高一數(shù)學人教A版必修四教案：3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（2） Word版含答案

1、3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(2)教案 教學分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上，進一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導中，教科書都把對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點，如比較cos(-)與cos(+),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即+=-(-)的關(guān)系，從而由公式C(-)推得公式C(+)，又如比較sin(-)與cos(-)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進行函數(shù)名的互化，利用誘導公式（5）（6）即可推得公式

2、S(-)、S(+)等.2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，還使學生加深了數(shù)學公式的推導、證明方法的理解.因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.3.本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶.本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如在面對問題時，要注意先認真分析

3、條件，明確要求，再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的.二、三維目標1知識與技能：在學習兩角差的余弦公式的基礎上，通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.2過程與方法：通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學生

4、分析問題解決問題的能力.3情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)學習，使學生掌握尋找數(shù)學規(guī)律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提高學生的數(shù)學素質(zhì).三、重點難點教學重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導.教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明.四、課時安排2課時五、教學設想（一）導入新課 思路1.(復習導入)讓學生回憶上節(jié)課所學的六個公式，并回憶公式的來龍去脈，然后讓一個學生把公式默寫在黑板上或打出幻燈.教師引導學生回顧比較各公式的結(jié)構(gòu)特征，說出它們的區(qū)別和聯(lián)系，以及公式的正用、逆用及變形用，以利于對公式的深刻理解.這節(jié)課我們將進一步探究兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈

5、活應用. 思路2.(問題導入)教師可打出幻燈，出示一組練習題讓學生先根據(jù)上節(jié)課所學的公式進行解答.1.化簡下列各式(1)cos（）cossin（）sin;(2);(3)2.證明下列各式(1)(2)tan（）tan（-）（1-tan2tan2）tan2-tan2;(3)答案:1.(1)cos;(2)0;(3)1.2.證明略.教師根據(jù)學生的解答情況進行一一點撥，并對上節(jié)課所學的六個公式進行回顧復習，由此展開新課.（二）推進新課、新知探究、提出問題請同學們回憶這一段時間我們一起所學的和、差角公式.請同學們回顧兩角和與差公式的區(qū)別與聯(lián)系，可從推導體系中思考. 活動：待學生稍做回顧后，教師打出幻燈，出示

6、和與差角公式，讓學生進一步在直觀上發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的區(qū)別與聯(lián)系，理解公式的推導充分發(fā)揮了向量的工具作用，更要體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法.教師引導學生觀察，當、中有一個角為90時，公式就變成誘導公式，所以前面所學的誘導公式其實是兩角和與差公式的特例.在應用公式時，還要注意角的相對性，如=(+)-,等.讓學生在整個的數(shù)學體系中學會數(shù)學知識，學會數(shù)學方法，更重要的是學會發(fā)現(xiàn)問題的方法，以及善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的良好習慣，提高數(shù)學素養(yǎng).sin（）sincoscossin（）;cos（）coscossinsinC（）;tan（）T（）.討論結(jié)果：略.（三）應用示例思路1例1 利用和差角公式計算下列各

7、式的值.（1）sin72cos42-cos72sin42;（2）cos20cos70-sin20sin70;（3） 活動：本例實際上是公式的逆用，主要用來熟悉公式，可由學生自己完成.對部分學生，教師點撥學生細心觀察題中式子的形式有何特點，再對比公式右邊，馬上發(fā)現(xiàn)（1）同公式S(-)的右邊，（2）同公式C(+)右邊形式一致，學生自然想到公式的逆用，從而化成特殊角的三角函數(shù)，并求得結(jié)果.再看（3）式與T(+)右邊形式相近，但需要進行一定的變形.又因為tan45=1，原式化為，再逆用公式T(+)即可解得.解：（1）由公式S(-)得原式=sin(72-42)=sin30=.（2）由公式C(+)得原式=

8、cos(20+70)=cos90=0.（3）由公式T(+)得原式=tan(45+15)=tan60=. 點評：本例體現(xiàn)了對公式的全面理解，要求學生能夠從正、反兩個角度使用公式.與正用相比，反用表現(xiàn)的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識，對思維的靈活性要求也高，而且對公式要有更全面深刻的理解.變式訓練1.化簡求值：（1）cos44sin14-sin44cos14;（2）sin14cos16+sin76cos74;（3）sin(54-x)cos(36+x)+cos(54-x)sin(36+x).解：（1）原式=sin(14-44)=sin(-30)=-sin30=.（2）原式=sin14

9、cos16+cos14sin16=sin(14+16)=sin30=.（3）原式=sin(54-x)+(36+x)=sin90=1.2.計算解：原式=tan(45-75)=tan(-30)=-tan30=.例2 已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos (x-)的定義域為R,設0,2,若f(x)為偶函數(shù),求的值. 活動:本例是一道各地常用的、基礎性較強的綜合性統(tǒng)考題,其難度較小,只需利用偶函數(shù)的定義,加上本節(jié)學到的兩角和與差的三角公式展開即可,但不容易得到滿分.教師可先讓學生自己探究,獨立完成,然后教師進行點評.解:f(x)為偶函數(shù),f(-x)=f(x),即sin(-x+)+cos(-x-)=

10、sin(x+)+cos(x-),即-sinxcos+cosxsin+cosxcos-sinxsin=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin.sinxcos+sinxsin=0.sinx(sin+cos)=0對任意x都成立.sin(+)=0,即sin(+)=0.+=k(kZ).=k-(kZ).又0,2),=或=. 點評:本例學生可能會根據(jù)偶函數(shù)的定義利用特殊值來求解.教師應提醒學生注意,如果將本例變?yōu)檫x擇或填空,可利用特殊值快速解題,作為解答題利用特殊值是不嚴密的,以此訓練學生邏輯思維能力.變式訓練已知：,cos(-)=,sin(+)=,求cos2的值.解：,0-,+.又

11、cos(-)=,sin(+)= ,sin(-)=,cos(+)=.cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=+()=.例3 求證：cos+sin=2sin(+). 活動：本題雖小但其意義很大,從形式上就可看出來,左邊是兩個函數(shù),而右邊是一個函數(shù),教師引導學生給予足夠的重視.對于此題的證明，學生首先想到的證法就是把等式右邊利用公式S(+)展開，化簡整理即可得到左邊此為證法，這是很自然的，教師要給予鼓勵.同時教師可以有目的的引導學生把等式左邊轉(zhuǎn)化為公式S(+)的右邊的形式，然后逆用公式化簡即可求得等式右邊的式子，這種證明方法不僅僅是方法的變化，更重要的是把

12、兩個三角函數(shù)化為一個三角函數(shù).證明：方法一：右邊=2(sincos+cossin)=2(cos+sin)=cos+sin=左邊.方法二：左邊=2(cos+sin)=2(sincos+cossin)=2sin(+)=右邊. 點評：本題給出了兩種證法，方法一是正用公式的典例，而方法二則是逆用公式證明的，此法也給了我們一種重要的轉(zhuǎn)化方法，要求學生熟練掌握其精神實質(zhì).本例的方法二將左邊的系數(shù)1與分別變?yōu)榱伺c，即輔助角的正、余弦.關(guān)于形如asinx+bcosx（a，b不同時為零）的式子,引入輔助角變形為Asin(x+)的形式，其基本想法是“從右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+)的形式.一般

13、情況下，如果a=os,b=Asin,那么asinx+bcosx=A(sinxcos+cosxsin)=Asin(x+).由sin2+cos2=1,可得A2=a2+b2,A=,不妨取A=,于是得到cos=,sin=,從而得到tan=,因此asinx+bcosx=sin(x+)，通過引入輔助角，可以將asinx+bcosx這種形式的三角函數(shù)式化為一個角的一個三角函數(shù)的形式.化為這種形式可解決asinx+bcosx的許多問題，比如值域、最值、周期、單調(diào)區(qū)間等.教師應提醒學生注意，這種引入輔助角的變換思想很重要，即把兩個三角函數(shù)化為一個三角函數(shù)，實質(zhì)上是消元思想，這樣就可以根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研

14、究它的性質(zhì).因此在歷年高考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，是三角部分中高考的熱點,再結(jié)合續(xù)內(nèi)容的倍角公式,在解答高考物理試題時也常常被使用，應讓學生領(lǐng)悟其實質(zhì)并熟練的掌握它.變式訓練 化簡下列各式：（1）sinx+cosx;（2）cosx-6sinx.解：（1）原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)=2sin(x+).（2）原式=2 (cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)=2sin(-x).例4 （1）已知+=45,求(1+tan)(1+tan)的值;（2）已知sin(+)=,sin(-)=,求 活動：對于（1）,教師可與學生一起觀察條件，分析題意可

15、知，+是特殊角，可以利用兩角和的正切公式得tan,tan的關(guān)系式，從而發(fā)現(xiàn)所求式子的解題思路.在（2）中，我們欲求若利用已知條件直接求tan,tan的值是有一定的困難，但細心觀察公式S(+)、S(-)發(fā)現(xiàn)，它們都含有sincos和cossin，而化切為弦正是，由此找到解題思路.教學中盡可能的讓學生自己探究解決，教師不要及早地給以提示或解答.解：（1）+=45,tan(+)=tan45=1.又tan(+)=tan+tan=tan(+)(1-tantan),即tan+tan=1-tantan.原式=1+tan+tan+tantan=1+(1-tantan)+tantan=2.（2）sin(+)=,

16、sin(-)= ,sincos+cossin=, sincos-coscos=. +得sincos=,-得cossin=, 點評：本題都是公式的變形應用，像(1)中當出現(xiàn)+為特殊角時，就可以逆用兩角和的正切公式變形tan+tan=tan(+)(1-tantan),對于我們解題很有用處，而(2)中化切為弦的求法更是巧妙，應讓學生熟練掌握其解法.變式訓練1.求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)(1+tan44)(1+tan45)的值.解：原式=(1+tan1)(1+tan44)(1+tan2)(1+tan43)(1+tan22)(1+tan23)(1+tan45)=2222=223.2.計算：tan15+tan30+tan15tan30.解：原式=tan45(1-tan15tan30)+tan15tan30=1.（四）作業(yè)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac0)的兩個根為tan、tan,求tan(+)的值.解：由韋達定理得：tan+tan=,t