彎曲應力課件

1、5.1 彎曲正應力及強度條件 在CD段內(nèi)的彎矩M=Fa為常數(shù)，而剪力FS等于零。 5.1.1 純彎曲與平面假設 一、純彎曲 梁橫截面上只有彎矩，沒有剪力的情況稱為純彎曲。 5.1 彎曲正應力及強度條件二、平面假設 在梁的側面畫一些橫向線和縱向線 (1) 變形前的橫向線在變形后仍為直線，在轉過一定角度后仍與變形后的梁軸線垂直。(2) 變形前的縱向線在變形后成為圓弧線，且上部的縱向線縮短，下部的縱向線伸長。 觀察到如下現(xiàn)象：5.1 彎曲正應力及強度條件兩個假設1、平面假設2、單向受力假設 梁的橫截面在彎曲后仍保持為平面，且與變形后的梁軸線垂直。 梁的縱向纖維處于單向受力狀態(tài)，各纖維之間沒有相互作用

2、。 5.1 彎曲正應力及強度條件二、中性層 中性軸 由梁變形的連續(xù)性，其間必存在一長度不變的過渡層，稱為中性層。 中性層與橫截面的交線稱為中性軸。 中性層把梁沿高度分成受壓區(qū)和受拉區(qū)。 1、中性層2、中性軸5.1 彎曲正應力及強度條件 表示微段中性層O1O2的曲率半徑 梁中任一縱向纖維的線應變與其到中性層的距離成正比。 距中性層為y處的縱向纖維伸長量為 1變形幾何關系 縱向線應變?yōu)?5.1.2 正應力公式的推導 5.1 彎曲正應力及強度條件在彈性范圍內(nèi) 梁橫截面上各點的正應力與其到中性軸的距離成正比 2物理關系 5.1 彎曲正應力及強度條件純彎曲代入 3靜力關系 梁橫截面對中性軸(z軸)的面積

3、矩等于零。中性軸通過橫截面的形心。 (1) FN 5.1 彎曲正應力及強度條件代入 y軸為橫截面的對稱軸 自動滿足。 (2) My (3) Mz 是梁橫截面對中性軸的慣性矩。 EIz反映了梁抵抗彎曲變形的能力，稱為梁的抗彎剛度。 5.1 彎曲正應力及強度條件代入 說明：(1)純彎曲正應力公式。 梁在純彎曲時橫截面上任一點的正應力計算公式。 (2)當梁的跨度與橫截面高度的比值較大時(如l / h 5)，純彎曲正應力公式對橫力彎曲仍然適用。 5.1 彎曲正應力及強度條件例51 圖5-5所示長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端受一集中力F=5kN作用。已知h=180 mm，b=120 mm，y=60 m

4、m，a=2m。求截面C上K點處的正應力。 解 截面C上的彎矩 截面對中性軸的慣性矩 5.1 彎曲正應力及強度條件(1)寬為b、高為h的矩形截面 式中 稱作抗彎截面系數(shù) 等截面梁來講，最大正應力 5.1.3 梁的正應力強度條件 (2)直徑為d的圓形截面 5.1 彎曲正應力及強度條件(1)抗拉和抗壓強度相等的材料(如碳鋼)，只要絕對值最大的正應力不超過許用應力即可。 梁的正應力強度條件 (2)抗拉和抗壓強度不等的材料(如鑄鐵)，則要求最大拉應力和最大壓應力分別不超過許用拉應力t和許用壓應力c 5.1 彎曲正應力及強度條件例52 圖5-6a所示一箱形截面簡支梁，跨長l=8m，材料的許用應力=120M

5、Pa，試確定許可載荷集度q。 解 畫彎矩圖 對中性軸z的慣性矩為抗彎截面系數(shù) 梁所能承受的最大彎矩為 許可載荷集度 5.1 彎曲正應力及強度條件例53 一T形截面鑄鐵梁受力如圖5-7a所示。已知F1=10 kN，F(xiàn)2=4 kN，材料的許用拉應力t=35 MPa，許用壓應力c=90 MPa，截面對中性軸的慣性矩Iz=7.6310-6 m4，中性軸到上、下邊緣的距離分別為y1=52 mm，y2=88 mm。試校核梁的強度。 解 (1) 畫彎矩圖 在截面D和截面B上分別有最大正彎矩和最大負彎矩 MD = 3 kNm MB = -4 kNm5.1 彎曲正應力及強度條件(2) 校核強度 校核最大拉應力

6、截面B上，最大拉應力發(fā)生在截面的上邊緣 截面D上，最大拉應力發(fā)生在截面的下邊緣 5.1 彎曲正應力及強度條件校核最大壓應力 最大壓應力發(fā)生在截面B的下邊緣 梁滿足正應力強度要求 。5.1 彎曲正應力及強度條件例54 圖5-8a所示的簡支梁由兩根槽鋼焊接而成，梁上所受載荷如圖所示。材料的許用應力=160MPa，試選擇槽鋼的型號。 解 畫剪力圖和彎矩圖 單根槽鋼所需的抗彎截面系數(shù) 由附錄C型鋼規(guī)格表查得No.22a槽鋼的Wz為218 cm3，可滿足正應力強度要求。 5.2 梁的切應力及強度條件 兩端面上內(nèi)力5.2.1 矩形截面梁的切應力 矩形截面梁中截取微段dx端面上的應力分布平衡條件 切應力互等

7、定理 其中求橫截面上距中性軸為y處各點的切應力 將微段截開，并研究下部隔離體 5.2 梁的切應力及強度條件 = 是面積A1對中性軸的面積矩。 整理得 代入 其中類似地 認為切應力均勻分布 5.2 梁的切應力及強度條件矩形截面梁橫截面上任一點的切應力計算公式。 矩形截面梁橫截面上的切應力沿梁高度按二次拋物線規(guī)律分布。(1) 截面上、下邊緣，切應力等于零; 矩形截面梁橫截面上的切應力 5.2 梁的切應力及強度條件(2) 在中性軸上(y=0)，切應力有最大值。最大切應力是平均切應力的1.5倍。 5.2 梁的切應力及強度條件例55 一矩形截面簡支梁如圖5-12所示。已知a =3m，h=160 mm，b

8、=100 mm，y= 50 mm，F(xiàn)=18 kN。求m m截面上K點處的切應力。 解 m m截面上的剪力為18 kN 截面對中性軸的慣性矩 K點處的切應力為 (1)切應力沿腹板高度仍按拋物線規(guī)律分布 一、腹板5.2 梁的切應力及強度條件(2)最大切應力max發(fā)生在中性軸上 5.2.2 工字形截面梁的切應力 (3)最小剪應力發(fā)生在翼緣與腹板的連接處 二、翼緣 腹板上的切應力是均勻分布 5.2 梁的切應力及強度條件認為切應力沿翼緣厚度均勻分布 (1) Sz*為欲求應力點到翼緣端部間的面積對中性軸的靜矩 (2)翼緣上水平切應力的大小呈線性變化 (3)對薄壁桿件，其橫截面上彎曲切應力形成切應力流。 假

9、設 （AB弦上各點）截面邊緣上各點的切應力與圓周相切 5.2 梁的切應力及強度條件(1) 切應力的作用線都通過P點 5.2.3 圓形截面梁的切應力 (2) 切應力的垂直分量y相等在中性軸上最大切應力是平均切應力的倍1)切應力取最大值max2)各點沿鉛垂方向的切應力y為該點的總切應力二、切應力強度條件 一、最大切應力5.2 梁的切應力及強度條件(1)梁的強度由正應力強度條件控制。 5.2.4 梁的切應力強度條件(2)梁截面設計時，根據(jù)正應力強度條件設計截面，再對切應力強度條件進行校核。 等截面梁來說，最大切應力發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上 5.2 梁的切應力及強度條件梁的切應力強度條件起控制

10、作用的情況梁中彎矩較小而剪力很大。 1) 梁的跨度較短 2)支座附近有較大的集中載荷 5.2 梁的切應力及強度條件例56圖5-15a所示為起重設備簡圖。已知起重量(包含電葫蘆自重)F=30 kN，跨長l=5m。梁AB由No.20a工字鋼制成，許用應力 =170MPa，=100MPa。試校核梁的強度。 解1. 計算最大正應力載荷置于梁的跨中處 彎矩圖 2. 計算最大切應力載荷靠近支座處 剪力圖 5.2 梁的切應力及強度條件(1) 正應力強度校核 型鋼表查得No.20a工字鋼 (2) 切應力強度校核 查得 梁的正應力和切應力強度條件均能滿足，梁是安全的。 5.3 提高梁強度的措施 5.3.1 減小

11、最大彎矩 (1) 分散載荷(2)合理地安排支座位置 5.3 提高梁強度的措施5.3 提高梁強度的措施5.3.2 選用合理截面 (1)矩形截面和正方形截面 抗彎截面系數(shù)的比值 a)當 時，由hb=a2可知 , 從而有 ，說明矩形截面比同樣面積的正方形截面合理。 b)當 時，由于hab ，可得 ，說明矩形截面不如同樣面積的正方形截面合理。 (2) 正方形截面比同樣面積的圓形截面合理。 一、常見截面比較 5.3 提高梁強度的措施二、選擇合理截面(1) 盡可能使大部分面積布置在距中性軸較遠的地方。 (2) 最大拉應力和最大壓應力同時達到各自的許用應力。 a) 塑性材料，采用對稱于中性軸的截面。 b) 脆性材料，使中性軸偏于截面受拉的一邊。 5.3 提高梁強度的措施5.3.3 等強度梁 2. 變截面梁，要求其所有截面上的最大正應力同時達到材料的許用應力得 截面按上式變化的梁稱為等強度梁。 一、等強度梁 1. 等截面梁，