2021-2022學(xué)年河南省三門峽市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年河南省三門峽市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1下列命題正確的是（）A三點(diǎn)確定一個(gè)平面B一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C兩條直線確定一個(gè)平面D梯形可確定一個(gè)平面D【分析】利用直線和平面的位置關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即得解.【詳解】解：A. 由于在一條直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B. 一條直線和該直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. 兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 梯形可確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)正確.故選：D2若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則復(fù)數(shù)的虛部為（）ABCDC【分析】先求出，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再求的虛部即可.【詳解】由題

2、意得，則，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3若，都是單位向量，則下列結(jié)論一定正確的是（）ABCDD【分析】由單位向量的概念、向量相等、共線向量及向量的數(shù)量積依次判斷即可.【詳解】若，都是單位向量，則，D正確；不確定，的方向，則A、C錯(cuò)誤；設(shè)，之間的夾角為，不確定，則B錯(cuò)誤.故選：D.4某小區(qū)約有3000人，需對(duì)小區(qū)居民身體狀況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，樣本中有幼齡12人，青壯齡34人，老齡14人，則該小區(qū)老齡人數(shù)的估計(jì)值為（）A750B1700C600D700D【分析】由題知樣本容量為人，進(jìn)而得抽樣比為，再根據(jù)抽樣比計(jì)算該小區(qū)老齡人數(shù)的估計(jì)值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，樣本容量為人，所以樣本抽樣比為，所以該

3、小區(qū)老齡人數(shù)約為人.故選：D5以下命題（其中，表示直線，表示平面）中，正確的命題是A若，則B若，則C若，則D若，則C根據(jù)線線、線面有關(guān)定理對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線可能含于平面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，可能異面，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，由于，所以，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，可能異面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6一個(gè)正方體有一個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，三個(gè)面為黃色，另一個(gè)正方體有兩個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，兩個(gè)面為黃色，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為（）ABCDC【分析】計(jì)算出

4、兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記第一個(gè)正方體紅色的面記為，綠色的面為、，黃色的面為、，第二個(gè)正方體紅色的面為、，綠色的面為、，黃色的面為、，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體面朝上的不同結(jié)果種數(shù)為，其中，事件“兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同”所包含的基本事件有：、，因此，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為.故選：C.7沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí).如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓維組成.這兩個(gè)圓錐的底面直徑和高分別相等，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高

5、度為圓錐高度（h）的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個(gè)沙堆的高與圓錐的高h(yuǎn)的比值為（）ABCDA細(xì)沙全部在上部時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為，求出細(xì)沙的體積，再設(shè)細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細(xì)沙的體積，由體積相等求解，則答案可求.【詳解】解：細(xì)沙全部在上部時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為，細(xì)沙的體積為.細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設(shè)高為，則，得.故選：A.此題考查圓錐體積公式的應(yīng)用，屬于中檔題8如圖所示，中，是的中

6、點(diǎn)，則（）ABCDB【分析】計(jì)算出的值，將、用基底、加以表示，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得，因?yàn)?，則，故，因此，.故選：B.二、多選題9已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A復(fù)數(shù)的模為B復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為C復(fù)數(shù)為純虛數(shù)D復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限AC【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再由復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)，及復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限依次判斷即可.【詳解】，則復(fù)數(shù)的模為，A正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，B錯(cuò)誤；，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，C正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，D錯(cuò)誤.故選：AC.10袋中裝有質(zhì)地均勻的紅、白色球各一個(gè)，每次取

7、一個(gè)，有放回地抽取兩次，設(shè)事件 “第一次取到紅球”，事件 “第二次取到紅球”，下列說法正確的是（）A與為對(duì)立事件BC與相互獨(dú)立D與為互斥事件BCD【分析】由對(duì)立事件、互斥事件、獨(dú)立事件及古典概率依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，事件 “第二次取到白球”，顯然與可以同時(shí)發(fā)生，則與不是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，則，B正確；對(duì)于C，由于是有放回地抽取兩次，顯然第一次取到的球和第二次取到的球相互獨(dú)立，即與相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D， “第一次取到紅球，第二次取到紅球”； “第一次取到白球，第二次取到白球”，顯然不能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件，D正確.故選：BCD.11如圖在三棱柱中， 底面，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)

8、論正確的是（）AB當(dāng)D為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面C當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面D三棱錐的體積是定值A(chǔ)CD【分析】證明平面，得線線垂直，判斷A，利用面面垂直的性質(zhì)判斷B，構(gòu)造面面平行得到線面平行判斷C，用換頂點(diǎn)的方法確定棱錐的體積判斷D【詳解】底面，底面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，A正確；在底面內(nèi)過作于，由上同理可得，而，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，若，則不重合，顯然直棱柱中不可能與平面垂直，若平面平面，則與過有且只有一個(gè)平面與平面垂直矛盾，B錯(cuò)誤；若是中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，由與平行且相等，與平行且相等得與平行且相等，是平行四邊形，平面，平面，所以平面，由與平行且相等，得是平行四

9、邊形，同理平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，C正確；，到平面的距離不變，的面積不變，因此三棱錐體積不變，D正確故選：ACD 12在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列說法中正確的是（）AB若，則為等腰三角形C若，則D若，則為銳角三角形AD【分析】由余弦定理判斷A，利用正弦定理和正弦函數(shù)性質(zhì)判斷B，由正弦定理，切化弦及正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C，由余弦定理判斷D【詳解】由余弦定理，A正確；，由正弦定理得，是三角形內(nèi)角，所以或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；由得，同上得或，C錯(cuò)；若，所以，因此，所以，即，所以為銳角，顯然邊最大，角最大，所以為銳角三角形，D正確故選：AD三、填空題13

10、某市教育局為了解疫情時(shí)期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從該市隨機(jī)抽取了1000名高中學(xué)生，對(duì)他們每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此圖，估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的60%分位數(shù)為_小時(shí)【分析】利用頻率分布圖，結(jié)合百分位數(shù)的定義求解即可【詳解】由頻率分布直方圖可知，高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的60%分位數(shù)在第3組，設(shè)其為小時(shí)，則，解得，所以該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的60%分位數(shù)約為小時(shí)，故14甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，采取五局三勝制（當(dāng)一人贏得三場勝利時(shí)獲勝，比賽結(jié)束）根據(jù)他們以往交手成績，甲勝的概率為0.6，若各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲

11、以獲勝的概率是_0.2592【分析】由獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式求解即可.【詳解】甲以獲勝，則第四局甲勝，前三局甲勝2局，則甲以獲勝的概率是.故0.2592.15三棱錐中，平面ABC，D是BC的中點(diǎn)，PD與AC所成角的正切值為_【分析】取中點(diǎn)，連接，則PD與AC所成角為，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定得到，再根據(jù)直角三角形中的線段關(guān)系求得即可【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接.由中位線的性質(zhì)可得，又平面ABC，平面ABC，故，又，平面，則平面，故平面，且PD與AC所成角為.又，故.故16已知的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，設(shè)向量，若，則的面積的最大值為_【分析】利用兩向量平行的充要條件求出三角形的邊與角的關(guān)系，利用正

12、弦定理將角化為邊，再利用余弦定理求出B的余弦，求出角B，再由不等式及面積公式可求出最值【詳解】向量，若，由正弦定理知：，即，由余弦定理知：，cosB，B（0，），B又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，,所以的面積的最大值為.故四、解答題17復(fù)數(shù)滿足，為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限(1)求復(fù)數(shù)；(2)復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的向量為，已知，求的值(1)；(2)【分析】（1）設(shè)出復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的模長、復(fù)數(shù)的乘法及純虛數(shù)的概念得出方程組，求解即可；（2）先寫出復(fù)數(shù)，得到向量，再寫出，由向量垂直的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以，又，則，為純虛數(shù)，則，

13、由可得，則；(2)由（1）得，則，則，由可得，即，解得.18某科研課題組通過一款手機(jī)軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量(簡稱“周跑量”，得到如下的頻數(shù)分布表：周跑量周)人數(shù)100120130180220150603010（1）補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖；（2）根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，試求樣本的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；（3）根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝備的價(jià)格不一樣，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里類別休閑跑者核心跑者精英跑者裝備價(jià)格(單位：元)250040004500根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每

14、位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費(fèi)多少元？（1）作圖見解析；（2）29.2；（3）3720元.【分析】（1）利用頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖可得前3組的頻率和小于，而前4組的頻率和大于，所以中位數(shù)在第4組，若設(shè)中位數(shù)為，則，解方程組可求得中位數(shù)；（3）由頻率分布直方圖求出休閑跑者、核心跑者和精英跑者的頻率，再用頻率乘以1000人，可得各自對(duì)應(yīng)的人數(shù)，然后利用加權(quán)平均數(shù)公式求解平均需要花費(fèi)的錢數(shù)【詳解】解：（1）補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖如下：（2）由頻率分布直方圖得的頻率為，的頻率為，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，解得.樣本的中位數(shù)約為29.2.

15、（3）依題意知休閑跑者共有：人，核心跑者共有：人，精英跑者共有：人，估計(jì)該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費(fèi)：(元.19的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，若.(1)求的值；(2)若，求的周長(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡可得的值；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳解】(1)解：由及正弦定理可得，即，則，所以，.(2)解：由平面向量數(shù)量積的定義可得，則，由余弦定理可得，所以，因此，的周長為.20如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，求.(1)證明見解析；(2)1

16、.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，則有，根據(jù)線面平行的判定證明結(jié)論.（2）連接，由得，根據(jù)得到的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而可得的數(shù)量關(guān)系，即可求.【詳解】(1)取中點(diǎn)，連接，所以且，又且，則且，所以四邊形為平行四邊形，從而.又平面平面，所以平面.(2)連接，由，則，又，所以，故可得.21甲、乙兩人組成“星隊(duì)”進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)M，在點(diǎn)M處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)N，在點(diǎn)N處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在M點(diǎn)投中的概率都為p，在N點(diǎn)投中的概率都為q.且在M，N兩點(diǎn)處投中與否互不影響.設(shè)定甲、乙兩人先在M處各投籃一次，然后在N處各投籃

17、一次，甲、乙兩人的得分之和為“星隊(duì)”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.（1）求p，q的值；（2）求“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率.（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)，分別表示在一次比賽中甲得分的事件，分別表示在一次比賽中乙得分的事件，由題意結(jié)合在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為，由求解. （2）由題意知：，設(shè)“星隊(duì)”在一次比賽的總得分為5分”，則，然后利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解.【詳解】（1）設(shè)，分別表示在一次比賽中甲得分的事件，分別表示在一次比賽中乙得分的事件.因?yàn)樵谝淮伪荣愔屑椎?分的概率為，乙得5分的概率為，所以.解得，.（2）由已知得，設(shè)“星隊(duì)”在一次比賽的總得分為5分”，則，則，所以“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率是.本題主要考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題.22如圖梯形中，且，將梯形沿折疊得到圖，使平面平面，與相交于，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面交于（1）證明:是的中點(diǎn)；（2）證明:平面；（3）是上一點(diǎn)，已知二面角為