“隱形圓”問題專題復(fù)習(xí)

1、“隱形圓”問題江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 一、問題概述江蘇省高考考試說明中圓的方程是 C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，每年都考，但有些時(shí)候，在條件中沒 有直接給出圓方面的信息， 而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)， 從而最終可以利用圓的知識(shí)來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題.二、求解策略如何發(fā)現(xiàn)隱形圓(或圓的方程)是關(guān)鍵，常見的有以下策略. 策略一 利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡)確定隱形圓例1 (1)如果圓(x 2a) 2+(ya 3)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是._6ao5略解：到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，轉(zhuǎn)化到此單位圓與

2、已知圓相交求解.(2016 年南京二模)已知圓 Q x2+y2=1,圓 M (x-a)2+(y-a+4)2=1,若圓 M 上 存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為 A, B,使彳導(dǎo)/ APB= 60。，則a的取值范 圍為.解：由題意得OP2 ,所以P在以O(shè)為圓心2為半徑的圓上，即此圓與圓 M有公共點(diǎn)，因此有210M 24)2 W 92w a 2 222y21上的動(dòng)點(diǎn)，3 , P(2017年蘇北四市一模)已知 A B是圓C : x21是圓C2 : (x3)21上的動(dòng)點(diǎn)，則 PA PB的取值范圍是 . 7,13(y 4)2|略解：取AB的中點(diǎn)M則C1M=所以M在以G圓心，半徑為工的圓上，且 2

3、2|PA PB 2PM ,轉(zhuǎn)化為兩圓上動(dòng)點(diǎn)的距離的最值.(4)若對(duì)任意R,直線l : xcos +ysin= 2sin(十)+4與圓C：(x- n)f+ (y-3 n)26=1均無公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 . ( 1= 5 ) 22略解：直線l的方程為：(x-1)cos+ (y- 3 )sin=4,JM(1, 3 )至U l距離為4所以l是M 為圓心半徑為 4 的定圓的切線系，轉(zhuǎn)化為圓 M 與圓 C 內(nèi)含注：直線 l ： (x-xo)cos+(y- yo)sin= R 為圓 M (xx )：( x線系.y )2R2的切例2 （2017年南通市一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B, C為

4、圓x2y24上兩點(diǎn)， 點(diǎn)A（1, 1），且ABL AC則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為解：法（標(biāo)解）：設(shè)BC的中點(diǎn)為x, y因?yàn)閛BOM2BM2OM2所以4牝簡(jiǎn)得所以點(diǎn)M的軌跡是以為圓心一 3圓，所以AM的取值范圍是 ?1以BC的取值范圍是、廠6 2 , 6法二：以AB AC為鄰邊作矩形 BACN則BC= AN上的任意一點(diǎn)到其對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方例2平面PN ,則PQ的PMOO : x2y216 ，點(diǎn)由矩形的幾何性質(zhì)和相等），有OB OC OAON2 ,所以陰 6 ,故N在以O(shè)為圓心，半徑為 J6的圓上，所以BC的取值范 6變式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,P

5、(1, 2) , M N 為圓最小值為o上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且rr pn 0,變式2 已知圓C : x 2yR1,0)，動(dòng)點(diǎn) A B90 ,29 ,圓 C2 : 2x 24 ,定點(diǎn)y分別在圓C和圓C2上，滿足 APB】則線段AB的取值范圍12 3不23c) I (b c)0 ,貝U a變式3 已知向量a、b、c滿足a 3, b 2, c 1, (ab范圍為. 2 jT3J231策略二 動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A、B張角是900 (1 犬 1，當(dāng) & PB 0)確定隱形例3 (1) (2014年北京卷)已知圓 C: (x 3) 2( y 4) 21和兩點(diǎn)A m,0) , B(m 0),若圓上存在點(diǎn)P,使彳導(dǎo)

6、APB 90 ，則m的取值范圍是 .4, 6略解：由已知以 AB為直徑的圓與圓 C有公共點(diǎn).(2)(海安2016屆高三上期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn) P (-1, 0),Q2 , 1),直線l ： ax by c 0其中實(shí)數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，若點(diǎn)P在直線l上的射影為 H,則線段QH的取值范圍是 一廣2, 3 2解：由題意，圓心CU , -2)在直線ax + by+c = 0上，可得a2b+ c=0,即c=2b a. 直線 l ： (2ab)x+(2bc)y+(2ca) = 0,即 a(2x + y3)+b(4 x) =0,2xy 30,由，可得x=4, y=5,即直線過定點(diǎn)

7、M(4 , 5),4 x 0由題意，H在以PM為直徑的圓上，圓心為 A(5, 2),方程為(x-5)2+(y-2)2=50,. CA=412 ,CH最小為廣 2/4 0=2, CH最4 ,22 =92 ,線段CH長(zhǎng)度的取彳1范圍是2 , 9 2 .(3)(通州區(qū)2017屆高三下開學(xué)初檢測(cè))設(shè) m R ,直線I1 ： x my 0與直線12 ： mx y 2 m 40交于點(diǎn)P( x0 , 2的取值范圍V。)，則 x0y 2 0 2x0是. 120,12 1 4 10 略解：l 1過定點(diǎn)Q0 , 0) , l 2過定點(diǎn)A(2 , -4),則P在以O(shè)A為直徑的圓上(除去一點(diǎn))，變式(2017年南京二

8、模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1： kx-y+ 2= 0與直線l2： x+ky2=0相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y- 4= 0的距離的最大值為. 32策略三 兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足PA -Pb確定隱形圓，點(diǎn)P在直線3x 4 y 3例4 (1) (2017年南通密卷3)已知點(diǎn)A2, 3)，點(diǎn)R6 0上，3)若滿足等式 AP BP 20的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .13解：設(shè) P (x, y),貝U AP ( x 2, y 3) , BP ( x 6, y 3)根據(jù) AP fp 20 ,有 x 4 2 y 2132Eh題意一二圓： 相交,13213圓與直線3x圓心到直

9、線的距離d3 (2016屆常州一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓QO： (x-4)2+y2=4,動(dòng)點(diǎn)P在直線x J3 y b 0上，過點(diǎn)P作圓Q O的兩條切線，42(2) (2016年鹽城三模) 數(shù))，已知線段 AB的長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)C滿足CA CB為常1 .且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，,為半徑的圓內(nèi)，則負(fù)數(shù)的最大值是2略解：動(dòng)點(diǎn)C滿足方程x2y2策略四 兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB?是定值確定隱形圓例5 (1)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓C： (x a)2+(ya+2)2=1,點(diǎn)70, 2)若圓C上存在點(diǎn)M滿足mA+ mO= 10,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是03略解：M滿足的方程為x2(

10、y1)24 ,轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)(2) (2017年南京、鹽城一模)在 ABC中，A, B, C所對(duì)的邊分別為a,b,a2b22 c28 ,則 ABC面積的最大值為解：以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),5AB所在直線為x軸，建系.0)q x, y)，則由 a2b22 c2得(x-c )2 y2 - 22c )y22 c2_8 ,即 x24y2所以點(diǎn)C在此圓上，Sccr1(454c?)策略五 兩定點(diǎn)A B,動(dòng)點(diǎn) 圓)P滿足PA0,1)確定隱形圓(阿波羅尼斯PB例 6 (1)略解：點(diǎn)P滿足圓的方程為x2y 24 ,轉(zhuǎn)化到直線與圓相交x2+y2= 1,切點(diǎn)分別為 A B,若?t足PB 2 PA的點(diǎn)P有且僅有兩個(gè)，

11、則 b的取值范圍-20,43l （一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東 30。方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊.已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假設(shè)緝私艇和走私船均按例7 （2017年南通二模）一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線直線方 向以最大航速航行.（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；（參考數(shù)據(jù):sin17（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由.領(lǐng)海公海B30解：（1）略(例7)（2）如圖乙，以A為原點(diǎn)，正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)緝私艇在P（

12、x , y）處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走船相遇，則 即PAPB9整理得，x所以點(diǎn)Rxy)的軌跡是以點(diǎn)_994 4為圓心,60為半徑的圓.圖乙因?yàn)閳A心一939T 3到領(lǐng)海邊界線lx 3.8的距離為1.55 ,大于圓半徑所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船.策略六由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓例8(1)已知a, b, c分別為 ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，a 2 ,(a+b)(sin A-sin B)=( c-b)sin C 則 ABC 面積的最大值為 . 3 TOC o 1-5 h z 略解：cos/A= 1 , /A= 60 ,設(shè) ABC的外接圓的圓心為 Q外接圓白半徑為 23 ,則 2

13、3O到BC的距離為3L ,則邊BC上的高h(yuǎn)的最大值為亡3至3= 3 ,則面積的最 大值333為耶.(2)(2017 年常州一模)在 ABC中，/C= 45,O 是 ABC的外心，若Oc -mOAnOB(mnCR),則許n的取值范圍是_72,1).略解： ZAOB= 2/C= 90 ,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑 OA的圓上(在優(yōu)弧 AB上).三、同步練習(xí).已知直線l : x 2 y m 0上存在點(diǎn) M滿足與兩點(diǎn) A 2, 0) ,B(2, 0) 連線的斜 TOC o 1-5 h z 率之積為1 ,c2 , c b的取值范圍a2c則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .# 5r2 5 . (2016年泰州一模)已知實(shí)

14、數(shù)a, b, c滿足a2b20 ,則33.已知 ，t R ,則(cos t 2) 2 (sint 2) 2的取項(xiàng)范圍是匚. 221,2 2.已知圓 C : ( x 3)2( y 4)21 和兩點(diǎn) A m 0), B(m 0) (m0)C上存在點(diǎn)P,使得PA PB 1 ,則膽中型值范圍是 . 15,35. (2016年無錫一模)已知圓 C : ( x 2) 2y24 ,線段EF在直線l : y x1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為線段EF上任意一點(diǎn)，若圓 C上存在兩點(diǎn) A B,使得PA fB & 0 ,則線段EF長(zhǎng).如圖，已知點(diǎn) 7 1,0）與點(diǎn)B（1,0） , C是圓x2+y2=1上的 動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A B不重合）

15、，連接BC并延長(zhǎng)至D,使得| CD|= |B(C,則線段PD的取值范圍.(2 , 2)3.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn) A t , 0)( t 0) , B(t ,0) , *HC書妃ACBC 8 ,且點(diǎn)C到直線l : 3x4y 240的最小雪離為9 ,則實(shí)數(shù)t的值是 .1. (2013年江蘇卷第17題改編)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)Q0, 0) , A。，3) 如果圓C :(xa)2( y 2a 4)21上總存在點(diǎn) M使得MA 2 MO,則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是一.0, 12 5.已知向量a、b、c滿足a J2 , b a b=3 ,若(c2a)(2，則 b c 的最 TOC o 1-5 h z b 3。0大值是. 1 12.設(shè)點(diǎn)A B是圓x2y24上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C(1, 0),如果 ACB 90 ,則線段AB長(zhǎng)度的取值范圍為. 17 JT, 71.在 ABC中，BC=AC= 1,以AB為邊作等腰直角三角形 ABD( B為直角頂點(diǎn)，CD兩點(diǎn)在直線 AB的兩側(cè)).當(dāng)/ C變化時(shí)，線段 CD長(zhǎng)的最大值為 . 3. (2016年南通三模)在平面直角坐標(biāo)系