粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析范本學(xué)習(xí)培訓(xùn)模板課件

1、粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析本講要點(diǎn)矩的定義、矩的應(yīng)用與參數(shù)估計(jì)矩方法與最大似然法和最小二乘法的比較統(tǒng)計(jì)誤差中的標(biāo)準(zhǔn)誤差問(wèn)題經(jīng)典置信區(qū)間問(wèn)題利用似然函數(shù)或二乘函數(shù)確定置信區(qū)間貝葉斯上限2矩的一般表達(dá)式假設(shè)對(duì)隨機(jī)變量 x 有n 次測(cè)量 x1,xn，服從概率密度函數(shù)分布 f (x; ) 。其中有 m 個(gè)未知參數(shù) 1,m。如果可以構(gòu)造 m 個(gè)線性獨(dú)立函數(shù) ai(x), i=1,m，其均值可寫(xiě)為為了確定參數(shù)，上述獨(dú)立函數(shù)必須進(jìn)行適當(dāng)選擇使得含參數(shù)的函數(shù) ei( ) 可以確定。此時(shí)，函數(shù) ei( ) 可以通過(guò)計(jì)算無(wú)偏的樣本平均值來(lái)估計(jì)因此，參數(shù)值可以通過(guò)求解 m 個(gè) ei( ) 方程組來(lái)確定。矩的一

2、般表達(dá)式3線性獨(dú)立函數(shù)的方差矩陣參數(shù) 1,m 估計(jì)值的協(xié)方差矩陣可以首先進(jìn)行無(wú)偏估計(jì)它可以與樣本平均值的協(xié)方差矩陣相聯(lián)系, 即4線性獨(dú)立函數(shù)均值的方差矩陣根據(jù)線性獨(dú)立函數(shù)均值和其估計(jì)值的定義，可以有5參數(shù)估計(jì)值的方差矩陣由于待定參數(shù) 是 e 的函數(shù)，由誤差傳遞（教材式1.54） 因此待定參數(shù) 的協(xié)方差矩陣估計(jì)值也可以確定。而根據(jù)線性獨(dú)立函數(shù)的均值估計(jì)值表達(dá)式 可知參數(shù)值的估計(jì)值 可通過(guò)求解 m 個(gè) 方程組來(lái)確定。參數(shù)估計(jì)任務(wù)完成 6簡(jiǎn)單矩、代數(shù)矩和中心矩如果令 x0=0，則一階矩就是隨機(jī)變量 x 的期待值定義(也稱(chēng)作一階代數(shù)矩)如果令 x0=Ex , 隨機(jī)變量 x 圍繞期待值的二階矩就是隨機(jī)變

3、量 x 的方差定義(也稱(chēng)作二階中心矩)代數(shù)矩7代數(shù)矩與中心矩的關(guān)系代數(shù)矩中心矩低階矩之間的關(guān)系一般情況下，它們的關(guān)系可以有如下表示高階矩對(duì)研究概率密度函數(shù)在|x-|大值區(qū)間的行為很有幫助。對(duì)稱(chēng)分布的所有奇數(shù)中心矩為零。8角分布理論的簡(jiǎn)單驗(yàn)證在實(shí)驗(yàn) 中，理論預(yù)言角分布為將角分布化為 cos 的概率密度函數(shù)，則其二階代數(shù)矩期待值 n=事例數(shù)為了驗(yàn)證理論，我們計(jì)算 cos 二階代數(shù)樣本矩平均值假設(shè)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)可以通過(guò)簡(jiǎn)單比較二階代數(shù)矩的期待值與樣本矩平均值來(lái)完成。9簡(jiǎn)單驗(yàn)證中的誤差估計(jì)在前面例子中對(duì)于不含參數(shù)的簡(jiǎn)單情形 cos 二階代數(shù)矩平均值的誤差估計(jì)可以按下列方法進(jìn)行已知真值樣本矩的方差為樣本矩平

4、均值的方差可以證明為0.390.01 觀測(cè)值在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差范圍內(nèi)與理論預(yù)期相符。10含參數(shù)情況舉例在上例中，假設(shè)已知理論中包含一未知參數(shù) ，例如和前例一樣，計(jì)算出 cos 二階代數(shù)矩的理論期待值 則參數(shù) 與二階代數(shù)矩的關(guān)系為 只要函數(shù)是可積的，采用矩方法原則上就可以測(cè)定參數(shù)。11簡(jiǎn)單矩方法應(yīng)用的其它問(wèn)題非物理解問(wèn)題：利用矩方法測(cè)定參數(shù)，可能會(huì)出現(xiàn)非物理結(jié)果。例如前例的二階代數(shù)矩中，如果在矩方法中，我們無(wú)法加上限制條件使得參數(shù)的測(cè)定值保持在物理允許的范圍內(nèi)。假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：利用矩方法測(cè)定參數(shù)，由于只比較積分值并解方程得到參數(shù)估計(jì)值，信息含量不足，因此無(wú)法判斷所得到的參數(shù)是否合理。實(shí)際應(yīng)用中需要輔之

5、以其它方法來(lái)檢驗(yàn)。適用范圍問(wèn)題：矩方法雖然簡(jiǎn)單，但在處理多參數(shù)問(wèn)題中，由于涉及更高階的積分，使研究變得復(fù)雜。在這種情況下，可以考慮采用所謂的“廣義矩方法”。12最大似然法、最小二乘法和矩矩方法最大似然法最小二乘法數(shù)據(jù)輸入單個(gè)事例單個(gè)事例直方圖多維問(wèn)題最容易歸一化較復(fù)雜較難充分性會(huì)有信息丟失最具充分性有時(shí)與區(qū)間大小有關(guān)一致性收斂于真值收斂于真值收斂于真值有效性不是最有效通常最有效基本上與似然法一樣無(wú)偏性漸進(jìn)無(wú)偏漸進(jìn)無(wú)偏漸進(jìn)無(wú)偏擬合優(yōu)度較難評(píng)估較難評(píng)估很容易充分性：估計(jì)量應(yīng)包含觀測(cè)值對(duì)于未知參數(shù)的全部信息；一致性：樣本容量增大時(shí)，估計(jì)值收斂于真值；有效性：估計(jì)量的分布對(duì)其期望值具有最小方差；無(wú)偏性

6、：無(wú)論樣本容量多大，估計(jì)值與真值無(wú)系統(tǒng)偏差。13再論統(tǒng)計(jì)分析的目標(biāo)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)擬合檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否與某一特定理論相符(注意，該理論可包含一些自由參數(shù)）。利用數(shù)據(jù)確定自由參數(shù)的大小。相符的程度由顯著水平來(lái)表示。參數(shù)的準(zhǔn)確程度由對(duì)應(yīng)的誤差大小來(lái)表示。如何定量計(jì)算顯著水平與確定誤差的大小。8/6/202214測(cè)量結(jié)果的表述與含義其真正的含義是什么呢？15參數(shù)估計(jì)值的分布可以用來(lái)作為誤差傳遞的輸入?yún)⒘浚约坝米钚《朔ㄇ笃骄档鹊?。中心置信區(qū)間應(yīng)給出不對(duì)稱(chēng)的誤差只有當(dāng)要對(duì)不同實(shí)驗(yàn)求平均值時(shí)，它的形式就會(huì)發(fā)揮作用。給出了 68.3% 置信區(qū)間范圍。16經(jīng)典置信區(qū)間的定義17參數(shù)置信帶的定義不等式 等價(jià)于 1

7、8參數(shù)的置信區(qū)間確定或者合并成 根據(jù)置信帶的定義，有不等式19參數(shù)置信區(qū)間含義它的深刻含義是注意，該區(qū)間是隨機(jī)的，真值 是一個(gè)未知常數(shù)。包含真實(shí)參數(shù)的概率為1- -而是意味著：重復(fù)同樣樣本大小的實(shí)驗(yàn)多次，每次按同樣的描述構(gòu)造置信區(qū)間，有1- - 部分的實(shí)驗(yàn)，置信區(qū)間將覆蓋。20單邊與中心置信區(qū)間通常，取 = = /2有時(shí)，單獨(dú)指定 或 單邊區(qū)間(極限，上限或下限)粒子與核物理的誤差慣例是：68.3%的中心置信區(qū)間。覆蓋概率為1- 中心置信區(qū)間21經(jīng)典置信區(qū)間通常，我們并不構(gòu)造置信帶，而是解下列方程得到 a 與 b 的區(qū)間極限。22高斯分布估計(jì)量的置信區(qū)間如果存在為了找到 置信區(qū)間，解下列方程

8、得到 a 與 b 的解23高斯分布的累積函數(shù)與分位點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)高斯的累積函數(shù)，可以證明24標(biāo)準(zhǔn)高斯的分位點(diǎn)為了找到服從高斯分布的參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間，需要確定下列分位點(diǎn)通常對(duì)分位點(diǎn)取整 有時(shí)對(duì)概率覆蓋率取整 10.682710.841320.954420.977230.997330.99870.901.6450.901.2820.951.9600.951.6450.992.5760.992.326中心 單邊中心 單邊25泊松分布均值的置信帶確定對(duì)于固定的 ，由于 只能取分立值，置信帶對(duì)任意的 并不一定存在。這種情況下，可考慮把方程變?yōu)?得出 a 與 b26泊松分布均值的置信區(qū)間確定利用27泊松分布

9、均值的置信水平上限值重要特例:對(duì)于置信水平 1-=95% 的上限，28例子: 無(wú)本底稀有衰變分支比已知實(shí)驗(yàn)對(duì)稀有衰變 的單個(gè)事例靈敏度為如果實(shí)驗(yàn)上沒(méi)有觀察到一個(gè)事例，要給出90%的置信水平，需計(jì)算如果實(shí)驗(yàn)上觀察到一個(gè)事例，要給出68%的置信區(qū)間的分支比，需要給出重復(fù)實(shí)驗(yàn)在 (1-0.68)/2=0.16 范圍內(nèi)觀察到至少一個(gè)事例的下限以及不多于一個(gè)事例的均值上限29從log L或 2 近似給出置信區(qū)間若 log L( ) 呈拋物線狀，通過(guò)將log L( )展開(kāi), 則可得到即使 log L( )并不呈拋物線狀，也可給出置信區(qū)間的近似值例如在指數(shù)函數(shù)例子中，只有 n=5個(gè)觀測(cè)值時(shí)30多維置信區(qū)間研究中常遇到需要給出多參數(shù)擬合情況下的多維置信區(qū)間參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其中這里 V-1 為協(xié)方差矩陣。當(dāng)聯(lián)合概率密度函數(shù)值不變時(shí)，其等高線對(duì)應(yīng)于常數(shù)的 Q。它們是在參數(shù)空間以真值為中央的橢圓（或?qū)τ趦删S以上的超橢圓）。31二維參數(shù)的置信區(qū)間例如在中微子振蕩實(shí)驗(yàn)中的雙參數(shù)擬合問(wèn)題Phys.Rev.D74:072003,200632含本底泊松分布的經(jīng)典置信區(qū)間在觀察到 nobs 個(gè)事例條件下的置信區(qū)間的確定可能會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題：如果本底研究給出的預(yù)言值 b與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值 nobs可比較，那么可能會(huì)出現(xiàn)信號(hào)事例上限 只可能取零值的情況。