2023版高三一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)習(xí)題（新高考人教版）：練案42　第七章　第四講　空間直線、平面的垂直

1、練案42第四講空間直線、平面的垂直A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1(2022北京延慶統(tǒng)測)已知直線a，平面，a，那么“a”是“”的(A)A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析過a作平面b，a，ab，若a，則b，又b，但，a時，a或a與相交，不一定a，故選A.2(2022浙江省模擬)已知，是兩個相交平面，其中l(wèi)，則(B)A內(nèi)一定能找到與l平行的直線B內(nèi)一定能找到與l垂直的直線C若內(nèi)有一條直線與l平行，則該直線與平行D若內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直，則與垂直解析由，是兩個相交平面，其中l(wèi)，知：在A中，當(dāng)l與，的交線相交時，內(nèi)不能找到與l平行的直線，故A錯誤；在B中，由直線與平面

2、的位置關(guān)系知內(nèi)一定能找到與l垂直的直線，故B正確；在C中，內(nèi)有一條直線與l平行，則該直線與平行或該直線在內(nèi)，故C錯誤；在D中，內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直，則與不一定垂直，故D錯誤，故選B.3(2022東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)已知直線m，n和平面，有如下四個命題：若m，m，則；若m，mn，n，則；若n，n，m，則m；若m，mn，則n.其中真命題的個數(shù)是(C)A1B2C3D4解析若m，m，則一定有，故正確；若m，mn，則n，又因為n，故可得，故正確；若n，n，故可得，又因為m，故可得m，故正確；若m，mn，則n或n，故錯誤；綜上所述，正確的有.故選：C.4(2022安徽省皖江名校聯(lián)盟聯(lián)考)對于不重

3、合的直線m，l和平面，下列可以推出成立的是(A)Aml，m，lBml，l，mCml，m，lDml，l，m解析對于A，ml，l，得m，又m，；對于B，當(dāng)直線m在平面內(nèi)部，且垂直于兩個平面的交線l時，也會出現(xiàn)面、相交不垂直的情況，故錯；對于C，eq blc rc (avs4alco1(blc rc(avs4alco1(lm,l)avs4al(,blc rc(avs4alco1(m,m)，故錯；對于D，lm，l，m，則、應(yīng)該為平行關(guān)系，故D錯誤故選A.5.(2022卓越聯(lián)盟質(zhì)檢)已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列命題中正確的有(B)平面PAB平面PAE；PB

4、AD；直線CD與PF所成角的余弦值為eq f(r(5),5)；直線PD與平面ABC所成的角為45；CD平面PAE.ABCD解析PA平面ABC，PAAB，在正六邊形ABCDEF中，ABAE，PAAEA，AB平面PAE，且AB面PAB，平面PAB平面PAE，故正確；AD與PB在平面的射影AB不垂直，不成立；CDAF，直線CD與PF所成角為PFA，在RtPAF中，PA2AF，cosPFAeq f(r(5),5)，成立；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，故成立；CDAF，CD平面PAF，顯然AF與平面PAE相交，CD與平面PAE相交，即不成立，故選B.二、多選題6(2022廣東江門調(diào)研)設(shè)m

5、，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是(AB)A若m，n，則mnB若，m，則mC若m，n，則mnD若，則解析對于A，因為n，所以經(jīng)過n作平面，使l，可得nl，又因為m，l，所以ml，結(jié)合nl，得mn.由此可得A是真命題；對于B，因為且，所以，結(jié)合m，可得m，故B是真命題；對于C，設(shè)直線m、n是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有m且n成立，但不能推出mn，故C不正確；對于D，設(shè)平面、是位于正方體經(jīng)過同一個頂點的三個面，則有且，但是，推不出，故D不正確故選AB.7下圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中(BCD)AAECDBCHBEC

6、DGBHDBGDE解析如圖，在正方體中，AE與CD異面，A錯；EH綊BC，CHBE，B對；DGHC，DGEH，DG平面BCHE，DGBH，C對；BGFC，F(xiàn)CED，BGDE，D對故選BCD.8(2022江蘇鹽城聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA12，ACB90.D，E，F(xiàn)分別為AC，AA1，AB的中點，則下列結(jié)論正確的是(BCD)AAC1與EF相交BEF與AC1所成的角為90C點C1到平面DEF的距離為eq f(3r(2),2)D三棱錐ABC1C外接球表面積為12解析AC1與EF異面，A錯；由題意可知平面ACC1A1平面ABC，又BCAC，BC平面ACC1A1，BCAC1

7、，又D、F分別為AC、AB的中點，DFBCDFAC，又ACC1A為正方形，AC1A1C，又A1CDE，AC1DE1，AC1平面DEF，AC1EF，B正確；設(shè)AC1DEH，由題意易知C1到平面DEF的距離C1Heq f(3,4)AC1eq f(3r(2),2)，C正確；AC1CBCC1兩兩垂直，三棱錐ABCC1外接球的半徑為eq r(3)，外接球表面積4R212，D正確故選BCD.9(2022廣東七校聯(lián)合體聯(lián)考)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB4，BC2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則下列說法正確的是(CD)AA、M、N、B四點共面BBN平面ADMC直線BN與B1M所成的

8、角為60D平面ADM平面CDD1C1解析由圖顯然AM、BN是異面直線，故A、M、N、B四點不共面，故A錯誤；BN平面AA1D1D，顯然BN與平面ADM不平行，故B錯；取CD的中點O，連接BO、ON，則B1MBO，NBO即為BN與B1M所成角，又三角形BON為等邊三角形，故C正確；由題意AD平面CDD1C1，故平面ADM平面CDD1C1，故D正確選CD.10(2021廣東惠州調(diào)研)如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1，若ABBC，E、F分別是AB1、BC1的中點，則下列結(jié)論中成立的有(ABD)AEFBB1BEF平面BDD1B1CEF與C1D所成的角為45DEF平面A1B1C1D1解析連接A

9、1B、A1C1、A1D，則E為A1B的中點，對于A選項，BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1，E、F分別為A1B、BC1的中點，則EFA1C1，EFBB1，A選項正確；對于B選項，四邊形A1B1C1D1為正方形，則A1C1B1D1，又A1C1BB1，B1D1BB1B1，A1C1平面BDD1B1，EFA1C1，EF平面BDD1B1，B選項正確；對于C選項，易知A1C1D為等邊三角形，則A1C1D60，EFA1C1，則EF與C1D所成的角為A1C1D60，C選項錯誤；對于D選項，EFA1C1，EF平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，EF平面A1B

10、1C1D1，D選項正確故選ABD.三、填空題11(2022湖南五校聯(lián)考)已知直線m、l，平面、，且m，l，給出下列命題：若，則ml；若，則ml；若ml，則；若ml，則.其中正確的命題是 .解析對于，若，m，l，則ml，故正確；對于，若，則ml或m與l垂直，或m與l異面，故錯誤；對于，若ml，則或與相交，故錯誤；對于，若ml，m，則l，又l，所以，故正確12如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是 .解析由于PA平面ABC，因此PABC，又ACBC，因此BC平

11、面PAC，所以BCAF，由于PCAF，因此AF平面PBC，所以AFPB；因為AEPB，AFPB，所以PB平面AEF，因此EFPB；在中已證明AFBC；若AE平面PBC，由知AF平面PBC，由此可得出AFAE，這與AF，AE有公共點A矛盾，故AE平面PBC不成立故正確的結(jié)論為.13(2020山東省威海市三模)已知l是平面，外的直線，給出下列三個論斷，l；l，以其中兩個論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個正確命題： 若，則或若，則(填寫一個即可) .(用序號表示)解析因為l，時，l與可能平行或者相交，所以作為條件，不能得出；因為l，所以內(nèi)存在一條直線m與l平行，又l，所以m，所以可得，即作為條件

12、，可以得出；因為，l，所以l或者l，因為l是平面外的直線，所以l，即作為條件，可以得出；故答案為：若，則或若，則(填寫一個即可)四、解答題14.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點，求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)PA底面ABCD，CDPA.又CDAC，PAACA，故CD平面PAC，AE平面PAC.故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故PAAC.E是PC的中點，故AEPC.由(1)知CDAE，由于PCCDC，從而AE平面PCD，故AEPD.易知BAPD，故PD平面ABE.15(2022廣東梅

13、州質(zhì)檢)如圖，在四棱錐BACDE中，平面ABC平面ACDE，ABC是等邊三角形，在直角梯形ACDE中，AECD，AEAC，AE1，ACCD2，P是棱BD的中點求證：EP平面BCD.證明證法一：如圖，作PQDC交BC于點Q，連接AQ，P為BD的中點，Q為BC的中點，PQ綊eq f(1,2)CD，又AE綊eq f(1,2)CE，PQ綊AE四邊形AEPQ為平行四邊形又ABC為等邊三角形，AQBC，EPBC.又AECD，AEAC，CDAC，又平面ABC平面ACDE，CD平面ABC，又AQ平面ABC，AQCD，EPCD，又CDBCC，EP平面BCD.證法二：分別取梯形兩腰AC、ED的中點O、H，連OH，

14、OB.則OHAE，AEAC，OHAC，又平面ACDE平面ABC，OH平面ABC，OHAC，OHOB.又ABC為正三角形，OBAC.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意易知E(1,0,1)，C(1,0,0)，B(0，eq r(3)，0)，D(1,0,2)，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，1)，eq o(EP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3),2)，0)，eq o(CB,sup6()(1，eq r(3)，0)，eq o(CD,sup6()(0,0,2)，從而eq o(EP,sup6()eq o(BC,sup6(

15、)0，eq o(EP,sup6()eq o(CD,sup6()0，EPBC，EPCD，又BCCDC，EP平面BCD.B組能力提升1(2022河南九師聯(lián)盟摸底)已知線段AB平面，A，B兩點到的距離分別為3和5，則AB的中點到平面的距離為(C)A1B4C1或4D2解析若A，B點在平面的同側(cè)，則線段AB的中點到平面的距離為eq f(53,2)4；若A，B在平面的異側(cè)，則線段AB的中點到的距離為eq f(53,2)1.綜上，線段AB的中點到平面的距離為1或4.2(2022三湘名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(C)A若，mn，m，則nB若，mn，m，則nC若，

16、m，n，則mnD若，m，n，則mn解析eq blc rc(avs4alco1(,m)m或m，若m，則n，則mn，n，nn，nm；若m，n，nm，選C.3(多選題)如圖，ABCD是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點重合于點P，則(ABC)AAPEFB點P在平面AEF內(nèi)的射影為AEF的垂心C二面角AEFP的余弦值為eq f(1,3)D若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積是24解析對于A，APPF，APPEPEPFP，AP平面PEF，EF平面PEF，APEF，故A正確；對于B，設(shè)P在底面AEF上

17、的射影為O，則PO底面AEF，POEF，由A知，PAEF，連接AO并延長，交EF于G，POPAP，EF平面PAO，則AGEF，同理可證EOAF，點P在平面AEF內(nèi)的射影為AEF的垂心，故B正確；對于C，由B知，AGEF，AEAF，G為EF的中點，連接PG，又PEPF，PGEF，則PGA為二面角AEFP的平面角在等腰直角三角形PEF中，由PEPF1，得PGeq f(r(2),2)，則AGeq f(3r(2),2)，在RtAPG中，有cosPGAeq f(PG,AG)eq f(1,3)，故C正確；對于D，由已知可得三棱錐PAEF的三條側(cè)棱PA、PE、PF兩兩互相垂直，且PA2，PEPF1.把該三棱

18、錐補形為長方體，則其對角線長為eq r(221212)eq r(6)，則其外接球的表面積S4eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2)26，故D錯誤故選ABC.4.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且四邊形ABCD為菱形，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足 DMPC(或BMPC等) 時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)解析PA底面ABCD，BDPA，連接AC，則BDAC，且PAACA，BD平面PAC，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.5(多選題)(2022河北滄州質(zhì)檢)已知正

19、方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，P是正方體表面一動點，下列說法正確的是(AD)A若AP2，則點P的軌跡長度是3B若APC1P，則點P的軌跡長度為6C若點P到直線BB1的距離為1，則點P的軌跡長度為4D若點P到直線AA1，BB1，CD的距離相等，則滿足條件的點P僅有2個解析對于A，如圖(1)，點P在以A為球心，以2為半徑的球面上，該球面與正方體表面的交線為3段半徑為2的四分之一圓，故軌跡長度為eq f(3,4)223，故A正確；對于B，如圖(2)，點P在過線段AC1中點且與AC1垂直的平面內(nèi)，該平面與正方體表面的交線是邊長為eq r(2)的正六邊形，軌跡長度為6eq r(2)，故B錯誤；對于C，如圖(3)，點P在以線段BB1為軸、底面