2022年《雙曲線及其標準方程》問題導讀-評價單

1、3. 3.2雙曲線及其標準方程 問題導讀評判單【學習目標】 1.使同學把握雙曲線的定義和標準方程的推導過程 ; 2.使同學把握雙曲線的兩類標準方程【學習重點】 雙曲線的定義【學習難點】 雙曲線方程的推導 問題 一復習回憶,會求解雙曲線的標準方程定義平面內與兩個定點aF 1、F2 的距離之和等于常數(shù)2 a （2 a |F 1F2|）的點的軌跡表達式x2y21|MF1|MF2|2 2a|F F 2|標準b0y2x21 ab0方程2222ababy 圖形F20,c Mx,y x F10,-c 焦點F 1c,0,F2 ,0c2a2bF 10,c,F 20, a b c 的關系2 二 雙曲線的定義 :

2、1. 問題 : 如把橢圓定義中” 距離之和 ” 改為 ” 距離之差 ” , 那么動點的軌跡是什么 .它的方程是怎么樣的呢 . 2. 雙曲線的定義 : 平面內與兩定點 F 1 , F的距離的差的肯定值是常數(shù) 2 小于 | F F 1 2 | 的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點 F F叫做雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離叫做焦距3. 簡潔演示 使用幾何畫板 . 4. | MF 1 | | MF 2 | 2 a （* ）留意：（ *）式中是差的肯定值,在 0 2 a | F F 2 | 條件下：| MF 1 | | MF 2 | 2 a 時為雙曲線的一支（含 F 的一支）；| MF 2 | | MF 1

3、 | 2 a 時為雙曲線的另一支（含 F 的一支） . 當 2 a | F F 2 | 時,| MF 1 | | MF 2 | 2 a 表示兩條射線 . 當 2 a | F F 2 | 時,| MF 1 | | MF 2 | 2 a 不表示任何圖形 . 三. 雙曲線標準方程的推導 : 現(xiàn)在來討論雙曲線的方程我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求同學回答,主要引起同學摸索,立即引導同學給出雙曲線的方程的推導標準方程的推導 : 1. 建系設點 :取過焦點 F F 的直線為 x 軸,線段 F F 的垂直平分線為 y 軸如下列圖 建立直角坐標系

4、 ,設 M x y 為雙曲線上任意一點,雙曲線的焦距是2 c c 0,那么 F F 的坐標分別是 F 1 c ,0, F 2 ,0又設點 M 與 F1、F2 的距離的差的肯定值為 2a . 2 點 的 集 合 : 由 定 義 可 知,雙 曲 線 就 是 集 合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a 3代數(shù)方程2 2 2 2| MF 1 | x c y , | MF 2 | x c y ,2 2 2 2 x c y x c y 2 a4 化 簡 方 程 : 將 這 個 方 程 移 項,使 式 子 兩 邊 平 衡 , 再 兩 邊 平 方 得： x c 2y 24 a

5、24 a x c 2y 2 x c 2y ,移項整理兩邊平方可得 2: c -2a 2x -2a 2y = 2a 2c -2a 2我們可以仿照橢圓的標準方程的處理方式把式子美化 ,使其簡潔易記 由 雙 曲 線 定 義 ,2 c 2 a 即c a , 所 以 2 c 2 a 0 設 c a b b 2 0, 代 入 上 式 得 ：2 22 2x yb x 2 2a y 2 2a b 2 2即 a 2b 2 1,這就是焦點在 x 軸上的雙曲線的標準方程兩種標準方程的比較 引導同學歸納 ：2 2x y1 a2b2 1 a 0, b 0 表示焦點在 x 軸上的雙曲線 ,焦點是 : F 1 c ,0,

6、F 2 ,0 ,這里 c 2a 2b . 22 22 a y2b x2 1 a 0, b 0 表示焦點在 y 軸上的雙曲線 ,焦點是 : F 10, c , F 20, c ,這里 c 2a 2b .只 2需將 1方程的 x,y 互換即可得到 強調指出 ：1雙曲線標準方程中的”標準是指的是雙曲線的中心在坐標原點 ,焦點在坐標軸上 這從建立直角坐標系可以看出來 .2雙曲線標準方程中,a 0, b 0,但a不肯定大于b；3假如 x 項的系數(shù)是正的,那么焦點在 2x 軸2上；假如 y 項的系數(shù)是正的,那么焦點在 y 軸上留意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上 4雙曲線標準方程中 a

7、 b c 的關系是 c 2a 2b ,不同于橢圓方程中 2c 2a 2b 2 四. 例題分析 : 練習 : 寫出以下雙曲線的焦點坐標: 14y2x216,求雙曲線的1x2y212x2y213y2x2169916169916例 1. 已知雙曲線的焦點為F1-5,0,F25,0,雙曲線上一點P 到 F1、 F2 的距離的差的肯定值等于標準方程 . 解: 依據(jù)雙曲線的焦點在3,x 軸上,設它的標準方程為：x2y21a0,b20y21a2b2Q2a6,c5,ac5,2 b5232所以所求雙曲線的標準方程為:x916 五 小結橢圓|y2sin雙曲線x定義|MF 1|MF2| 2 2a|F F 2|MF1|MF2|2 2a|F F 2|方程x2y21y2x21x2y21y2x21a2b2a2b2a2b2a2b2y Mx,y yyF 20,c MF2M圖形x F 1oF 2xF1F10,-c 方 案焦點Fc,0F0,cFc,0F0,c焦 點 位置看分母大小cos看系數(shù)正負a0,b0a b cca 2b 2 a02的 關bc2a2b2系 六 作業(yè) : 課本P 108習題 8.3 第 1,2,4 1表示怎樣的曲線？摸