現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題

1、概念：設(shè)動態(tài)系統(tǒng)為文(。=Ax(r) + Bn,y) = Cx(t) +Du(t),(D假設(shè)那么(。稱為(狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣)(2)假設(shè)G(s) = C(s/-A)-3 +。，那么G(s)稱為(傳遞.海鼎矩陣)(3)假設(shè)4人為=氏AB,A2氏,4一句，那么JA,引稱為(惚按嘏矩陣)(4)假設(shè),。一甲，貝iJUCA稱為(惚現(xiàn)但矩陣)(5)假設(shè)晨。,4為=。民。4民。12%.,0418,。,那么二C,A,切稱為(輸出健控 植夷田)(6)李雅普諾夫方程47。+24 = -Q,其中。為正定對稱陣，當(dāng)使方程成立的P為 (正定對錦陣)時(shí)，系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。(7)設(shè)系統(tǒng)、= /(x), o, /(0)= 0,如果存

2、在一個(gè)具有一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) v(x), V(0) = 0,并且對于狀態(tài)空間X中的且非零點(diǎn)X滿足如下條件：V。)為(正 定)；R(x)為(負(fù)足)；當(dāng)同 8時(shí)，V(%)f 8。那么系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是(大范 國漪近德建的)。(8)狀態(tài)反應(yīng)不改變系統(tǒng)的(可控程)。輸出至狀態(tài)微分反應(yīng)不改變系統(tǒng)的(可現(xiàn)惻植)。 輸出至參考輸入反應(yīng)，不改變系統(tǒng)的(可控檻和可覘惻榴)。狀態(tài)反應(yīng)和輸出反應(yīng)都能 影響系統(tǒng)的(德定槌我劭態(tài)但惚)。(9)狀態(tài)反應(yīng)控制的極點(diǎn)任意配置條件是系統(tǒng)狀態(tài)(黨全可控)。狀態(tài)觀測的極點(diǎn)任意 配置條件是系統(tǒng)狀態(tài)(競?cè)涩F(xiàn))。(10)系統(tǒng)線性變換X = PxEI寸，變換矩陣尸必須是(旌奇異的，或滿

3、缺)的。二：系統(tǒng)傳遞函數(shù) G(s) =1 ,試求約當(dāng)型動態(tài)方程。(s + 1)2(s + 2)可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn);對角型實(shí)現(xiàn)； 下三角型實(shí)現(xiàn)；參考答案：可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)引入中間變量Z,使_ Y(s) Z(s)-2 I Q1G(s)=(s + 8s +15 )Z(s) U(s) 7 1+7/+i4s + 8可得微分方程z + 8z + 15z = y, z+7z + 14z + 8z = u選擇工1 = Z , x2 = z 9 x3 = z ,那么有X = %2X = %2y = 15 %1 + 8x2 + %3系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) = 15 8 = 15 8可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可觀標(biāo)

4、準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)對應(yīng)系統(tǒng)的微分方程,y+7y + 14y + 8y = u + 8u + 15u選擇狀態(tài)變量,xx = 5 + 7及 + 14一一8% = y + 7y 當(dāng)二y那么有X =y + 7y + 14y-w + 8w = -8x3+15wx2 = y + ly-u = xx - 14x3 + Sux3 = y = x2- 7玉 + u系統(tǒng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)/ 、王x2a.0 0-81 0 -140 1 -7、 王x2X3)1581y = 0 0 1-*x2對角型實(shí)現(xiàn)；將傳遞函數(shù)分解成局部分式G(s)_ y(s) _ Y+8S + 15_ 8/33/21/6U(s) 53 +752 +145 +

5、 8 s + 1 s + 2 s + 4設(shè)X(s) =占。，X) = *U(s), X3(s) = 士。(s)可得 X1 = -Xj +u , x2 = -2x2 + u , x3 = -4x3 + u 系統(tǒng)的對角型實(shí)現(xiàn)為f 、Fx2占y =-1 00 -20 0下三角型實(shí)現(xiàn)；將傳遞函數(shù)分解成G(s) =y(s) 52 +85 + 15U(s) 53+752+145 + 8 s + 1 s + 2I -1x20那么有. 1 1V(x) = Xjij + x2x2 = X(F + x2) + x2 (2xj -3x2)22=_%； + 2% %2 _(尤一 工2)- 龍； 0對于狀態(tài)空間中的一切

6、非零x滿足y(x)正定，歐(X)負(fù)定，故系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是 大范圍漸近穩(wěn)定的。方法二：系統(tǒng)狀態(tài)方程寫成向量矩陣形式-1 11T 1 1.=，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A=, detA = l即A是非奇異的，故原點(diǎn)乂=0是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。設(shè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù) 及其導(dǎo)微分分別為V(x) = xT Px, V (%) = -x1 Qx,P 0,Q0那么 atp+pa = -q 成立。取。=/,上式為-12 pu1 一3 _p2i-12 pu1 一3 _p2iPn + Ph PnP12_ _P1 P221 1 1o-1Ai PnPi P22其中pi2=0l求解該矩陣方程可得1P14 5一8 5 317由于4

7、, detP = -0,對稱矩陣P是正定的。系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的?！緟⒖即鸢?系統(tǒng)狀態(tài)方程向量矩陣形式原點(diǎn)(8=0, X2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài).x2j0 12 -1假設(shè)選取 V(x) = xTPx,V(x) = 口,解李雅普諾夫方程解李雅普諾夫方程atp+pa = -q/日 3得 P =4 1/日 3得 P =4 1，由于 P11 =30為不定，那么難以判定系統(tǒng) 2的穩(wěn)定性。用特征根判別det(/7 止A-21丸+ 1可見系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。【參考答案3原點(diǎn)(=0,“2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài),選取正定標(biāo)量函數(shù)V(x) = 2xf + 2 只那么有廿(%)

8、= 4%文1 + 16x；文 2 =4%(-2%1 +2%；)+ 16無；(一3九2)=8xj2 +16%2 = -7x； (x； 8xj%2 +)= _7x： (x； 4x；)2 。，detP = 5.2290為正定，故系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。010111,12【6題】:設(shè)有不穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)(A,b,c),其中A= 3 -10 2能否通過狀態(tài)反應(yīng)把系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在-10, -I土工四處？假設(shè)能，試求出實(shí)現(xiàn)上述極點(diǎn)配置的反應(yīng)增益向量依解：系統(tǒng)的可控性矩陣及秩ro 0 2 一P = b Ab A2b= 0 1-1, rankP = 31 0 2系統(tǒng)是可控的，可以通過狀態(tài)反應(yīng)來

9、進(jìn)行極點(diǎn)配置。設(shè)反應(yīng)增益向量k = k k2 k3系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式detA/-(A-bk) = A3 + k32 + (k2 -9)A (7自 +k2-2% -2)閉環(huán)系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式(A + 10)(A + l + ；V3)(A + l-jV3) = A3 +12A2 +24/ + 40比擬同次系數(shù)得k3=12 , k?=33 , k、=77.5反應(yīng)增益向量Z = 77.5 33 12G（s）=（5 + 1）2（5 + 2） -（5 + 1）25515+1 5+2由上式，可得約當(dāng)型動態(tài)方程y = 5 -5 5-100三：試求以下狀態(tài)方程的解文=0 -2 0 X的解00 -3_解：由題

10、意可得：x = Ax（si 一 A）x - x0 x = （si - A）-1 x0 x） = （s/ A）。005 + 20 x00 s + 300s + 1x =r1 o ois + 1 =L ooef=00 x000五:設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為北=并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控，試求。）。解:Pc = b - ab =1 bb ab-1令 Pc =ah-b2。0nawb + _h寸，即可滿足可控性條件。 b六:試確定使系統(tǒng)比=x, y = l -lx可觀測的q,匕.。解:cCA11-bPc = h + a w 0=Z?wa + l時(shí)，于是系統(tǒng)可觀。第A93題：系統(tǒng)微分方程為元+ 3比+ 2% =，其中u為輸入

11、量；x為輸出量。設(shè)狀態(tài)% 1 =二%2=X,試寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程;設(shè)狀態(tài)變換為 = %，工2 二 一用一 2可，試確定變換矩陣T,及變換后的動態(tài)方程。參考答案：列寫系統(tǒng)的動態(tài)方程-2 -3-2 -3x2)求變換矩陣T和變換后的動態(tài)方程由題意知由題意知1-2,故變換矩陣T=1 1-1 -2由于a = txat=a = txat=-10-21 1B=T-c= CT = 1變換后的動態(tài)方程第A95題:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其狀態(tài)變量為的,X2, X3o試列寫動態(tài)方程。0-32(王、參考答案：將頻域參量S視作微分算子，可得2(x2 -X3) = 5,(5, + 3)Xj2(x2 -X3) = 5,(5, + 3

12、)Xj2( - X) = (s + 3)%2 ,整理得動態(tài)方程丁 二%寫成向量矩陣形式0-20y =。 9第A96題：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s) =s2 + 6s + 8s2 + 4s+ 3試求可控標(biāo)準(zhǔn)型（A為友矩陣），可觀標(biāo)準(zhǔn)型（A為友矩陣轉(zhuǎn)置），對角型（A為對角陣） 動態(tài)方程。參考答案：c、52 + 6a1 + 81 2s + 5由于 G（s）=-7二 I + F出丁Y+4S + 3 Y+4S + 3串聯(lián)分解，引入中間變量z,可得微分方程z + 4z + 3z = uy = 22 + 5z + 選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量% 二 Z,4x2 +u( 玉x2jo 1-3 -45 2.那么狀態(tài)方程 那

13、么輸出方程 可控標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程利用能控性與能觀性的對偶關(guān)系DO=DCDO=DC紇=U,由可控標(biāo)準(zhǔn)型得可觀標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程y =。1(%)由于 G(s) = l +N(s) _ 2s + 5Z)(s)52 +45 + 3O(s) = s2+4s + 3 = (s + 1)(s + 3) = 0故為=-1,方=-3為系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，且有N(s) 2s+ 53/21/2D(s) s? + 4s + 3 5 + 1V,、八 3/21/2）U(s)因此，丫或+石+弟）令狀態(tài)變量XGh占U（s）,X2（s） =+u（s）其反拉氏變換玉=一%x2=-3x2+u, y = T 玉+g%+ u=2/屋 + 2e2

14、t因此對角型動態(tài)方程-1 0第A9U3題：線性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為試求系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣Ao參考答案1：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)(s/_ A)T = 2=2 1s + 1 s + 22 15 + 1 S + 22 15 + 1 S + 22 15+1 5+2(5+ 1)(5+ 2) -2(5+ 1)(5+ 2) -21-3A = s/ (s + l)(s + 2)5 + 3-2-3s -12 5 + 30-2-3參考答案2：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)吊=4，0(0) = I所以2/+2-2;/ + 2uO 一2/2廠,r=0-2 -3第A9-14題：設(shè)系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)矩陣為試求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣e 參考

15、答案1：拉氏變換法Ats(si - A)T = o-2o T115-4s2 -4s+ 5 2);5-4152 -45 S-55 + 2 d TOC o 1-5 h z -21 -i(S-(5-2)-222(S-(5 - 1)(5 - 2)-244Z1(S 1)2(5 - 1) (5 - 2)322(S If (5-1) (S 2)354(S-l)2(5 - 1)(S-2)388-H(S 1產(chǎn)(5 - 1) (S 2)-1 1 1(S (5-1)(5-2)-122z1(S-(5 - 1)(5 - 2)-144(S (5 - 1)(5 - 2)-2ter +/，2td 2d + 2e2td 4d

16、+ 4e2t2t+ 2d - 2e 3td + 5d 4e 3td + 8e 一 8eIt2tIt-te -er +e2ttd 2d + 2etd 3e + 4e2t2t參考答案2：線性變換法由于A是友矩陣，故有=萬 一 4乃 + 52 2 = (7 (4 2)4=1,所以“24=214A2i“3pi0-212-3-2A = p-AP =A/r)1 At jje = r e r A/r)1 At jje = r e r - 2td + e2t2(% + l)d + 2e2(% + 2)d + 4e2t2t + 2)d 2e + 5)er - 4e (3t + 8)e 8e2t2t2t一(/ +

17、 l)d + e2t-Q + 2)d + 2e + 3)d + 4e2t2t參考答案3：待定系數(shù)法根據(jù)凱萊-哈密頓定律n-eAt = Z % 屋=/ + q A + 6t2(r)A2 k=0因A的特征值Q =入2 = 1,九3 = 2,那么有tee2t7-2+/、(3t + 2)er - 2e2t一(/ + l)er + e2t7=(- 2td + e11+ (- (r + l)ef +e2r)05181411- 2td + e11-2Q + l)d+2/，-2(，+ 2)d + 4/ + 2) _ 2e + 5)d 4e2t2t(3t + 8)d Se2t一(/ + l)d + e- + 2)，+ 2e一(，+ 3)d + 4e2/2t第A915題：線性定常自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程試求系統(tǒng)的狀態(tài)軌線。參考答案:X,x（0）=線性定常齊次狀態(tài)方程的解X。）= eAtx（Q）A2Ak=0, /k300Ak =I + At + -A1t2 =2t產(chǎn)/21 t0 tt t2121 t0 t第A919題：線性動態(tài)方程為y = o o 1%01元=-2 -31 1試求傳遞函數(shù)陣G(s)。參考答案：G(5)= c(5/-A)-,Z? = 00 1-o T1 o 5-3s2-95-30 1- -25 + 6 3s 一5 - 55-12/+7s + 3s3 -7s-6第A921題：ad - be,試