中學數(shù)學能力培養(yǎng)

1、第五章 中學數(shù)學能力與教學 能力通常指完成某種活動的本領、包括完成某項活動的具體方式以及順利完成某種活動所必需的個性心理特征。能力通常分為一般能力和特殊能力。前者指在各種活動中表現(xiàn)出來的基本能力，如觀察能力、注意力和記憶力等。特殊能力是在某種專業(yè)活動中表現(xiàn)出來的能力。兩者有機聯(lián)系在一起，一般能力的表現(xiàn)為特殊能力的發(fā)展創(chuàng)造條件；而特殊能力的發(fā)展又促進一般能力的發(fā)展。數(shù)學能力是順利完成數(shù)學活動所具備的而且直接影響其特殊活動效率的一種個性心理特征。它是在數(shù)學活動中形成和發(fā)展起來的，是在這類活動中表現(xiàn)出來的比較穩(wěn)定的心理特征。數(shù)學能力按數(shù)學活動水平可分為兩類：學習數(shù)學（再現(xiàn)性）的數(shù)學能力；另一種是研究

2、數(shù)學（創(chuàng)造性）的數(shù)學能力。中學數(shù)學教學中，包括學習數(shù)學的能力和這種初步的創(chuàng)造能力，并且這種創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，在中學數(shù)學教學已越來越來引起人們的重視。如圖：再現(xiàn)性數(shù)學能力學生學校數(shù)學創(chuàng)造性數(shù)學能力數(shù)學工作者作為學科的數(shù)學數(shù)學活動再創(chuàng)造數(shù)學能力與數(shù)學知識、技能的關系數(shù)學知識由兩種成分組成：客觀的數(shù)學知識（顯性）和主觀的數(shù)學活動經驗（隱性）?？陀^的數(shù)學知識指那些客觀的數(shù)學事實，如數(shù)學命題、數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學問題和數(shù)學語言等它們只是數(shù)學知識的一小部分。主觀的數(shù)學活動經驗指從事數(shù)學活動過程中，內潛于個體的對于數(shù)學的體驗及認知模式，主要涉及伴隨活動過程的體驗性、策略性及元認知知識。它包括了對數(shù)學的情感

3、、態(tài)度、價值觀以及對數(shù)學美的體驗，它滲透于活動行為的數(shù)學思考、數(shù)學意識、數(shù)學觀念、數(shù)學精神等，還包括了處理數(shù)學對象的成功思維方式以及思考抽象概念的成功思維方式。如圖： 明言知識 (是什么、為什么) 主要是事實和原理的知識存于書本，可編碼（邏輯性）、可傳遞(共享性)、可反思(批判性) 默會知識 （怎么想、怎么做）本質上是理解力和領悟存于個人經驗(個體性)、嵌入實踐活動（情境性） 隱性知識常常“只可意會，不可言傳” M. Polany ：“緘默的知識”(1956)，實踐技能很難訴諸文字，科學 創(chuàng)造根源于默會的力量。OECD(經合組織):“1996年科學、技術與產業(yè) 展望”，重點強調默知識在新經濟時

4、代的特別重要意義。 知識的冰山模型（J.Brown,2000）數(shù)學技能的內涵數(shù)學技能是指通過練習而形成的、順利完成數(shù)學活動的一種動作方式，往往表現(xiàn)為完成數(shù)學任務所需要的動作協(xié)調和自動化。數(shù)學技能分為動作技能和心智技能，但主要是指心智技能。心智技能是一種活動方式，屬于心理活動經驗，解決的是完成活動時會不會及熟練不熟練的問題，它具有動作對象的觀念性、動作執(zhí)行的內潛性、動作結構的簡縮性等特點中學階段的數(shù)學基本技能具體表現(xiàn)為能夠按照一定程序與步驟進行運算、處理數(shù)據（包括使用計算機）、簡單的推理、畫圖、繪制圖表、數(shù)學交流等技能。數(shù)學能力與數(shù)學知識、數(shù)學技能的關系相互聯(lián)系又相互區(qū)別數(shù)學知識是數(shù)學經驗的概括

5、，是個體心理內容；數(shù)學技能是一系列關于數(shù)學活動的行為方式的概括，是個體操作技術；數(shù)學能力是對數(shù)學思想材料進行加工的活動過程的概括，是個體心理特征。數(shù)學技能以數(shù)學知識的學習為前提，在數(shù)學知識的學習和應用過程中，通過實際操作獲得動作經驗而逐漸形成，并且對知識學習產生反作用。數(shù)學技能的形成可以看成是深刻掌握數(shù)學知識的一個標志。作為心理特征的能力，是對活動的進行起穩(wěn)定調節(jié)作用的個體經驗，是一種內化了的認知經驗和動作經驗。簡言之，數(shù)學知識是形成數(shù)學技能的基礎，數(shù)學知識和數(shù)學技能又是形成數(shù)學能力的基礎，且數(shù)學技能從數(shù)學知識掌握到數(shù)學能力形成和發(fā)展的中間環(huán)節(jié)；反過來，數(shù)學能力的提高又會加深數(shù)學知識的理解和技

6、能的掌握。第二節(jié) 數(shù)學能力的成分結構三大能力：運算能力，邏輯思維能力，空間想象能力。（19701990年代）逐步形成運用數(shù)學知識來分析和解決實際問題的能力，“邏輯思維能力”改成“思維能力”，增加“創(chuàng)新意識”的培養(yǎng)。（19902000年代）抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據處理、空間想象能力，應用意識和創(chuàng)新意識。（2000年代至今）數(shù)學一般能力：數(shù)學觀察力、注意力、記憶力。數(shù)學特殊能力：抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據處理、空間想象能力。數(shù)學實踐能力：學生數(shù)學的提出問題、分析問題和解決問題的能力，應用意識和創(chuàng)新能力、數(shù)學探究能力和數(shù)學交流能力。數(shù)學發(fā)展能力：包括獨立獲取數(shù)學知識的能力和數(shù)學創(chuàng)新

7、能力。培養(yǎng)學生的發(fā)展能力是數(shù)學教育的最高目標。如圖：數(shù)學發(fā)展能力數(shù)學實踐能力數(shù)學一般能力數(shù)學特殊能力圖5.1(一)數(shù)學一般能力1.數(shù)學觀察能力：指對用數(shù)字、字母、符號、文字所表示的數(shù)學關系，各種圖形、圖表的結構特點的感知能力，以及對概括化、形式化、空間結構和邏輯模式的識別判斷。表現(xiàn)在：掌握數(shù)學概念時，善于舍棄非本質屬性，抓住本質特征的能力；學習數(shù)學時，善于抓住知識的內在聯(lián)系，形成知識結構體系的能力；學習數(shù)學原理時，能從數(shù)學事實或現(xiàn)象展現(xiàn)中，掌握數(shù)學法則或規(guī)律的能力；解決數(shù)學問題時，善于識別問題的特征，發(fā)現(xiàn)隱含條件，正確選擇解題途徑和數(shù)學模型的能力，以及解題的辨析能力。3.數(shù)學記憶能力數(shù)學記憶能

8、力的特征是從數(shù)學科學特定的特征中產生的，是一種對于概括化、形式化結構和邏輯模式的記憶力，記憶里不僅包括對眾多抽象的數(shù)學符號、定義、公式、定理、數(shù)學圖形的記憶能力，也包括對典型的推理模式、重要的運算格式和步驟、數(shù)學模型的物理背景的記憶能力，以及再現(xiàn)不同數(shù)學概念之間邏輯聯(lián)系的能力。按被回憶的材料將數(shù)學記憶力分為：對具體事實、術語和記憶力；對數(shù)學概念、算法的記憶力；對數(shù)學原理、法則的記憶力；對數(shù)學問題類型標識、解題模式的記憶力；對數(shù)學解題方法、思想的記憶力。（二）數(shù)學特殊能力2.抽象概括能力抽象和概括是在對事物的屬性作比較、分析、綜合的基礎上進行的，并借助判斷、推理的形式表達出來。抽象和概括緊密聯(lián)系

9、，抽象是概括的基礎，概括是抽象的目的。數(shù)學概括能力是從具體對象中抽取出其中蘊含的數(shù)學關系或結構，并將其共同屬性和本質特征進行推廣的能力。數(shù)學中的概念、性質、法則、公式、數(shù)量關系等都是抽象概括的結果。3.推理論證能力數(shù)學推理：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包含定義、定理、公理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程，變現(xiàn)形式是邏輯運演。主要運演手段有：分析、綜合、抽象、概括、完全歸納等。邏輯運演是科學論證的基本形式，更是數(shù)學嚴謹性的有力保證。合情推理是人們根據已有的知識經驗（即原有的認知結構），在某種情境和過程中，運用觀察、實驗、歸納、類比、聯(lián)想、直覺等非演繹（或非

10、完全演繹）的思維形式，推出關于客體的合乎情理的認知過程。在解決問題過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)二者的關系：合情推理演繹推理歸納、類比發(fā)現(xiàn)結論邏輯推理驗證結論4.空間想象能力空間想象能力可分為三個不同層次水平：空間觀念，建構表象能力，表象操作能力。空間觀念包含三層意思：空間感，實物幾何化，空間結構的二維表示和由二維圖形表示想象出基本元素間的空間結構關系。建構表象的能力是指在文字、語言刺激指導下構想幾何形狀的能力。表象操作能力指對大腦中建立的表象進行加工或操作以便建構新表象的能力?？臻g想象能力在數(shù)學學習中的表現(xiàn)。1.問題解決能力弄清問題擬定計劃評論

11、與回顧執(zhí)行計劃（三）數(shù)學實踐能力2.數(shù)學交流能力是指運用數(shù)學語言進行知識信息、情緒感受、思想觀念的交流的能力。數(shù)學交流能力既包括對數(shù)學語言表達方式的選擇，又包括對大腦中的思維成果進一步澄清、組織、鞏固等一系。列再加工的過程。數(shù)學交流按照交流的內容大致可分為：知識的交流、體驗的交流和解決問題的交流。數(shù)學交流的能力具體表現(xiàn)為：能夠閱讀、傾聽、討論、描述和寫作數(shù)學。具體來說，就是會用口頭或書面的、實物或圖表的、自然語言或符號的方式來表達、演示或模擬數(shù)學問題與情境，通過主題的操作活動和內心體驗，能領悟與建構起圖表及實物材料與數(shù)學概念之間，自然語言及直覺觀念與抽象的數(shù)學語言之間的聯(lián)系；從數(shù)學交流中能反映

12、和理清自己關于數(shù)學概念與問題的思考，獲得和提出令人信服的數(shù)學觀點及論證；能自如地應用數(shù)學語言和數(shù)學思考進行討論。二、數(shù)學特殊能力的培養(yǎng)（一）數(shù)學運算求解能力的培養(yǎng)理解和掌握基本的運算規(guī)則和方法重視算法多樣化，選擇合理算法：心算、筆算和機器算、精算和估算培養(yǎng)學生的運算品質 運算品質指運算的準確性、運算的熟練性、運算的靈活性和運算的簡捷性。（二）數(shù)學抽象概括能力的培養(yǎng)1.注意數(shù)學概念形成的教學教學中要使學生經歷如下概念形成的具體過程：辨別一類事物的不同例子，抽象概括出各例子的共同屬性；提出它們共同本質屬性的假設，并加以檢驗；把本質屬性與原有認知結構中的適當?shù)闹R聯(lián)系起來，使新概念與已知的有關概念區(qū)

13、別開來；把新概念的本質屬性推廣到一切同類事物中去，已明確它的外延。注意實際問題數(shù)學化的訓練（三）數(shù)學推理論證能力的培養(yǎng)1.掌握推理的方法 演繹推理是從一般到特殊的推理，其主要形式就是由大前提、小前提推出結論的三段論式推理。演繹推理是一種必然推理，演繹推理的前提與結論之間有蘊涵關系，只要大前提、小前提都是真實的，推理是合符邏輯的，那么結論就一定是真實的。因此演繹推理可以作為數(shù)學中嚴格證明的工具。M P（M是P）S M（S是M）S P（S是P）合情推理的主要方法是歸納和類比，哲理的歸納指不完全歸納。不完全歸納是根據考查的一類事物的部分對象具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的一般結論的推理，也稱為不完全歸納推理。由于不完全歸納推理是從部分推廣到全體，結論判斷范圍超出了前提判斷范圍，因此結論不一定可靠，是似真的。類比也稱類比推理，是根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法。2.掌握證明的規(guī)則和方法3.加強數(shù)學推理與證明的訓練（四）空間想象能力的培養(yǎng)1.重視空間想象能力的逐級形成空間形象能力是隨著學生年齡的增長、知識的增多、認知結構的不斷完善而逐漸形成的，因此教學中應采取逐級提高的方法來培養(yǎng)空間想象力?？臻g想象能力的逐級培養(yǎng)還應重視從整體的角度出發(fā)來設計數(shù)學教學。2.重視識圖、畫圖的學