應(yīng)用回歸分析第2章課后習(xí)題參考復(fù)習(xí)資料

1、一元線性回來模型有哪些基本假定？答：1.說明變量 日 EMBED Equation. 3 0 囚 EMBED Equation. 3 區(qū)是 非隨機變量，觀測值區(qū) EMBED Equation. 3 臼 因是常數(shù)。.等方差及不相關(guān)的假定條件為這個條件稱為高斯-馬爾柯夫()條件，簡稱條件。在此條件下，便可以得到關(guān)于回來系數(shù)的最小二乘 估計及誤差項方差區(qū)估計的一些重要性質(zhì)，如回來系數(shù)的最小二乘估計是回來系數(shù)的最小方差線性無偏 估計等。.正態(tài)分布的假定條件為在此條件下便可得到關(guān)于回來系數(shù)的最小二乘估計及因估計的進一步結(jié)果，如它們分別是回來系數(shù) 的最及兇的最小方差無偏估計等，并且可以作回來的顯著性檢驗及

2、區(qū)間估計。.通常為了便于數(shù)學(xué)上的處理，還要求 目 及樣本容量的個數(shù)要多于說明變量的個數(shù)。在整個回來分析中，線性回來的統(tǒng)計模型最為重要。一方面是因為線性回來的應(yīng)用最廣泛；另一方面 是只有在回來模型為線性的假設(shè)下，才能的到比擬深入和一般的結(jié)果；再就是有很多非線性的回來模型可 以通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化變?yōu)榫€性回來問題進行處理。因此，線性回來模型的理論和應(yīng)用是本書探討的重點。.如何依據(jù)樣本三三求出 1 x 及方差S的估計；.對回來方程及回來系數(shù)的種種假設(shè)進行檢驗；.如何依據(jù)回來方程進行預(yù)料和限制，以及如何進行實際問題的結(jié)構(gòu)分析?？紤]過原點的線性回來模型一1誤差 匚三1 仍滿意基本假定。求0的最小二乘估計。答:

3、0因為Q (s而Q (0 即-2(I X IEMBED Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3解得即口的最小二乘估計為證明：q (回，)=e( EMBED Equation. KSEE3 的 EMBED Equation. KSEE3 可)20 岡田)Q ( U, U )非負且在山上可導(dǎo)，當(dāng)Q取得最小值時，有EMBEDEMBED0 )=0-2( 0 EMBED Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3EMBEDEquat i on. KSEE3 可)目=o由圖1可見圖形略呈右偏，由圖2可

4、見正態(tài)概率圖中的各個散點基本呈直線趨勢，殘差在0旁邊波動，以 認為殘差聽從正態(tài)分布。Equation. KSEE3四)二日 EMBED Equation. KSEE3 目可 EMBEDEquation. KSEE3Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3（即殘差的期望為0,殘差以變量x的加權(quán)平均值為零）（即殘差的期望為0,殘差以變量x的加權(quán)平均值為零）2.4解：參數(shù)2 0,B 1的最小二乘估計及最大似然估計在8 （0, 2 ） 1,2,n的條件下等價。證明：因為所以其最大似然函數(shù)為使得（L）最大的兇使得（L）最大的兇口就是， 的最大似然估計值。所以，在 然估計等

5、價。0 岡2. 5.證明口是口的條件下，參數(shù)B0,B1的最小二乘估計及最大似證明：假設(shè)要證明的無偏估計。國 岡岡 岡口是口的無偏估計，那么只需證明E（口）二口岡U的最小二乘估計為其中岡 X E（）（11 其中)(KI由于)=0,所以)即使得下式最?。阂驗榍『镁褪亲钚《斯烙嫷哪繕撕瘮?shù)相同。又因為一元線性回來模型為所以E（國）=0所以E()()(所以,是口的無偏估計。2. 6解：因為,聯(lián)立式，得到因為因為；(2)又因為國，所以故(2)2.9 驗證(2. 63)得證。式:2.7證明平方和分解公式: 證明：2. 8驗證：(1)證明：（1）因為證明:其中:注：各個因變量是獨立的隨機變量2. 10用第9

6、題證明3 0是的無偏估計量證明:注:2. 11驗證 證明：所以有以上表達式說明r 2及F等價，但我們要分別引入這兩個統(tǒng)計量，而不是只引入其中一個。理由如 下：2及f, n都有關(guān)，且當(dāng)n較小時，r較大，尤其當(dāng)n趨向于2時，趨向于1,說明x及y的相關(guān) 程度很高；但當(dāng)n趨向于2或等于2時; 可能回來方程并不能通過F的顯著性檢驗，即可能x及y都不存 在顯著的線性關(guān)系。所以，僅憑r較大并不能斷定x及y之間有親密的相關(guān)關(guān)系，只有當(dāng)樣本量n較大時 才可以用樣本相關(guān)系數(shù)r判定兩變量間的相關(guān)程度的強弱。F檢驗檢驗是否存在顯著的線性關(guān)系，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗是推斷回來直線及回來模型擬合的優(yōu)劣，只有二者結(jié)合起來，才

7、可以更好的回來結(jié)果的好壞。12假如把自變量觀測值都乘以2,回來參數(shù)的最小二乘法估計口和口會發(fā)生什么變化？假如把自變量觀測值都加上2,回來參數(shù)的最小二乘估計U和口會發(fā)生什么變化? 解：解法（一）：我們知道當(dāng)J1，11 時，用最小二乘法估計的,和口/人人島=y - x后ntO. 05/2(3),所以接受原假設(shè)，說明x和Y有顯著的線(9)做相關(guān)系數(shù)r的顯著性檢驗：因為所以， 的置信區(qū)間為(-21.21, 19.21),的置信區(qū)間為(0.91,13.09)。(6)確定系數(shù)(7)計算得出，方差分析表如下：方差來源平方和自由度均方F值490149013.364110336. 6676004查表知，F(xiàn)0.

8、05(1,3)=10. 13, F值F0.05(l,3),故拒絕原假設(shè),說明回來方程顯著。(8)做回來系數(shù)B 1的顯著性檢驗所以，相關(guān)系數(shù)因為查表知，2等于3時， 3 的值為0.959, 日 %的值為0.878。所以， 目 % 目 %,故x及y有顯著的線性關(guān)系。(10)殘差表為：殘差圖為：序號0回岡殘差111064221013-33320200442027-75540346(11)當(dāng) XO4.2 時,，即為：(17. 1, 39. 7)0其95%的置信區(qū)間近似為2. 15 解:(1)畫散點圖；圖形一舊對話框一散點圖，得到散點圖（表1）如下：（2） x及y之間是否大致呈線性關(guān)系？由上面（1）散點

9、圖可以看出，x及y之間大致呈線性關(guān)系。用最小二乘估計求出回來方程；分析一回來一線性，得到“回來系數(shù)顯著性檢驗表（表2） ”如 下:tB*10.118.355.333每周簽發(fā)的新保單數(shù)目X.004.000.9498. 509a.:每周加班工作時間y由上表可知：00=0. 118=0. 004所以可得回來方程為：=0. 118+0. 004x0（4）求回來標準誤差；分析一回來線性，得到“方析分析表（表3） ”如下:EMBED Equation. KSEE3EMBED由上表可得，F(xiàn)116. 682116. 68272.396.000a1.8438.23018.5259a. : 0,每周簽發(fā)的新保單數(shù)

10、目x b.:每周加班工作時間y1.84310故回來標準誤差為:田區(qū)Equat i on. KSEE3o. 23習(xí) EMBED Equation. KSEE3 o.480 S（5）給出 及 的置信度為95%的區(qū)間估計；由表2可以看出，當(dāng)置信度為95%時，3的預(yù)料區(qū)間為：0.9370的預(yù)料區(qū)間為：0.003, 0. 005（6）計算x及y確實定系數(shù)；分析一回來線性，得到“模型概要表（表4） ”如下:RRR1.949a.900.888.4800a. : 0,每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x b.:每周加班工作時間y由上表可知，x及y確實定系數(shù)為0.9,可以看到很接近于1,這就說明此模型的擬合度很好。（7）對回

11、來方程作方差分析；由“方差分析表（表3） ”可得，值二72.396,我們知道，當(dāng)原假設(shè) EMBED Equation. KSEE3成立時，f聽從自由度為（1, 2）的F分布（見 日），臨界值 區(qū)（1, 2）= 目 （1, 8） =5. 32因為值=72. 3965, 32,所以拒絕原假設(shè)，說明回來方程顯著，即x及y有顯著的線性關(guān)系。（8）做回來系數(shù)因顯著性的檢驗；由“回來系數(shù)顯著性檢驗表（表2） ”可得，的t檢驗統(tǒng)計量為8. 509,對應(yīng)值近似為0, p國，說明每周簽發(fā)的新報單數(shù)目x對每周加班工作時間y有顯著的影響。（9）做相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗；分析一相關(guān)一雙變量，得到“相關(guān)分析表（表5） ”

12、如下:每周簽發(fā)的新保單 數(shù)目x每周加班工作時間y每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x1.949*.(2).000N1010每周加班工作時間y. 949*1.(2).000N1010*.0.01 (2).由上表可知，相關(guān)系數(shù)為0.949,說明x及y顯著線性相關(guān)。（10）對回來方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析；從上圖可以看出，殘差是圍繞0隨即波動的，滿意模型的基本假設(shè)。（11）該公司預(yù)料下一周簽發(fā)新保單區(qū)=1000張，須要的加班時間是多少?當(dāng) 國=1000 張時 因 0. 118+0. 004X1000=4. 118 小時。（12）給出區(qū)的置信水平為95%的精確預(yù)料區(qū)間和近似預(yù)料區(qū)間。（13）給出E （岡）置信水平為

13、95%的區(qū)間估計。最終兩問一起解答:在計算回來之前，把自變量新值區(qū)輸入樣本數(shù)據(jù)中，因變量的相應(yīng)值空缺，然后在對話框中點選和計算因變量單個新值和計算因變量單個新值國和因變量平均值（國）的置信區(qū)間。結(jié)果顯示在原始數(shù)據(jù)表中，如下列圖所示（由于排版問題，中間局部圖省略）:的精確預(yù)料區(qū)間為：2.519, 4. 887E （口）的區(qū)間估計為：3.284, 4. 123而 回的近似預(yù)料區(qū)間那么依據(jù) EMBED Equation. KSEE3回2手動計算，結(jié)果為: 4, 118-2X0. 48, 4. 118+2X0. 48 = 3. 158, 5. 0782. 16解答：（1）繪制y對x的散點圖，可以用直線

14、回來描述兩者之間的關(guān)系嗎？如下圖：（2）由上圖可以看出，y及x的散點分布大致呈直線趨勢，所以可以用直線回來描述兩者之間的關(guān)系。 （3）建立y對x的線性回來。利用建立y對x的線性回來，輸出結(jié)果如下：表1表2方差分析表模型匯總模型RR方調(diào)整R方標準估計的誤差1. 835a.697.6912323.256a.預(yù)料變量：（常量），X。模型平方和均方F1回來6.089E816.089E8112.811. 000a殘差2.645E8495397517.938總計8.734E850a.預(yù)料變量：（常量），Xo b.因變量：y表3系數(shù)表（a）由表1可知，x及y確定系數(shù)為 =1,說明模型的擬合效果一般。x及y線性相關(guān)系數(shù)系數(shù)a模型非標準化系數(shù)標準系數(shù)t*B標準誤差試用版1（常量）12112.6291197. 76810. 113.000X