歐幾里得幾何學(xué)

1、歐幾里得幾何學(xué)六（2）指導(dǎo)老師：陳博濤11 簡介 歐幾里得幾何學(xué)簡稱歐氏幾何，是以歐幾里得平行公理為基礎(chǔ)的幾何學(xué)它的創(chuàng)始人是古代希臘的偉大數(shù)學(xué)家歐幾里得他把當(dāng)代希臘數(shù)學(xué)家積累的幾何知識和邏輯推理的思想方法加以系統(tǒng)化，初步奠定了幾何學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)21.2 最早提出的著作 19世紀(jì)末期，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特于1899年發(fā)表了著名的著作幾何基礎(chǔ)，書中提出了一個歐幾里得幾何的完整的公理體系從此人們將滿足希爾伯特公理系統(tǒng)中的結(jié)合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續(xù)公理等五組公理以及由其導(dǎo)出的一切推論組成的幾何學(xué)叫做歐幾里得幾何學(xué)特別指出的是，平行公理在歐幾里得幾何中有著很重要的作用凡與平行公理有關(guān)

2、的命題，都是歐幾里得幾何學(xué)的結(jié)論如三角形三條高線共點；過不共線的三點恒有一圓；任何三角形三內(nèi)角之和等于180；存在相似形；勾股定理成立中等學(xué)校數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)理論、平面解析幾何的基礎(chǔ)理論，都是建立在歐幾里得幾何學(xué)的理論基礎(chǔ)上的。31.3 克萊因理論 1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊茵在愛爾朗根大學(xué)提出著名的“愛爾朗根計劃書”，明確了采用幾何變換對各種幾何進(jìn)行分類指出，如果一種幾何變換，它的全體組成一個“群”，就相應(yīng)有一種幾何學(xué)在每一種幾何中主要研究在相應(yīng)的變換下的不變性和不變量根據(jù)這種觀點，歐幾里得幾何學(xué)就是研究圖形在合同變換下(或在運動變換下)不變的科學(xué)。42.1 早期幾何知識 約公元前300年，

3、古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得集前人之大成，總結(jié)了人們在生產(chǎn)、生活實踐中獲得的大量的幾何知識，規(guī)定了少數(shù)幾個原始假定為公理、公設(shè)，并定義了一些名詞概念，通過邏輯推理，得到一系列的幾何命題，形成了歐幾里得幾何學(xué)，簡稱歐氏幾何。52.2 著名作品 歐幾里得著有幾何原本（以下簡稱原本）一書，該書共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用幾何方法講述比例和算術(shù)理論以外，其他各卷都是論述幾何問題的。這部書成為傳播幾何知識的教科書達(dá)2000年之久，現(xiàn)代初等幾何學(xué)（即平面幾何和立體幾何）的內(nèi)容基本全包括在此書內(nèi)。中國最早的譯本是明代萬歷年間（1607）由大學(xué)士徐光啟與意大利天主教傳教士利瑪竇合譯的幾何原本前6卷。原本之

4、所以具有價值，不僅因為歐幾里得非常詳盡地搜集了當(dāng)時所知道的一切幾何資料，而更重要的是把那些分散的知識用邏輯推理的方法編排成一個有系統(tǒng)的演繹的幾何學(xué)體系。他是歷史上第一個創(chuàng)造了一個比較完整的數(shù)學(xué)理論的人63 幾何原本歐幾里得的幾何原本共有23個定義，5條公設(shè)，5條公理，他力圖把幾何學(xué)建立在這些原始的定義、公理和公設(shè)的基礎(chǔ)上，然后以這些顯然的假設(shè)為依據(jù)推證出體系里的一切定理。由于歐幾里得所處的時代是人類文明的初期，受時代的局限，原本的邏輯系統(tǒng)不可能完美無缺，在許多地方出現(xiàn)了漏洞。例如：常常使用未經(jīng)定義過的概念來解釋一個新的概念；用了既不是公理，又不是公設(shè)，也沒有證明過的結(jié)論作為論證命題的依據(jù)；等等

5、。正因為如此，在原本問世后2000年中，一方面原本作為用邏輯來敘述科學(xué)的典范，對數(shù)學(xué)其他分支甚至整個科學(xué)發(fā)展起著深遠(yuǎn)的影響；另一方面，對于原本在邏輯上的欠缺進(jìn)行修改、補(bǔ)充和研究工作從未停止過，對于原本中的定義、公理、公設(shè)的研究成了歷代數(shù)學(xué)家的重要課題。尤其對于原本中的第五公設(shè)，許多數(shù)學(xué)家對它產(chǎn)生了懷疑，最終導(dǎo)致非歐幾何的創(chuàng)建（見非歐幾里得幾何學(xué)）。19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家D.希爾伯特第一次給出了完備的歐幾里得幾何公理系統(tǒng)。73.2 內(nèi)容 正如歐幾里得所闡述的，幾何原本是一個數(shù)學(xué)知識的邏輯體系，結(jié)構(gòu)是由定義、公設(shè)、公理、定理組成的演繹推理系統(tǒng)。在第1卷開始他首先提出 23個定義，前6個定義是：點沒

6、有大小；線有長度沒有寬度;線的界是點；直線上的點是同樣放置的；面只有長度和寬度；面的界是線。在定義之后有5個公設(shè):從任意點到另一點可以引直線；有限直線可以無限延長；以任意點為圓心，可用任意半徑作圓；所有直角都相等；如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角，那么這兩條直線在這一側(cè)必相交。其次,有5個公理：等于同量的量相等；等量加等量其和相等；等量減等量其差相等；可重合的圖形全等；全體大于部分。在公理后面，歐幾里得便證明各個命題，每個命題都要以公設(shè)、公理或它前面的命題作為證明的根據(jù)，按邏輯的相關(guān)性把它排列成命題1、2、3、。這些命題實際上就是人們所說的“定理”。83.3 意義幾何

7、原本的重要性并不在于書中提出的哪一條定理。書中提出的幾乎所有的定理在歐幾里德之前就已經(jīng)為人知曉，使用的許多證明亦是如此。歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)在于他將這些材料做了整理，并在書中作了全面的系統(tǒng)闡述。這包括首次對公理和公設(shè)作了適當(dāng)?shù)倪x擇（這是非常困難的工作，需要超乎尋常的判斷力和洞察力）。然后，他仔細(xì)地將這些定理做了安排，使每一個定理與以前的定理在邏輯上前后一致。在需要的地方，他對缺少的步驟和木足的證明也作了補(bǔ)充。值得一提的是，幾何原本雖然基本上是平面和立體幾何的發(fā)展，也包括大量代數(shù)和數(shù)論的內(nèi)容。 幾何原本作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類

8、似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。幾何原本是用希臘文寫成的，后來被翻譯成多種文字。它首版于1482年，即谷登堡發(fā)明活字印刷術(shù)30多年之后。自那時以來，幾何原本已經(jīng)出版了上千種不同版本。9在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，幾何原本比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們?yōu)橹鴥A倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個主要因素?？茖W(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細(xì)心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已。科學(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是

9、將經(jīng)驗同試驗進(jìn)行結(jié)合；另一方面，需要細(xì)心的分析和演繹推理。我們不清楚為什么科學(xué)產(chǎn)生在歐洲而不是在中國或日本。但可以肯定地說，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、伽利略、哥白尼和開普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方?；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識。10對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范（總的來講，歐洲人不把歐幾里得的幾何學(xué)僅僅看作是抽象的體系；他們認(rèn)為歐幾里得的公設(shè)，

10、以及由此而來的定理都是建立在客觀現(xiàn)實之上的）。上面提到的所有人物都接受了歐幾里得的傳統(tǒng)。他們的確都認(rèn)真地學(xué)習(xí)過歐幾里得的幾何原本，并使之成為他們數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的數(shù)學(xué)原理一書，就是按照類似于幾何原本的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進(jìn)行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀(jì)以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是從來沒有出現(xiàn)一個可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣

11、的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀(jì)的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。在這之前，中國人并沒有從事實質(zhì)性的科學(xué)工作。11在日本，情況也是如此。直到18世紀(jì)，日本人才知道歐幾里得的著作，并且用了很多年才理解了該書的主要思想。盡管今天日本有許多著名的科學(xué)家，但在歐幾里得之前卻沒有一個。人們不禁會問，如果沒歐幾里得的奠基性工作，科學(xué)會在歐洲產(chǎn)產(chǎn)嗎？如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)記識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，

12、人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認(rèn)識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強(qiáng)烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識的這些最新進(jìn)展都不會水削弱歐向里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)成長必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。123.4 缺點 歐幾里得的幾何原本，雖然在教育和科學(xué)意義上，在歷史上受到很高的評價，但用現(xiàn)在的科學(xué)水平衡量，它的幾何邏輯結(jié)構(gòu)在嚴(yán)謹(jǐn)性上還存在很多缺點。首先，歐幾里得的定義并不能成為一種數(shù)學(xué)定義，有的不過是幾何對象點、線、面的一種直觀描述，有的含混不清，這些定義在后面的論證中，實際上是無用的。其次，歐幾里得的公設(shè)和公理，是遠(yuǎn)不夠用的，因而在幾何原本的許多命題的論證中，不得不借助直觀，或者或明或暗地引用了用他的公設(shè)和公理無法證明的事實。特別要指出的是研究幾何原本的許多學(xué)者都注意到歐幾里得的第五公設(shè)比較復(fù)雜，看來很象定理。歐幾里得之后的兩千年很多學(xué)者都試圖用其他公設(shè)和公理加以證明,但都失