拋物線及其標準方程

1、關(guān)于拋物線及其標準方程第一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月問題探究：當(dāng)e=1時，即|MF|=|MH| ，點M的軌跡是什么？探究？ 可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖) 我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.MFle=1幾何畫板觀察第二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4.1拋物線及其標準方程第四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月MFle=1 在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l (不在直線上）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋

2、物線的焦點,直線l 叫拋物線的準線|MF|=dd 為 M 到 l 的距離準線焦點d一、拋物線的定義:第五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月MFle=1二、標準方程的推導(dǎo) 思考：拋物線是軸對稱圖形嗎？怎樣建立坐標系,才能使焦點坐標和準線方程更簡捷?第六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月1.建系2.設(shè)點3.列式4.化簡l解：以過F且垂直于 l 的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標原點建立直角坐標系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F依題意得5.檢驗這就是所求的軌跡方程.y如圖，若以準線所在直線為y軸， 則焦點F(P,0),準線L:x=0 由拋物線的定義，可導(dǎo)出拋

3、物線方程為y2 = 2p(x- )(p0）p2第七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月三、標準方程 把方程 y2 = 2px (p0)叫做拋物線的標準方程.其中 p 為正常數(shù),表示焦點在 x 軸正半軸上.且 p的幾何意義是:右焦點是：左準線方程為: 一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程有四種形式.lxKyoM(x,y)F焦 點 到 準 線 的 距 離第八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月yxoyxoyxoyxo 圖 形 焦 點 準 線 標準方程第一:一次項的變量為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對稱軸,焦點就在對稱軸上.第二:一次項的系

4、數(shù)的正負決定了開口方向. 不容易錯的最好方法是看看x(或y)的取值范圍即：焦點與一次項變量相同；正負決定開口方向！ 第九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 1）拋物線的標準方程是y2 = 6x，求焦點和準線方程；2）拋物線的方程是y = 6x2,求焦點坐標和準線方程；3）拋物線的焦點坐標是F（0，-2）,求它的標準方程。解:因焦點在y軸的負半軸上,且p=4,故其標準方程為:x = - 8y232解：因為，故焦點坐標為（,）32準線方程為x=- .解:方程可化為: 故焦點坐標為 ,準線方程為 第十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月焦點坐標準線方程（1）（2）（3）（4）（5，

5、0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2練習(xí)1求下列拋物線的焦點和準線方程（1）y2 = 20 x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0注意：求拋物線的焦點一定要先把拋物線化為標準形式第十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)2拋物線的頂點是坐標原點，根據(jù)下列條件，分別寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準線方程是x = ；（3）焦點到準線的距離是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y反思：已知拋物線的標準方程 求其焦點和準線方程先定

6、位，后定量第十二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月AOyx解:(1)當(dāng)焦點在 y 軸正半軸上時，把A(-3,2)代入x2 =2py，得p= (2)當(dāng)焦點在 x 軸負半軸上時,把A(-3,2)代入y2 = -2px，得p= 拋物線標準方程為x2 = y 或 y2 = x 。練習(xí)3拋物線經(jīng)過點P(4,2)，求拋物線的標準方程。 提示：注意到P為第四象限的點，所以可以設(shè)拋物線的標準方程為y2=2px或x2=-2py例2.求頂點是坐標原點,且過A(-3,2)的拋物線的標準方程.第十三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4a1焦點坐標是（ ，0），準線方程是： x=4a1例3已知拋物線方程

7、為x=ay2（a0)，討論拋物線的開口方向、焦點坐標和準線方程？解：拋物線的方程化為：y2= x1a即2p=1 a當(dāng)a0時, ,拋物線的開口向右p2=14a第十四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 思考:M是拋物線y2 = 2px（p0）上一點，若點M 的橫 坐標為x0，則x0 + 2pOyxFM這就是拋物線的焦半徑公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0 ( )2p第十五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例4拋物線的焦點在 x 軸上，拋物線上的橫坐標為3的點M到焦點的距離等于6，求拋物線的標準方程.y2=2px(p0)由拋物線的定義知3-(- )=6,即p=6.數(shù)形結(jié)合,用定

8、義轉(zhuǎn)化條件,解:因為是焦點在 x 軸上且過M點的拋物線,所以設(shè)標準方程為所求拋物線標準方程為y2 =12x變式：拋物線的焦點在 x 軸上，拋物線上的點M(3,m)到焦點的距離等于6，求拋物線的標準方程.OyxFMx0 ( )2p第十六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月過拋物線的焦點F作x軸的垂線交拋物線與、兩點，且。34頁作業(yè)9第十七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月變式2平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為( )(A)直線 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)橢圓變式3點M與點F(2，0)的距離比它到直線l:x+4=0的距離小2, 求點M的軌跡方程?例5平面上到定點和到定

9、直線距離相等的點的軌跡為( )(A)直線 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)橢圓變式1平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為( )(A)直線 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)橢圓OyxFM35頁作業(yè)11第十八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第 2 課 時第十九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月準線方程焦點坐標標準方程焦點位置 圖 形不同位置的拋物線 x軸的正方向 x軸的負方向 y軸的正方向 y軸的負方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-yxoyxoyxoyxo第二十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月OyxFMyxoFMyxoFMyxoFM

10、x0 ( )2p拋物線的焦半徑公式第二十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例1拋物線的焦點在x 軸上，拋物線上的橫坐標為-3的點M到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程.y2=-8x變式：拋物線的焦點在x 軸上，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程，并求m的值.OyxFM x0 2p變式：在拋物線y2=-8x上，到焦點的距離等于5的點的坐標.35頁作業(yè)10第二十二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月36頁作業(yè)8(改)35頁作業(yè)5（改）第二十四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月37頁作業(yè)7（改）

11、練習(xí)第二十五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月后備練習(xí).已知拋物線x2=4y的焦點F和點A(-1，8)，P為拋物線上一點，則|PA|+|PF|的最小值是( )(A)16 (B)6 (C)12 (D)9D第二十六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第 3課時第二十七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離:2、相切:3、相交:（一個交點，兩個交點）（一個交點）（沒有交點）第二十八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(0,1)第二十九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月判斷直線是否與拋物線的對稱軸平行不平行直線與拋物線相交(一個交點

12、)平行 計 算 判 別 式0=00)的焦點的直線交拋物線于A,B兩點則|AB|=問題（3）能否把例（2）推廣到一般性的命題呢？ 斜率為k的直線經(jīng)過拋物線 (p0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為 x1+x2+p|AB|= 即:( )y=2px 消 y 得: 由第四十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月斜率為k的直線經(jīng)過拋物線 (p0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解： 設(shè)直線AB的方程 為 ( ) y=2px 消 y 得: 即: |AB|= 由此可得, 即通徑. 問題(4):把上題中的斜率k換成直線的傾斜

13、角 呢?(0 0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解： 設(shè)直線AB的方程 為 ( ) y=2px 消 y 得: 即: 命題:如果過拋物線 (p0)的焦點的一條直線和 此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=p2/4, y1y2= -p2第四十四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第5課時第四十五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月xy問題(6):過拋物線 (p0) 焦點的一條直線與它相交于A,B兩點,經(jīng)過A和拋物線頂點的直線交準線于點C (2001高考題作業(yè)本頁第題)設(shè)拋物線 (p0)的焦點F, 經(jīng)過F 的直線交拋物線A,B兩點,

14、點C在拋物線的準線上,且BCx軸,證明:AC經(jīng)過原點O. 那么BC與拋物線的對稱軸有什么關(guān)系呢?(證KOC=KOA)BC平行于對稱軸.( 的結(jié)論略證) 當(dāng) 時 (x2,y2)(x1,y1)則直線OA的方程證明:設(shè)A ( ),B( ),C ( )第四十六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月問題(6): 有什么幾何意義呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以AB為 直徑的圓切AB 于F點. AQA與AQF全等第四十七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月問題(6): 有什么幾何意義呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以為直

15、 徑的圓切AB 于F點. P(3)以P為圓心以AB為直徑的圓切AB于Q點 QP=1/2(AA+BB)AA+BB=AF+BF=ABQP=1/2ABMN第四十八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月問題(6): 有什么幾何意義呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以為直 徑的圓切AB 于F點. (3) AQBQ P(4)以P為圓心以AB為 直徑的圓切于Q點 第四十九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月問題(7):Cyxo第五十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 y2 = 8x練習(xí):1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是_.2.過拋物線 的焦點,作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為_3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直線AB的方程.X=3第五十二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2