現(xiàn)代控制理論四 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

1、第4章 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性 對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫（A. M. Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。 A. M. Lyapunov于1892年出版專著運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。本章的主要內(nèi)容為1. 引言2. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3. 李亞普諾夫第二法15. 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4. 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6. 有界輸入-有界輸出穩(wěn)定7. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析24.1 引言 李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。 第一種

2、方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。 對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。 這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個例子來說明。3例4-1 一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運動由如下微分方程描述。令（1）選取狀態(tài)變量則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）4在任意時刻，系統(tǒng)的總能量（3）顯然，當(dāng) 時 ， 而當(dāng) 時而總能量隨時間的變化率為可見，只有在 時， 。在其他各處均有 ，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3、 Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。5平衡狀態(tài) 一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，其初始狀態(tài)為 。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線 是隨時間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng) tt0 ）則稱 為系統(tǒng)平衡。 如果不在坐標(biāo)原點，可以通過非奇異線性變換，使 ，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題都可以歸結(jié)為原點的穩(wěn)定性問題。64.2 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義4.2.1 穩(wěn)定的定義則非線性時變系統(tǒng)（4）（6）（5）定義 對于任意給定的實數(shù) ，都對應(yīng)存在實數(shù) ，使?jié)M足的任意初始狀態(tài) 出發(fā)的軌線 有 （對所有 t t0）成立，則稱 為Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。表示求歐幾里德范數(shù)。（即：表示空間距離）7Lyapunov意義下穩(wěn)定

4、漸進穩(wěn)定漸進穩(wěn)定4.2.2 漸近穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線 ，當(dāng) 時，收斂于 ，則稱 為漸近穩(wěn)定。8更精密的敘述如下：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) ，對于 ，存在 和，當(dāng) 時，從 出發(fā)的 ，都有并且 充分大時， 就充分小。則稱 為Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定。當(dāng) 與 、 無關(guān)時 ，則稱 為一致漸近穩(wěn)定。94.2.3 大范圍漸進穩(wěn)定如果 是整個狀態(tài)空間中任一點，并且都有則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱為Lyapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。當(dāng)穩(wěn)定性與 的選擇無關(guān)時，稱一致全局漸近穩(wěn)定。不穩(wěn)定4.2.4 不穩(wěn)定對于任意的實數(shù) ，存在一個實數(shù) ，不論 取的多么小，在滿

5、足不等式的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個初始狀態(tài) ，由此出發(fā)的軌線 ，滿足稱 為Lyapunov意義下不穩(wěn)定104.3 李亞普諾夫第二法定義 如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng) 時， ；僅當(dāng) 時， ；則稱 為正定的。除了 以外，還有狀態(tài)使 ，稱 為半正定的。0定義 如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng) 時， ；僅當(dāng) 時， ；則稱 為負(fù)定的。除了 以外，還有狀態(tài)使 ，稱 為半負(fù)定的。0（7）定理4-1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1） 為正定； 2） 為負(fù)定。 則 為一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 11例4-2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性

6、。解而將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足可見， 是負(fù)定的，即滿足因此， 是一致漸進穩(wěn)定的。 當(dāng) ，有 ，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。12定理4-2 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1） 為正定； 2） 為半負(fù)定；3）除了 平衡狀態(tài)外，還有 的點，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有 則 為一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 （注：本定理是將定理4-1的條件稍微放寬了一點）13例4-3 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中， a 為大于零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 選取Lyapunov函數(shù)

7、：顯然它是正定的，即滿足而將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得可見，當(dāng) 和任意的 時，有 ，而 和任意 時， 。又因為 ，只要 變化 就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會有 。因此， 是一致漸進穩(wěn)定的。 當(dāng) ，有 ，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。14定理4-3 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1） 為正定；2） 為半負(fù)定； 則 為一致穩(wěn)定的。如果 ， ，則 是大范圍一致穩(wěn)定的。 （注：本定理只是比定理4-2少了第3個條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）15因為 0則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有 ，則系統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平

8、衡點。因此 是一致穩(wěn)定的。16例4-4 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中， k 為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-3可知， 為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。 17定理4-4 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 在 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足： 1） 為正定； 2） 為正定或半正定； 則 為不穩(wěn)定的。例4-5 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-4可知， 是不穩(wěn)定的。 18 應(yīng)該指出：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造Lyapu

9、nov函數(shù)的一般方法。因為Lyapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive 沒有得出結(jié)論）。194.4 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對線性時變系統(tǒng)，其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為由第2章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣當(dāng)它的所有主子式均大于零時，則Q是正定的。即：對線性定常系統(tǒng) ，可以用Lyapunov第二法。20 如果方陣Q 是正定的，則Q

10、就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式負(fù)正相間。Lyapunov函數(shù) 為狀態(tài)變量 的二次型函數(shù)，即如果P 為 維正定的對稱常數(shù)矩陣，則 為正定的。令 ，其中Q 為正定實數(shù)矩陣，且滿足 如果給定Q陣，能夠推出P 為正定的，則系統(tǒng)在 為穩(wěn)定的。并且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。（注：線性定常系統(tǒng)，可以判斷A的特征值是否全部具有負(fù)實部，既可以判別其穩(wěn)定性。）21例4-6 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣I。解得有可見， P 為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。224.5 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程

11、為（8）系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為假設(shè)G 為 維非奇異常數(shù)陣， 是唯一的平衡狀態(tài)。選取Lyapunov函數(shù)（9）式中，P 為 正定的對稱常數(shù)，因此 是正定的。 的差分為若要在 處漸近穩(wěn)定，要求 為負(fù)定的。所以其中Q 為正定。給定一個正定對稱常數(shù)陣Q ，求P 陣，并驗證其正定性。（10）23例4-7 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣I。解得P 的各階主子式均大于零，即可見， P 為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。244.6 有界輸入-有界輸出穩(wěn)定4.6.1 有界輸入-有界輸出穩(wěn)定Bounded Input Bounded Ou

12、tput (BIBO) Stable定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為BIBO系統(tǒng)。如果輸入 有界，是指 如果輸入 有界，是指 如果于是可以取25定理4-5 由方程 描述的線性定常系統(tǒng)。為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為（11）BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個常數(shù)K3，有或者對于 的每一元素，都有26其中，a 為一個非負(fù)的實數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為例4-8 線性定常系統(tǒng)方程為分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。解可見，只有當(dāng) 時，才有有限值 存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定的。274.6.2 BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系對于線性定常系統(tǒng)（12）平衡狀態(tài) 的漸近穩(wěn)定性由A

13、 的特征值決定。而BIBO的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點決定的。 的所有極點都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是 的極點?？赡艽嬖诹銟O點對消。所以， 處的漸近穩(wěn)定就包含了BIBO穩(wěn)定，而BIBO穩(wěn)定卻可能不是 處的漸近穩(wěn)定。那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定呢？結(jié)論是：如果（12）式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系統(tǒng)是既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在 處是漸近穩(wěn)定的。284.7 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.7.1 用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止，尚沒有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1.

14、 克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中 和 均為n維向量。 為非線性多元函數(shù)，對各 都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。29構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下（13）其中 W 為 正定對稱常數(shù)矩陣（14）而（15）其中稱為雅可比矩陣（16）30其中（17）如果 是負(fù)定的，則 是負(fù)定的。而 是正定的，故 是一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取 ，這時31例4-10 非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為試分析 的穩(wěn)定性。解雅可比矩陣選擇 W=I 則32檢驗 的各階主子式：并且時，有顯然， 是負(fù)定的，故 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。2. 變量梯度法（這部分內(nèi)容需要用到工程數(shù)學(xué)場論中的梯度、旋度等知識，而大部分院校自動化專業(yè)本科生沒有學(xué)過場論，可以跳過這一段。）334.7.2 用Lyapunov第一近似理論分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性非線性定常系統(tǒng)方程為如果當(dāng) ，有 ，則 為高階無窮小項。 （18）設(shè) 在 的鄰域內(nèi)，可以展開成臺勞級數(shù)：（19）34忽略高階無窮小，得到非線性系統(tǒng)的線性化模型（20）其中這是一個雅可比矩陣35定理4-6 如果式（20）所描述的線性化系統(tǒng)，A