定積分的概念與性質(zhì)課件

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入不定積分定積分概念性質(zhì) 計(jì)算 應(yīng)用第1頁(yè)，共41頁(yè)。 第5章 定積分及其應(yīng)用5.2 微積分基本公式5.3定積分的換元積分法與分部積分法5.4 廣義積分5.5定積分的應(yīng)用5.1 定積分的概念與性質(zhì)第2頁(yè)，共41頁(yè)。理解與掌握定積分的概念與性質(zhì) ；掌握牛頓萊布尼茲公式 ；本章基本要求了解變上限積分函數(shù)的概念，會(huì)求變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 了解定積分概念產(chǎn)生的背景 ；約10學(xué)時(shí)掌握定積分的換元積分法與分部積分法 ；了解無窮限積分的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的無窮限積分；掌握定積分的幾何意義 。掌握定積分在經(jīng)濟(jì)上與幾何上的應(yīng)用，會(huì)求簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題 。第3頁(yè)，共41頁(yè)。新課引入? 我們以前學(xué)過圖形的面積計(jì)

2、算，請(qǐng)大家回想一下，有哪些計(jì)算公式？ 正方形、矩形、三角形、梯形、圓、橢圓等。5.1 定積分的概念與性質(zhì)5.1.1 兩個(gè)實(shí)例規(guī)則圖形第4頁(yè)，共41頁(yè)。?不規(guī)則圖形（如圖）的面積如何求？?第5頁(yè)，共41頁(yè)。1. 曲邊梯形的面積上述圖形的面積可歸結(jié)為下列兩個(gè)圖形的面積之差，即把這類幾何圖形定義為曲邊梯形第6頁(yè)，共41頁(yè)。由連續(xù)曲線所圍的平面圖形稱為曲邊梯形。與三條直線如何求曲邊梯形的面積？用矩形面積近似取代曲邊梯形面積基本思路:例如第7頁(yè)，共41頁(yè)。如何才能使 這種近似代取更精確當(dāng)曲邊梯形的底邊趨近于零時(shí),矩形面積無限地趨近于曲邊梯形的面積求曲邊梯形的具體方法:將曲邊梯形分成無窮多個(gè)小的曲邊梯形在

3、每個(gè)小曲邊梯形處作一個(gè)矩形近似代取小的曲邊梯形第8頁(yè)，共41頁(yè)。1. 曲邊梯形的面積abxyoabxyo 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第9頁(yè)，共41頁(yè)。 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系第10頁(yè)，共41頁(yè)。第11頁(yè)，共41頁(yè)。第12頁(yè)，共41頁(yè)。第13頁(yè)，共41頁(yè)。第14頁(yè)，共41頁(yè)。第15頁(yè)，共41頁(yè)。第16頁(yè)，共41頁(yè)。第17頁(yè)，共41頁(yè)。分割點(diǎn)上和下和積分近似值311.05556230.1304351.00095430.0697671.00027630.0476191.00013830.0361451.000

4、071030.0291261.000051230.02439021.000031430.0209791.00002第18頁(yè)，共41頁(yè)。解決步驟：在區(qū)間a,b內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn) ：把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為 ,即1.曲邊梯形面積的求法(1)分割第19頁(yè)，共41頁(yè)。在第i個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn) 矩形的面積相應(yīng)小曲邊梯形的面積用以,即 為寬，為高的小近似代替(2)近似代替（以直代曲）第20頁(yè)，共41頁(yè)。(4)取極限令,則(3)近似求和將n個(gè)小矩形面積之和作為曲邊梯形面積的近似值，即四個(gè)步驟：分割、近似代替、近似求和、取極限第21頁(yè)，共41頁(yè)。?且設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng),已知速度如何

5、計(jì)算物體從時(shí)刻到時(shí)刻所經(jīng)過的路程？思路：在一個(gè)很短的時(shí)間間隔內(nèi)，以內(nèi)任意一時(shí)刻的瞬時(shí)速度近似代替該區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)的速度，即以勻速代變速。第22頁(yè)，共41頁(yè)。2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程解決步驟：第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為 把時(shí)間區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間(1)分割在區(qū)間a,b內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn) ：第23頁(yè)，共41頁(yè)。(3)近似求和(2)近似代替(以勻速代變速或以不變代變)(4)取極限,則令近似代替內(nèi)任意一點(diǎn)的速度，即以勻速代變速。第24頁(yè)，共41頁(yè)。兩個(gè)實(shí)例2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程1.曲邊梯形的面積：速度從時(shí)刻到時(shí)刻所經(jīng)過的路程:四個(gè)步驟：分割、近似代替、近似求和、取極限第25頁(yè)，共41頁(yè)。 以上兩個(gè)問題雖

6、然研究對(duì)象不同，但是從數(shù)量關(guān)系上看都是要求某種整體的量，且解決問題所用的思想方法也相同，通過： 分割把整體的問題分成局部問題； 近似代替在局部上“以直代曲或以不變代變” 求出局部的近似值； 近似求和得到整體量的一個(gè)近似值； 取極限得到整體量的精確值. 以上四步在數(shù)量上都?xì)w結(jié)為對(duì)某一函數(shù) 施行結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)運(yùn)算確定一種特殊的和式“在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際中還有許多問題也都可以歸結(jié)為求這種和式的極限，現(xiàn)在拋開其問題的實(shí)際意義，將它們數(shù)量關(guān)系上的本質(zhì)特性加以概括，抽象出來得出定積分的定義.”的極限.第26頁(yè)，共41頁(yè)。5.1.2 定積分的定義定義51 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，在 中插入個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間分

7、成 個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為第27頁(yè)，共41頁(yè)。在每個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，作函數(shù)值 與小區(qū)間長(zhǎng)度 的乘積 ，并作和式（稱為積分和式）記 ，如果當(dāng) 時(shí)，和式的極限 存在，則稱這個(gè)極限值為函數(shù) 在上的定積分（簡(jiǎn)稱積分），記作 ，即第28頁(yè)，共41頁(yè)。積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定理51 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)必可積 。定理52 在閉區(qū)間a,b上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，且有界的連續(xù)函數(shù)f(x)必可積 。第29頁(yè)，共41頁(yè)。說明. 定積分的值與區(qū)間的分法以及點(diǎn)的取法無關(guān)；2. 定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有3.規(guī)定.由連續(xù)曲線軸所

8、圍成的曲邊梯形的面積：.5.作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體第30頁(yè)，共41頁(yè)。5.1.3 定積分的幾何意義(1)(2)有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)時(shí)(3)第31頁(yè)，共41頁(yè)。課堂練習(xí) ：用定積分的幾何意義計(jì)算。第32頁(yè)，共41頁(yè)。 課堂練習(xí)2 ：用定積分表示陰影部分的面積。第33頁(yè)，共41頁(yè)。5.1.4 定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2可以推廣( k 為常數(shù))性質(zhì) ( 積分區(qū)間可加性)性質(zhì)第34頁(yè)，共41頁(yè)。性質(zhì)在區(qū)間上最小值和最大值,則 上在區(qū)間性質(zhì)如果分別是和性質(zhì)第35頁(yè)，共41頁(yè)。(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(1)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 第36頁(yè)，共41頁(yè)。例2不計(jì)算定積分的值，比較下列定積分大小 (1)因?yàn)楫?dāng)所以時(shí)，(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，例0 0 第37頁(yè)，共41頁(yè)。課堂練習(xí) ：1比較定積分 與 的大?。ù鸢福?）2比較定積分與 的大小（答案： )第38頁(yè)，共41頁(yè)。性質(zhì) ( 積分中值定理 )如果函數(shù)通常我們稱使得至少存在一點(diǎn)上上連續(xù)，則在區(qū)間在閉區(qū)間上的平均值。 在為函數(shù)第39頁(yè)，共41頁(yè)。積分中值