2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第2章第11節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1、第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考綱 了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)I.材,雙基盲主知識(shí)植理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)y= f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么(1)假設(shè)fx)0,那么f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)增加的：(2)假設(shè)fx)0.()(2)如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)包有fx) = 0,那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調(diào)性.()(3)fx)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件.()答案(1)x ，(3)x一 1c.函數(shù)y= 2x2- ln x的遞減區(qū)間為()A. (-1,1B.(0,1C. 1, +8)d. (0, +OO

2、)11x 1 x+1B 函數(shù) y= 2x ln x 的定義域?yàn)?0, + ), y= xx=x ，令y0,那么可得0 x01.3.(教材改編)如圖2-11-1所示是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)fx)的圖像,那么以下判斷中正確的選項(xiàng)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962105】圖 2-11-1A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(一3,0)上是減少的B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上是減少的C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減少的D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上是增加的A 當(dāng)xC( 3,0)時(shí)，fx)f(0) = 0 sin 0= 0,所以函數(shù)存在零點(diǎn)，排除選項(xiàng)D,應(yīng)選B.(2021全國卷H )假設(shè)函數(shù)f(x)=kxln x

3、在區(qū)間(1, +oo)遞增，那么k的 取值范圍是()A. (一00, 一 2B . (一00, 一 1C. 2, +oo)D. 1, +00)1，一、一， 1D 由于 f x)=k，f(x) = kxln x 在區(qū)間(1, 十 )遞增？ f x)=k-0 xx在(1, + 00)上恒成立.一 1 一 1由于k,而01,即k的取值氾圍為1 , + ). x x明考向題型突破I判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性例I 函數(shù)f(x) = x3+ax2+b(a, bCR).試討論f(x)的單調(diào)性.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962106】解fxl= 3x2+2ax,令 fx) = 0,2ax2= 3.當(dāng)a= 0時(shí),因?yàn)閒 x)=

4、3x20,所以函數(shù)f(x)在(一8, +oo)上是增加的;0 時(shí)，xC 8所以函數(shù)f(x)在一8當(dāng) a0, x -2a 32a+ 8)上是增加的，在一W，+ oo 時(shí)，f (x) 0, x e 00 時(shí)，fx)0上是減少2a 時(shí)，f，x)0時(shí)為增函數(shù)；fx)1 時(shí)，g(x)0.1 2ax2-1解(1)由題意得 f x) = 2ax一1(x0).2 分x x當(dāng)a00時(shí)，fx)0 時(shí)，由 f x)=0 有 x=12a，c 1 TOC o 1-5 h z 當(dāng)xC 0，忘時(shí)，fx)0, f(x)是增加的.7分(2)證明：令 s(x) = ex-1 x,那么 s x) = ex-1 1.9 分當(dāng) x1

5、時(shí)，sx)0,所以 ex1x,一一 11.從而g(x) = x -30.12分I考向2|求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問例四一(2021北京高考)設(shè)函數(shù)f(x) = xeax+ bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為y=(e 1)x+ 4.(1)求a, b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)因?yàn)?f(x) = xea-x+bx,所以 f x) = (1-x)ea-x+ b.2 分f 2 =2e+ 2,2ea-2 + 2b= 2e+ 2, TOC o 1-5 h z 依題設(shè)，即 ,f2 =e1,-ea-2+b= e- 1.a = 2,解得5分b = e.(2)由知 f(x) = xe2-

6、x+ ex.由 fx) = e2-,遞減區(qū)間是. 0, 二 一二,+oo 由得 f(x)的定義域?yàn)?0, + ). a a a x+1 因?yàn)?fx) = a+x= xa， x函數(shù) f(x) = x ax 1.假設(shè)f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解因?yàn)閒(x)在(一8, +OO)上是增函數(shù)，所以f x) = 3x2a0在(一00 , +oo)上恒成立，即a0,所以只需a0, f(x) = x31在R上是增函數(shù)，所以a0在(1, +8)上恒成立，即3x2 a0在(1, +8)上恒成立，7分所以a03x2在(1, +8)上包成立，所以a0,3分(1-x+ ex-1)及 e2-x0 知，f

7、x)與 1 x+ ex-1 同號(hào).7 分令 g(x) = 1 x+ex-1,那么 gx)= 1 + ex-1.所以，當(dāng)xC( oo, 1)時(shí)，gx)0, g(x)在區(qū)間(1, +oo)上是增加的.9分故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(一00, +OO)上的最小值，從而 g(x)0, x (8, +oo).綜上可知，f x)0, x (8, +oo),故f(x)的遞增區(qū)間為(8, + oo).12分規(guī)律方法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求 f x);(3)在定義域內(nèi)解不等式fx)0,得遞增區(qū)問；(4)在定義域內(nèi)解不等式fx)0,得遞減區(qū)間.變式訓(xùn)練2函數(shù)f(x)=ax

8、+ln x,那么當(dāng)ag時(shí)，f x)0, aJ ，當(dāng) 0 x0, a所以f(x)的遞增區(qū)間為o, 一 a,遞減區(qū)間為一.+00. aI考向31r同函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)所以f(x)在(一8, +OO)上為增函數(shù).當(dāng) a0 時(shí)，令 3x2a0,得-當(dāng)x。). 35分f(x)在區(qū)間(一1,1)上不單調(diào)，.01,得0a0；假設(shè)函 數(shù)遞減，那么fx)W0來求解.易錯(cuò)警示：(1)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a, b)都有fx) 0, 且在(a, b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上fx)不包為0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省 略，否那么漏解.(2)函數(shù)在其區(qū)間上不具有單調(diào)性，但可在子區(qū)間上具有單調(diào)性，如遷移3中利用了甲(0,1)來求解.31變式訓(xùn)練3 (2021全國卷I)假設(shè)函數(shù)f(x) = x3sin 2x+asin x在(一0,+ 8)遞增，那么a的取值范圍是()A. T,1