一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用2掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【主體知識(shí)歸納】b221一元二次方程的根的判別式：4ac叫做一元二次方程axbxc0（a0）的根的判別式通常用符號(hào)“”來(lái)表示2對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根反過(guò)來(lái)也成立3.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩個(gè)根是x，x，12那么x+x=-12ba，xx=12ca4.如果關(guān)于x的一元二次方程x2pxq0（a0）的兩個(gè)根是x，x，12那么x+x=

2、-p，xx=q1212【基礎(chǔ)知識(shí)講解】1根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系都體現(xiàn)了根與系數(shù)之間的聯(lián)系2.根的判別式是指b24ac，而不是指b24ac3根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必須把所給的方程化為一般形式再判別根的情況要注意方程中各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)4如果說(shuō)一元二次方程有實(shí)根，那么應(yīng)當(dāng)包括有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩種情況，此時(shí)b24ac0，不要丟掉等號(hào)5.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的前提是：（1）二次項(xiàng)系數(shù)a0，即保證是一元二次方程；（2）由于我們目前只研究實(shí)數(shù)根的問題，故還要考慮實(shí)數(shù)根存在的前提，即：b24ac06判別式有以下應(yīng)用：學(xué)習(xí)必備

3、歡迎下載(1)不解方程，判定一元二次方程根的情況；(2)根據(jù)一元二次方程根的情況，確定方程中未知系數(shù)的取值范圍；(3)應(yīng)用判別式進(jìn)行有關(guān)的證明根與系數(shù)的關(guān)系有以下應(yīng)用：(1)已知一根，求另一根及求知系數(shù)；(2)不解方程，求與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值；(3)已知兩數(shù)，求以這兩數(shù)為跟的方程；已知兩數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)(4)確定方程中字母系數(shù)的取值范圍(5)確定根的符號(hào)。【例題羅列】根的判別式類型1：不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）3x22x10；（2）y22y4；（3）（2k21）x22kx10；（4）9x2（p7）xp30（系數(shù)中有字母的情況）解：(1)（2）243（1）4120，原方

4、程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)原方程就是y22y40（2）24144160，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根(3)2k210，原方程為一元二次方程又（2k）24（2k21）14k240，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根(4)（p7）249（p3）（p11）236，不論p取何實(shí)數(shù)，（p11）2均為非負(fù)數(shù)，(p11)2360，即0，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根升級(jí):如果關(guān)于x的方程x22xm9沒有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于y的方程y2my2m50的根的情況學(xué)習(xí)必備歡迎下載這是一類需要自己找出隱含條件的題解：x22xm90沒有實(shí)數(shù)根，224(m9)4m400，1即m10又y2my2m50的判斷式m4(2m5)m28m20222當(dāng)m10時(shí)，m28m

5、200，即02方程y2my2m50有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根類型2：1.已知關(guān)于x的一元二次方程(k1)x22kxk30k取什么值時(shí)，(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?(3)方程沒有實(shí)數(shù)根?解：(2k)24（k1）（k3）8k12(1)當(dāng)8k120，且k10，即k3且k1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的2實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)8k120，且k10，即k3時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2(3)當(dāng)8k120，且k10，即k3時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根2說(shuō)明：當(dāng)已知方程為一元二次方程時(shí)，要特別注意隱含的條件：二次項(xiàng)系數(shù)不等于零2已知a、b、c是ABC的三邊，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=

6、0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則此三角形為（）A、等腰三角形B、等邊三角形C、直角三角形D、斜三角形看到有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根立即判斷應(yīng)用根的判別式解：原方程可化為（a+c）x22bxa-c0，(2b)24（a+c）（a-c）0得到a2=b2+c2，因此此三角形為直角三角形。升級(jí)：已知關(guān)于x的方程x2+(2m+1)+m2+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試判斷直線y=(2m-3)x-4m+7能否通過(guò)點(diǎn)（-2，4），并說(shuō)明理由這是與一次函數(shù)相結(jié)合的題目4解：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2m+1)2（m2+2）4m-60，3如果直線y=(2m-3)x-4m+7能通過(guò)點(diǎn)（-2，4）m=2k5，(或2k)學(xué)習(xí)必

7、備歡迎下載即m3。2982所以不通過(guò)。類型3:（1）求證：不論a、b、c為何值，關(guān)于x的方程(bx)24(ax)(cx)0必有實(shí)數(shù)根證明:原方程可化為3x2(4a4c2b)xb24ac0，(4a4c2b)24(3)(b24ac)16a216b216c216ab16bc16ac8(ab)2(ac)2(bc)2不論a、b、c為何值，都有(ab)20，(bc)20，(ca)208(ab)2(bc)2(ca)20方程必有實(shí)數(shù)根（2）已知方程x2+2x=k-1沒有實(shí)數(shù)根。求證：方程x2+kx=1-2k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。也是一類需要自己找出隱含條件的題解:第一個(gè)方程224(-k+1)0即k0第二個(gè)方程

8、k24(-1+2k)=k28k+4=（k-4）2-16在k0的情況下必大于0根與系數(shù)的關(guān)系類型1;如果x2是方程x2kxk50的一個(gè)根，求k的值，并求出方程另一個(gè)根。解:設(shè)另一個(gè)根為，據(jù)方程的根的意義與根與系數(shù)的關(guān)系，可列出方程組222kk50即有k25；37xx1，xx33學(xué)習(xí)必備歡迎下載3k1，解這個(gè)方程組，得1k3類型2求作以方程3x2x10的兩根的負(fù)倒數(shù)為根的一個(gè)一元二次方程。解設(shè)方程3x2x10的兩根為x，x，則1211212，。所求方程兩根為11xx122311xxxx111xx112123()31x111xxx212所求方程為y2y30類型3設(shè)方程4x27x30的兩根為x，x，不

9、解方程，求下列各式的值：12(1)(x3)(x3)12(2)x3x312(3)xx21x1x112(4)xx12其關(guān)鍵是將它們用x+x，xx表示出來(lái)，如何表示呢？常用的變形有：1212解(1)x2x2(xx)22xx；121212(2)(xx)2(xx)24xx；121212學(xué)習(xí)必備歡迎下載(3)xxxx121211xx12；xx7，xx4439()33()(4)(xa)(xa)xxa(xx)a2121212(5)x3x3(xx)(x2xxx2)12121122(xx)(xx)23xx121212(xx)33xx(xx)121212由根與系數(shù)的關(guān)系可得：31212(1)(x3)(x3)xx3(

10、xx)912121237443(2)x3x3(xx)33xx(xx)1212121273744459564(3)xxx(x1)x(x1)122211x1x1(x1)(x1)1212(xx)22xx(xx)121212xx(xx)11212()22()4737443714410132()24()(4)xx(xx)21212(xx)24xx12127344學(xué)習(xí)必備歡迎下載1497類型41.已知關(guān)于x的一元二次方程：x22(m2)xm240的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比這兩根的積大84，求：實(shí)數(shù)m的值。這一塊很容易和根的判別式結(jié)合在一起解設(shè)方程兩根為x，x12xx2(m2)，xxm241212由題意可得：x

11、2x2xx84即：(xx)23xx84121212122(m2)23(m24)84m20，m4122(m2)24(m24)16m0m0m20(舍去)m42設(shè)關(guān)于x的方程x22mx2m40（1）證明：不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）m為何實(shí)數(shù)時(shí)，兩根之差的絕對(duì)值等于4。（1）證明：4m24(2m4)4m28m164(m22m4)4(m1)212(m1)20，4(m1)2120此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）設(shè)：方程的兩根為x，x，則x+x=2m1212xx2m4，又|xx|(xx)24xx121212122(m1)234得(m1)21，解得m0，m2，故12學(xué)習(xí)必備歡迎

12、下載當(dāng)m0或m2時(shí)，方程兩根之差的絕對(duì)值等于4。升級(jí)：已知：關(guān)于x的方程：x23x2k10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和不小于這兩個(gè)根的積，且反比例函數(shù)y12k的圖象的兩個(gè)分支在各自的象限內(nèi)y隨x的x增大而減小，求滿足上述條件的k的整數(shù)值。與反比例的結(jié)合解關(guān)于x的方程x23x2k10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。324(2k1)0，解得k138設(shè)方程兩根x，x，xx3，xx2k1121212x2x2xx121k1382(xx)23xx0，k21212y反比例函數(shù)12kxy的圖象的兩個(gè)分支在各自象限內(nèi)隨x的增大而減小，k12k0，即k11328k的整數(shù)值為0，112類型5已知x，x是關(guān)于x的一元二次方程4x24(m1)x

13、m20的兩非零12實(shí)數(shù)根，問x與x能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的n的取值范圍；若不能12同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程4x24(m1)xm20有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，則有4(m1)244m232m160，m1。2學(xué)習(xí)必備歡迎下載又x，x是方程4x24(m1)xm20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程12根與系數(shù)的關(guān)系，有：xx(m1)，xx1212假設(shè)x、x同號(hào)，則有兩種可能：12(1)x0，x0(2)x0，x01212若x0，x0，則有1214m2。1即有14mxx02x1x20(m1)020解這個(gè)不等式，得m1且m0。即：當(dāng)m12且m0時(shí)，原方程兩根能同號(hào)。若x0，x0，則有12

14、1即有1xx02x1x20(m1)04m20解這個(gè)不等式，得：m1。而m12時(shí)方程才有實(shí)數(shù)根，所以此種情況不存在。綜上所述：當(dāng)m且m0時(shí)，原方程兩根能同號(hào)。12根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合題1（2010年綿陽(yáng)市）已知關(guān)于x的一元二次方程x2=2（1m）xm2的兩實(shí)數(shù)根為x，x12（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)y=x+x，當(dāng)y取得最小值時(shí)，求相應(yīng)m的值，并求出最小值12解：（1）將原方程整理為x2+2（m1）x+m2=0原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，eqoac(,=)2（m1）24m2=8m+40，得m學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）x，x為x2+2（m1）x+m2=0的兩根，12y=x+x=2m+2，且m12因而y隨m的增大而減小，故當(dāng)m=時(shí)，取得最小值12(2001年湖北省荊門市)已知關(guān)于x的方程x2(k2)x2k0，(1)求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a1