高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件D952二元泰勒公式

1、一、二元函數(shù)泰勒公式 二、極值充分條件的證明 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二元泰勒公式 第九章 第五節(jié) 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件記號(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): 一般地, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 表示表示8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,為此鄰域內(nèi)任 一點, 則有其中 稱為f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式,稱為其拉格朗日型余項 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022

2、高等數(shù)學(xué)課件證: 令則 利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件一般地 由 的麥克勞林公式, 得 其中8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件說明:(1) 余項估計式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 M , 則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件(2) 當(dāng) n = 0 時, 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3) 若函數(shù)在區(qū)域D 上的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, 由中值公式可知在該區(qū)域上 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件例1. 求函數(shù)解: 的三階泰勒公式. 因此

3、,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件時, 具有極值二、極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A 0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)定理2 (充分條件)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意則有所以機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件其中 , , 是當(dāng)h 0

4、, k 0 時的無窮小量 ,于是(1) 當(dāng) ACB2 0 時, 必有 A0 , 且 A 與C 同號, 可見 ,從而z0 , 因此機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件從而 z0,(2) 當(dāng) ACB2 0 時, 若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 則 時, 有異號;同號.可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件+若 AC 0 , 則必有 B0 ,不妨設(shè) B0 ,此時 可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負, (3) 當(dāng)ACB2 0 時, 若 A0,則若 A0 ,則 B0 ,為零或非零機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/3/2022高等數(shù)學(xué)課件