3.2立體幾何中的向量方法(三)課件

1、第三章 空間向量與立體幾何3.2 立體幾何中的向量方法（三）第1頁(yè)，共22頁(yè)。一、復(fù)習(xí)引入用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形）第2頁(yè)，共22頁(yè)。向量的有關(guān)知識(shí)：兩向量數(shù)量積的定義：ab=|a|b|cosa,b兩向量夾角公式：cos a,b =直線(xiàn)的方向向量：與直線(xiàn)平行的非零向量平面的法向量：與平面垂直的向量第3頁(yè)

2、，共22頁(yè)。練習(xí) 如圖，60的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的長(zhǎng). BACD第4頁(yè)，共22頁(yè)。 例1：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線(xiàn) （庫(kù)底與水壩的交線(xiàn)）的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長(zhǎng)為 , AB的長(zhǎng)為 。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。 解：如圖，化為向量問(wèn)題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運(yùn)算于是，得設(shè)向量 與 的夾角為 ， 就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。因此ABCD圖3第5頁(yè)，共22頁(yè)。所以回到圖形問(wèn)題庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為第6頁(yè)，共22頁(yè)。 例1

3、：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線(xiàn) （庫(kù)底與水壩的交線(xiàn)）的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長(zhǎng)為 , AB的長(zhǎng)為 。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。 思考： （1）本題中如果夾角 可以測(cè)出，而AB未知，其他條件不變，可以計(jì)算出AB的長(zhǎng)嗎？ABCD圖3分析： 可算出 AB 的長(zhǎng)。第7頁(yè)，共22頁(yè)。 （2）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？ 分析：如圖，設(shè)以頂點(diǎn) 為端點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為 ，三條棱長(zhǎng)分別為 各棱間夾角為 。A1B1C1D1ABCD第8頁(yè)，共22頁(yè)。 （3）如果

4、已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于 ，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形 解：如圖，在平面 AB1 內(nèi)過(guò) A1 作 A1EAB 于點(diǎn) E，EF在平面 AC 內(nèi)作 CFAB 于 F。可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值。第9頁(yè)，共22頁(yè)?？臻g“夾角”問(wèn)題1.異面直線(xiàn)所成角lmlm若兩直線(xiàn) 所成的角為 , 則第10頁(yè)，共22頁(yè)。例2第11頁(yè)，共22頁(yè)。解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則： 所以：所以 與 所成角的余弦值為第12頁(yè)，共22頁(yè)。練習(xí)：在長(zhǎng)方體 中，第13

5、頁(yè)，共22頁(yè)。二面角的平面角方向向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角 的大小為其中AB DCLBA第14頁(yè)，共22頁(yè)。注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角L 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角。如圖，向量 ，則二面角 的大小 若二面角 的大小為 , 則法向量法二面角的平面角第15頁(yè)，共22頁(yè)。例2 正三棱柱 中，D是AC的中點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，求二面角 的余弦值。CADBC1B1A1第16頁(yè)，共22頁(yè)。 解法一：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為

6、a，側(cè)棱長(zhǎng)為b,則 C(0,0,0)故則可設(shè) =1， ，則B(0,1,0) yxzCADBC1B1A1FE作 于E, 于F，則 即為二面角 的大小在 中， 即E分有向線(xiàn)段 的比為第17頁(yè)，共22頁(yè)。由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos = 即二面角 的余弦值為 yxzCADBC1B1A1FE第18頁(yè)，共22頁(yè)。解法二：同法一，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz 在坐標(biāo)平面yoz中 設(shè)面 的一個(gè)法向量為 同法一，可求 B(0,1,0)可取 (1,0,0)為面 的法向量 yxzCADBC1B1A1由 得解得 所以，可取 二面角 的大小等于 cos = 即二面角 的余弦值為 方向朝面外， 方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角第19頁(yè)，共22頁(yè)。ABn2. 線(xiàn)面角設(shè)n為平面 的法向量，直線(xiàn)AB與平面 所成的角為 ，向量 與n所成