新編第十一章第3節(jié)冪級數46100課件

1、1第三節(jié) 冪級數一. 函數項級數的概念設稱為定義在區(qū)間 I 上的函數項級數 .對若常數項級數稱 為函數項級數的收斂點 ,所有收斂點的全體稱為函數項級數的收斂域 ;若常數項級數稱 為函數項級數的發(fā)散點 ,為定義在區(qū)間 I 上的函數列, 收斂,發(fā)散 ,所有發(fā)散點的全體稱為函數項級數的發(fā)散域 .2在收斂域上 , 函數項級數的和是 x 的函數稱它為級數的和函數 , 并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數項級數前 n 項的和, 即3例如 , 等比級數它的收斂域是當 時 , 有和函數它的發(fā)散域是或寫作又如 , 級數但當 時 ,級數發(fā)散 ;當 時 收斂 , 所以級數的收斂域僅為4二. 冪級數及其收斂性質形如

2、的函數項級數稱為冪級數 , 其中數列稱下面著重討論 的情形 , 即例如 , 冪級數為冪級數的系數 .即是此種情形.5收 斂發(fā) 散發(fā) 散收斂發(fā)散定理 1 ( Abel定理 )若冪級數則對滿足不等式的一切 x ,冪級數都絕對收斂 ;在時收斂 , 反之 , 若當的一切 x , 該冪級數也發(fā)散 . 時該冪級數發(fā)散 ,則對滿足不等式證: 設于是存收斂 ,在常數 M 0 , 使則必有當 時 , 收斂 ,也收斂 ,故原冪級數絕對收斂 .6假設有一點反之 , 若當 時該冪級數發(fā)散 , 這與所設矛盾,故 滿足不等式下面用反證法進行證明 .所以若當 時冪級數發(fā)散 , 則對一切收 斂發(fā) 散發(fā) 散由Abel 定理可以

3、看出 , 中心的區(qū)間 . 用R 表示冪級數收斂與發(fā)散的分界點收斂發(fā)散的收斂域是以原點為滿足且使級數收斂 ,前面的證明 ,根據級數在點也應收斂 ,假設不真 . 的 x , 原冪級數也發(fā)散 . 7R = 0 時 , 冪級數僅在 x = 0 收斂 ;R = 時 , 冪級數在 收斂 ;冪級數在 收斂 ;在 外發(fā)散 ;在 可能收斂也可能發(fā)散 .加上收斂的端點稱為收斂區(qū)間 .稱為收斂半徑 8定理2. 若冪級數的系數滿足則: 1) 當 時 , 2) 當 時 ,3) 當 時 ,證: 對級數1) 若則根據比值審斂法可知當即 時,原級數收斂 ;當即 時 ,原級數發(fā)散 .因此級數的收斂半徑92) 若則根據比值審斂法

4、可知,數絕對收斂 ,3) 若則對除 x = 0 以外的一切 x 原級數都發(fā)散 ,對任意 x 原級因此因此 定理2的收斂半徑為說明: 據此定理10的收斂半徑及收斂區(qū)間 .解:對端點 x = 1 , 級數為交錯級數收斂 級數為發(fā)散 故收斂區(qū)間為對端點例1.求冪級數11例2. 求下列冪級數的收斂域 :解: (1)所以收斂區(qū)間為(2)所以級數僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 112例3. 求冪級數的收斂區(qū)間 .解: 令 級數變?yōu)楫?t = 2 時, 級數成為此級數發(fā)散 ;當 t = 2 時, 級數成為此級數條件收斂 ;因此級數的收斂域為故原級數的收斂域為即13解缺少偶次冪的項級數收斂,1

5、4級數發(fā)散,級數發(fā)散,級數發(fā)散,原級數的收斂區(qū)間為15例5. 求冪級數的收斂半徑 .解: 由于級數缺少奇次冪項 , 不能直接應用定理 2 .可直接根據比值審斂法求收斂半徑 . 方法如下:當時級數收斂當時級數發(fā)散 故收斂半徑為 即即16解由達朗貝爾判別法原級數絕對收斂.17原級數發(fā)散.收斂;發(fā)散;18三. 冪級數的運算定理3 設冪級數及的收斂半徑分別為令其中以上結論可用部分和的極限證明 .為常數 ) ,則有 :19定理4 若冪級數的收斂半徑則其(證明略)和函數在收斂區(qū)間上連續(xù) ,且在收斂區(qū)間內可逐項求導與逐項求積分:2021例7. 求級數的和函數解: 易求出冪級數的收斂半徑為 1 , 故當時22解兩邊積分得2324例9. 求級數的和 .解：設則25例9 求級數的和.而故26例10. 冪級數在解: 設則故由得即有收斂 , 試求其和 .27內容小結1. 求冪級數收斂區(qū)間的方法1) 對標準型冪級數先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .2) 對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法 , 也可通過換元化為標準型再求 .2. 冪級數的性質 1) 兩個冪級數在公共收斂區(qū)間內