新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章平面及其應(yīng)用：6.3.1 平面向量基本定理

1、6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理基礎(chǔ)過關(guān)練 題組一對(duì)平面向量基本定理的理解1.下面三種說法中正確的是()一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;零向量不可作為基底中的向量.A.B.C.D.2.如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心,其中可作為基底的一對(duì)向量是() A.OA,BCB.OA,CDC.AB,CFD.AB,DE3.設(shè)e1,e2是不共線的兩個(gè)向量,給出下列四組向量:e1與e1+e2;e1-2e2與e2-2e1;e1-2e2與4e2-2e1;e1+e2與e1-e2.其中不能作為平面

2、內(nèi)所有向量的一組基底的序號(hào)是.4.已知向量e1,e2不共線,a=e1+2e2,b=2e1+e2,要使向量a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.題組二用基底表示向量5.在ABC中,AB=c,AC=b,點(diǎn)D滿足BD=2DC,若將b與c作為一組基底,則AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c6.如圖,已知AB是圓O的直徑,點(diǎn)C,D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),AB=a,AC=b,則AD等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b7.(2020山東淄博高一期中)設(shè)ABC中BC邊上的中線為AD,點(diǎn)O滿足AO=2OD,則OC=()A.-1

3、3AB+23ACB.23AB-13ACC.13AB-23ACD.-23AB+13AC8.(2020山東泰安高一月考)已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,若用向量a和b表示c,則c=.題組三平面向量基本定理的應(yīng)用9.(2020遼寧沈陽高一上期末)已知點(diǎn)M是ABC的邊BC的中點(diǎn),N在線段AM上,且AN=xAB+yAC(x,yR),若x+y=12,則NBC的面積與ABC面積的比值是()A.14B.13C.12D.2310.(2020安徽六安第一中學(xué)高一上期末)在ABC中,D為AC邊的中點(diǎn),E為線段BD上一點(diǎn),且滿足BD=-3DE,若AE

4、=AB+AC,則2+=()A.1B.12C.13D.1411.(2020山東日照高一上期末)已知3OA=OB+OC,若A,B,C三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)=.12.在平行四邊形ABCD中,E為線段CD的中點(diǎn),AP=yAD,AQ=xAB,其中x,yR,且均不為0.若PQBE,則xy=.13.(2020遼寧錦州高一上期末)如圖,平行四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的中點(diǎn),G為BE與DF的交點(diǎn).若AB=a,AD=b.(1)試以a,b為基底表示BE,DF;(2)求證:A,G,C三點(diǎn)共線.能力提升練題組一對(duì)平面向量基本定理的理解1.(多選)()如果e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么下列說法中正確的是

5、()A.e1+e2(,R)可以表示平面內(nèi)的所有向量B.對(duì)于平面內(nèi)任一向量a,使a=e1+e2的實(shí)數(shù)對(duì)(,)有無窮多個(gè)C.若向量1e1+1e2與2e1+2e2共線,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若存在實(shí)數(shù),使得e1+e2=0,則=0題組二平面向量基本定理的應(yīng)用 2.(2020河南商丘名校高二期中聯(lián)考,)如圖,已知ABC與AMN有一個(gè)公共頂點(diǎn)A,且MN與BC的交點(diǎn)O平分BC,若AB=mAM,AC=nAN,則1m+2n的最小值為()A.4B.3+22C.32+2D.63.(2020中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)高三上期中,)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,M為AB的中點(diǎn),BP=2PC

6、,Q是AC上一點(diǎn),BQ=13BP+BM,則QBC的面積為()A.149B.79C.1439D.7394.(多選)(2020山東濟(jì)南高一下期末,)設(shè)點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說法正確的是()A.若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)B.若AM=2AB-AC,則點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上C.若AM=-BM-CM,則點(diǎn)M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,則MBC的面積是ABC面積的125.(2020湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上期末,)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=12ED,DF=3FC,AF與BE相交于點(diǎn)G,若AF=AG,則實(shí)數(shù)=.6.(2020遼寧本溪高

7、一上期末,)如圖,已知|OA|=1,|OB|=2,|OC|=3,OCOB,AOC=30,若OC=xOA+yOB,則x+y=.7.()如圖,在ABC中,AD,BE,CF為ABC的三條中線,BE,CF交于點(diǎn)O.求證:A,O,D三點(diǎn)共線.深度解析8.(2020福建泉州一中高一期中,)如圖所示,在ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)OA=a,OB=b.(1)試用向量a,b表示OM;(2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過點(diǎn)M,設(shè)OE=OA,OF=OB,R且均不為0,求證:1+3=7.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.B由于同一個(gè)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作

8、為表示這個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底,故是錯(cuò)的,是對(duì)的,故選B.2.B由基底的概念可知,作為基底的一組向量不能共線.由題圖可知,OA與BC共線,AB與CF共線,AB與DE共線,均不能作為基底向量,OA與CD不共線,可作為基底向量,故選B.3.答案解析設(shè)e1+e2=e1(R),則=1,1=0,無解,e1+e2與e1不共線,即e1,e1+e2能作為一個(gè)基底.設(shè)e1-2e2=(e2-2e1)(R),則(1+2)e1-(2+)e2=0,1+2=0,2+=0,無解,e1-2e2與e2-2e1不共線,即e1-2e2,e2-2e1能作為一個(gè)基底.e1-2e2=-12(4e2-2e1),e1-2e2與4e2-2e1

9、共線,即e1-2e2,4e2-2e1不能作為一個(gè)基底.設(shè)e1+e2=(e1-e2)(R),則(1-)e1+(1+)e2=0,1=0,1+=0,無解,e1+e2與e1-e2不共線,即e1+e2,e1-e2能作為一個(gè)基底.4.答案(-,4)(4,+)解析若a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則a與b不共線,即akb(kR),又a=e1+2e2,b=2e1+e2,4,實(shí)數(shù)的取值范圍為(-,4)(4,+).5.ABD=2DC,AD-AB=2(AC-AD),AD-c=2(b-AD),AD=13c+23b,故選A.6.D連接OC,OD,CD,如圖,由點(diǎn)C,D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),可得AOC=COD=BOD=6

10、0,且OAC和OCD均為邊長(zhǎng)等于圓O半徑的等邊三角形,所以四邊形OACD為菱形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b,故選D.7.A如圖所示:D為BC的中點(diǎn),AD=12AB+12AC.AO=2OD,AO=23AD=13AB+13AC,OC=AC-AO=AC-13AB+13AC=-13AB+23AC.故選A.8.答案a-2b解析易知a,b不共線,所以設(shè)c=xa+yb(x,yR),則xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因?yàn)閑1,e2不共線,所以3x-2y=7,-2x+y=4,解得x=1,y=2,所以c=a-2

11、b.9.C如圖.設(shè)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),則AB=2AD,AC=2AE,AN=xAB+yAC=2xAD+2yAE,x+y=12,2x+2y=1,N、D、E三點(diǎn)共線,SNBCSABC=12,故選C.10.B如圖所示,AE=AD+DE=12AC-13BD=12AC-13(AD-AB)=12AC-1312AC+13AB=13AB+13AC.AE=AB+AC,=13,=13,2+=12.11.答案2解析由3OA=OB+OC,得OA=13OB+3OC,A,B,C三點(diǎn)共線,13+3=1,=2.12.答案12解析PQ=AQ-AP=xAB-yAD.由PQBE,可設(shè)PQ=BE(R),所以xAB-yAD=B

12、E=(CE-CB)=-12AB+AD=-2AB+AD,所以x=12,y=,則xy=12.13.解析(1)BE=AE-AB=12AD-AB=12b-a,DF=AF-AD=12AB-AD=12a-b.(2)證明:D,G,F三點(diǎn)共線,DG=DF,(0,1),AG=AD+DG=AD+DF=b+12a-b=12a+(1-)b.B,G,E三點(diǎn)共線,BG=BE,(0,1),AG=AB+BG=AB+BE=a+12b-a=(1-)a+12b.由平面向量基本定理知12=1,1=12,解得=23,AG=13(a+b)=13AC,A,G,C三點(diǎn)共線.能力提升練1.AD由平面向量基本定理可知A、D正確;對(duì)于B,由平面向

13、量基本定理可知,如果一個(gè)平面的基底確定,那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的;對(duì)于C,當(dāng)滿足1=2=1=2=0時(shí),這樣的有無數(shù)個(gè).故選AD.2.C因?yàn)镺為BC的中點(diǎn),所以AO=12(AB+AC),又AB=mAM,AC=nAN,所以AO=m2AM+n2AN.因?yàn)镸,O,N三點(diǎn)共線,所以m2+n2=1,即m+n=2,易知m0,n0,所以1m+2n=1m+2nm2+n2=12+n2m+mn+1=32+n2m+mn32+2n2mmn=32+2,當(dāng)且僅當(dāng)n2m=mn,m+n=2,即m=22-2,n=422時(shí)取等號(hào).故1m+2n的最小值為32+2.故選C.3.DBQ=13BP+BM=1323BC+2

14、BA,由A,Q,C三點(diǎn)共線,得29+2=1=149,即BQ=29BC+79BA,即BC+CQ=29BC+79(BC+CA)CQ=79CA,故SQBC=79SABC=793422=739.故選D.4.ACD選項(xiàng)A,AM=12AB+12AC12AM-12AB=12AC-12AM,即BM=MC,則點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn).選項(xiàng)B,AM=2AB-ACAM-AB=AB-AC,BM=CB,則點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上,所以B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心性質(zhì)可知C成立.選項(xiàng)D,AM=xAB+yAC,且x+y=122AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=1,設(shè)AD

15、=2AM,則AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三點(diǎn)共線,所以MBC的面積是ABC面積的12.故選ACD.5.答案154解析取AB=a,AD=b為平行四邊形所在平面的一組基向量.由題知AG=1AF=1AD+34AB=134a+b=34a+1b.因?yàn)镋,G,B三點(diǎn)共線,所以可設(shè)EG=EB,(0,1),則AG=AE+EG=AE+(AB-AE)=a+13b.所以34=且1=13,解得=154.6.答案52解析過點(diǎn)C作OA的平行線,交OB于點(diǎn)D.AOC=30,OCD=30.在RtOCD中,COD=90,|OC|=3,|CD|=2,|OD|=1,又|OA|=1,|OB|=2,DC=2

16、OA,OD=12OB,OC=OD+DC=12OB+2OA.又OC=xOA+yOB,x=2,y=12.x+y=2+12=52.7.證明AD是ABC的中線,AD=12(AB+AC).設(shè)EO=EB,FO=FC,其中,R,則AO=AE+EO=AE+EB=AE+(AB-AE)=AB+12-12AC,AO=AF+FO=AF+FC=AF+(AC-AF)=12-12AB+AC,=12-12,12-12=,解得=13,AO=13(AB+AC)=23AD.AOAD.AD與AO有公共點(diǎn)A,A,O,D三點(diǎn)共線.關(guān)鍵思想由平面向量基本定理可知,平面中任意向量都可以用某一個(gè)基底表示出來,從而減少了未知向量的個(gè)數(shù),這實(shí)質(zhì)上應(yīng)用了消元的思想.8.解析(1)不妨設(shè)OM=ma+nb(m,nR).由于A,D,M三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)(-1)使得AM=MD,所以AO+OM=(MO+OD),于是OM=OA+OD1+.又OD=12OB,所以O(shè)M=OA+2OB1+=11+a+2(1+)b,所以m=11+,n=2(1+),即m+2n=1.由于B,C,M三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)(-1)