐標系有關。在直角坐標系下8/9/202256在圓柱坐標系和球坐標系中的旋度表達式分別為：可以看出，旋度是對矢量場的一種微分運算，描述矢量場在空間的某種變化情況。8/9/202257由求旋度的公式可見，旋度運算是叉乘和求導運算的組合，因此，其運算規(guī)則與微分運算規(guī)則相似，例如 8/9/202258復合運算(與微分運算法則相似)8/9/2022590.5.3 斯托克斯定理矢量旋度的曲面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個變換關系意義：矢量場的旋度在曲線上的積分等于該矢量場在 限定該曲面的閉合曲線上的線積分。斯托克斯定理的證明 由旋度的定義對于有限大面積s，可將去按如圖方

25、式進行分割，對每一小面積元有得證！8/9/2022600.6 無旋場與無散場 1.矢量場的源散度源，是標量，產生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；旋度源，是矢量，產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。矢量場散度和旋度反映了產生矢量場的兩種不同性質的源。8/9/2022610.6.1 無旋場梯度的旋度恒等于0矢量恒等式其中的負號為的是使其與電磁場中電場強度E和電位的關系相一致。若

26、矢量場 在某區(qū)域V內，處處 ，但在某些位置或整個空間內，有 ，則稱在該區(qū)域V內，場 為無旋場。無旋場的重要性質：結論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零（無漩渦源）。標量場梯度的重要性質：無旋場的旋度始終為0，可引入標量輔助函數表征矢量場，即：標量函數 稱為無旋場 的標量位函數，稱為標量位。8/9/202262梯度的旋度=0 標量場梯度的旋度恒等于零標量函數梯度的重要性質8/9/202263這就是標量位的積分表達式，常數C取決于固定點Q的選擇。根據斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的環(huán)流為0，表明無旋場的曲線積分與路徑無關，只與起點與終點有關。若選定點Q為不動的固定點，Q點的標量位為常數，上式只是P點的函數，即一個標量場可由它的梯度完全確定。8/9/2022640.6.2 無散場旋度的散度恒等于0根據散度定理可知，無散場通過任何閉合曲面的通量為0，若矢量場 在某區(qū)域V內，處處 ，但在某些位置或整個空間內，有 ，則稱在該區(qū)域V內，場 為無散場。式中 為矢量場漩渦源密度。無散場重要性質：結論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）矢量場旋度的重要性質：無散場的散度始終為0，可引入矢量函數的旋度表示無散場矢量函數 稱為無散場 的矢量位函數，稱為矢量位。8/9/202265矢量函數旋度的重要性質旋度的散度=0 矢量場旋度的散