四章節(jié)群論在固體物理中應(yīng)用教學(xué)課件

1、第四章 群論在固體物理中的應(yīng)用 在固體物理中，對晶體的研究占據(jù)了相當(dāng)大的比重。晶體：“三維空間中的一種規(guī)則排列無限重復(fù)的原子、分子、離子或原子集團(tuán)的集合”。晶體具有高度的對稱性，從而形成了一系列對稱群、對稱群對晶體的能級分裂，能帶形成等起主導(dǎo)作用。第1頁，共51頁。4.1 點(diǎn)群晶體的對稱性可以用三種形式的幾何變換或操作描述：其中，反演+（真）轉(zhuǎn)動(dòng) 非真轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)反軸）第2頁，共51頁。例： n重旋轉(zhuǎn)軸 ，n為某些整數(shù) n=4對稱性的階等于4=h（即對稱群的階）對稱面 ODCABC4 h=2 第3頁，共51頁。對稱中心旋轉(zhuǎn)反演軸（轉(zhuǎn)反軸） 旋轉(zhuǎn)和反演的復(fù)合操作A是A的轉(zhuǎn)反像以上四種對稱要素相應(yīng)的操

2、作中，空間中至少有一個(gè)點(diǎn)保持不動(dòng)。 對稱中心OABA第4頁，共51頁。定義：由真轉(zhuǎn)動(dòng)和非真轉(zhuǎn)動(dòng)的各種組合都可保持一個(gè)點(diǎn)（原點(diǎn)）的位置不動(dòng)，稱之點(diǎn)群操作，它們的集合稱為點(diǎn)群。定義：由平移操作和點(diǎn)群操作的各種組合叫作空間群操作，它們的集合稱為空間群。注意：嚴(yán)格講：空間群操作，空間每一點(diǎn)都要?jiǎng)樱虼?，空間對稱操作只有對無限延伸的物體才能進(jìn)行。 一般采用周期性邊界條件解決此類問題。 第5頁，共51頁。4.1.1 晶體點(diǎn)群的對稱操作晶體具有平移對稱性，因此，晶體中的點(diǎn)群操作受到嚴(yán)格限制。晶體中的真轉(zhuǎn)動(dòng)是繞某一軸正向（逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)某一角度。 即 =360，180，120，90，60以及它們的組合： 240

3、，270，300。 證明 n =1,2,3,4,6A和B是 （晶格常數(shù)）方向上的兩點(diǎn)陣設(shè)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角，則B點(diǎn)轉(zhuǎn)到B點(diǎn)設(shè)繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角，則A點(diǎn)轉(zhuǎn)到A點(diǎn)AABB第6頁，共51頁。轉(zhuǎn)動(dòng)后原子點(diǎn)陣應(yīng)重合，故 是一點(diǎn)陣矢量即： ，m整數(shù)由圖可知： ，n=1,2,3,4,6在非真轉(zhuǎn)動(dòng)中的角度轉(zhuǎn)動(dòng)部分也是如此。 第7頁，共51頁。4.1.2 立方晶系的群（Cubic Crystal System）立方晶系的群T群（T，Td，Th）O群（O，Oh）1、O群（Octahedron Group) 正八面體群對稱元素：3個(gè)四度軸：x,y,z軸4個(gè)三度軸：oA1，oA2，oA3，oA4軸6個(gè)二度軸：oa，ob，oc，o

4、d，oe，of不變操作xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第8頁，共51頁。總操作數(shù)為: 33（四度軸有三個(gè)操作）=9 42（三度軸有二個(gè)操作）=8 61（二度軸有一個(gè)操作）=6 不變操作 =1 共有24個(gè)真轉(zhuǎn)動(dòng)操作。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef1C1，不動(dòng)，群元E第9頁，共51頁。6C 2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)180o（2-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第10頁，共51頁。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第11頁，共51頁。8C3，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)120o 和240o （3-度對稱）xyzA1A8A7A6A5

5、A4A3A2oabcfdg第12頁，共51頁。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第13頁，共51頁。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第14頁，共51頁。6C4，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)90o （4-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第15頁，共51頁。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第16頁，共51頁。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第17頁，共51頁。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)180o （2-度對稱）第18頁，共51頁。O群有5類，24個(gè)群元，有5個(gè)不

6、可約表示O群有兩個(gè)1-維表示，一個(gè)2-維表示，兩個(gè)3-維表示。上述表示是O群的個(gè)3-維表示第19頁，共51頁。2、Oh群 8個(gè)全同原子位于立方體的8個(gè)頂點(diǎn)O群的24個(gè)真轉(zhuǎn)動(dòng)，加上中心反演，又有24個(gè)非真轉(zhuǎn)動(dòng)，因此共有48個(gè)操作。共分為10個(gè)類。1C1，不動(dòng)，群元E6C2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)180o（2-度對稱）8C3，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)120o 和240o （3-度對稱）6C4，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)90o （4-度對稱）3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)180o （2-度對稱） i，關(guān)于中心反演6iC2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)180o，接著中心反演8iC3，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)120o 和240o，接著中心反演6iC4，繞xyz

7、軸轉(zhuǎn)動(dòng)90o，接著中心反演3iC 2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)180o，接著中心反演xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第20頁，共51頁。3、T群（Tetrahedton Group，正四面體群) A2A1A3A4與O群比，少6C4， 6C 2兩種對稱性1C1，不動(dòng)，群元E4C3，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)120o （3-度對稱）3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)180o （2-度對稱）4C23，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)240o （3-度對稱）T群有4類，12個(gè)群元，有4個(gè)不可約表示T群有三個(gè)1-維表示，一個(gè)3-維表示。第21頁，共51頁。4、Th群 T群的12個(gè)真轉(zhuǎn)動(dòng)，加上中心反演，又有12個(gè)非真轉(zhuǎn)動(dòng)，因此共有24個(gè)操作

8、。共分為8個(gè)類。1C1，不動(dòng)，群元E4C3，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)120o （3-度對稱）3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)180o （2-度對稱）4C23，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)240o （3-度對稱）i，關(guān)于中心反演4iC3，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)120o ，接著中心反演3iC2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)180o ，接著中心反演4iC23，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)240o ，接著中心反演Th群有6個(gè)1-維表示，2個(gè)3-維表示。第22頁，共51頁。4、Td群 (兩種原子組成的四方晶體)除T群的12個(gè)操作外。還有12個(gè)操作： 6iC2和6iC4。共24個(gè)操作，分為5個(gè)類。1C1，不動(dòng)，群元E8C3，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)120o 和240o （3-度對稱） T群中4

9、C3和4C23合并成一類3C 2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)180o （2-度對稱）6iC 2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)180o ，接著中心反演 將T群中4C3和4C23合并成一類6iC4，繞對角線轉(zhuǎn)動(dòng)90o和270o ，接著中心反演Td群有2個(gè)1-維表示， 1個(gè)2-維表示， 2個(gè)3-維表示。第23頁，共51頁。5個(gè)立方體群的相互關(guān)系第24頁，共51頁。4.1.3 點(diǎn)群的符號和圖示 點(diǎn)群的符號有兩種：IS制（也叫Hermann-Mauguin）符號：簡寫IS符號，H.M符號Schoenflies（熊夫利斯符號）符號，簡寫Sch符號 第25頁，共51頁。注意：四度反軸 不等于四度軸加反演中心C3h六重轉(zhuǎn)反軸六重軸

10、加垂直于它的對稱面 S4四重轉(zhuǎn)反軸 C3i三重轉(zhuǎn)反軸三重軸加對稱中心 S2 = CS同對稱面 二重轉(zhuǎn)反軸垂直于軸的對稱面 Ci=S11無 一重轉(zhuǎn)反軸對稱中心 C66六重旋轉(zhuǎn)軸 C44 四重旋轉(zhuǎn)軸 C33 三重旋轉(zhuǎn)軸 C22 二重旋轉(zhuǎn)軸 C11無 一重旋轉(zhuǎn)軸 CS=S2 m直線或圓圈 對稱面 Ci=S1 1無 對稱中心 Sch.I.S 圖示（標(biāo)記） 對稱要素 第26頁，共51頁。晶體具有的對稱操作：Cn：繞晶體主軸作 角度的轉(zhuǎn)動(dòng)，n1，2，3，4，6Dn ：具有Cn的對稱晶體，同時(shí)存在n根與主軸垂直的2-度軸， n2，3，4，6Cnh：具有Cn的對稱晶體，同時(shí)具有一個(gè)與主軸垂直的水平面作為反射鏡

11、面，n1，2，3，4，6，n為偶數(shù)時(shí)， Cnh還具有反演操作Cnv：具有Cn的對稱晶體，同時(shí)具有包含主軸的豎直平面作為反射鏡面，n2，3，4，6Sn ：具有n重非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的對稱晶體， n2，3，6 n3時(shí)， S3 C3h第27頁，共51頁。晶體具有的對稱操作：Dnh：具有Dn的對稱晶體，同時(shí)具有一個(gè)水平面反射鏡面， n2，3，4，6Cnv：具有Dn的對稱晶體，同時(shí)具有包含主軸的豎直平面作為反射鏡面， n2，3立方晶系5種點(diǎn)群：T，Td，Th，O，Oh第28頁，共51頁。立方系晶體和六方系晶體等可能具有的最多操作可以查表。一般，對稱性較低的晶體具有的對稱操作要少一些。晶體可能具有的點(diǎn)群操作可構(gòu)成

12、一個(gè)群晶體的點(diǎn)群，它決定晶體的宏觀對稱性。 可以證明：獨(dú)立的點(diǎn)操作對稱要素有： （IS）1，2，3，4，6，I，m， 這8個(gè)點(diǎn)對稱要素共有32種組合（見書）。相應(yīng)地，每種組合的操作構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)群，因此，共有32個(gè)點(diǎn)群。例如：不可能有垂直于三重軸或六重軸的四垂軸（因?yàn)榇怪庇谒闹剌S的三重軸或六重軸都將“破壞”四重軸的對稱性） 第29頁，共51頁。32個(gè)晶體點(diǎn)群第30頁，共51頁。第31頁，共51頁。32個(gè)晶體點(diǎn)群不可約表示的特征標(biāo)表三斜晶系：單斜晶系：第32頁，共51頁。正交晶系：第33頁，共51頁。四角晶系：第34頁，共51頁。第35頁，共51頁。第36頁，共51頁。第37頁，共51頁。六角晶系：第38頁，共51頁。第39頁，共51頁。第40頁，共51頁。立方晶系：第41頁，共51頁。第42頁，共51頁。第43頁，共51頁。4.1.4 晶格對稱性對固體性質(zhì)的影響各向同性物體中：物理性質(zhì)與空間方向無關(guān)，可用一標(biāo)量來描述，如電導(dǎo)率，介電常數(shù)，極化系數(shù)等晶體中：物理性質(zhì)量通常是各向異性的，一般用二階張量來描述，如電導(dǎo)率張量不同固體的電導(dǎo)率相差很大，其原因是與晶格的對稱性有關(guān)。第44頁，共51頁。abc長方晶體：以x，y，z為基矢的表示矩陣為第45頁，共51頁。電導(dǎo)率張量在對稱操作的作用下，有關(guān)系式：第46頁，共51頁。對稱操作第47頁，共51頁。第48頁，共51頁。對