高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件：曲線與方程及圓錐曲線的綜合應(yīng)用

1、1.設(shè)k1，則關(guān)于x，y的方程（1-k）x2+y2=k2-1表示的曲線是（ ）y軸上的橢圓x軸上的橢圓y軸上的雙曲線x軸上的雙曲線 方程可化為所以k2-10，k+10， 所以方程表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線，選C.C因?yàn)閗1，2.在同一坐標(biāo)系中，方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(ab0)表示的曲線大致是（ ）D將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：因?yàn)閍b0，所以則有橢圓的焦點(diǎn)在y軸，拋物線的開口向左，選D.易錯(cuò)點(diǎn)：由方程研究曲線的性質(zhì)，須化為標(biāo)準(zhǔn)方程.3.平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3)，若點(diǎn)C滿足 (O為原點(diǎn))，其中1,2R，且1+2=

2、1，則點(diǎn)C的軌跡是（ ） 設(shè)C(x,y)，由已知得(x,y)=1(3,1)+2(-1,3)，x=31-2y=1+32，又1+2=1，消去1,2得x+2y=5，選AA.所以4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(-6,00和C(6,0)，頂點(diǎn)B在雙曲線 的左支上，則 =. 因?yàn)锳和C恰為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以由雙曲線方程及定義得：根據(jù)正弦定理知：填.5.P的斜坐標(biāo)定義為：若（其中e1,e2分別為斜坐標(biāo)系的x軸，y軸正方向上的單位向量，x,yR），則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（x,y）.在平面斜坐標(biāo)系xOy中，若xOy=60，已知點(diǎn)A的斜坐標(biāo)為（1,2），點(diǎn)B的斜坐標(biāo)為（3,1）,則線段AB的垂直平

3、分線在斜坐標(biāo)系中的方程是.x=2設(shè)P(x,y)為線段AB垂直平分線上的任一點(diǎn)，則有因?yàn)?=(1-x)e1+(2-y)e2， =(3-x)e1+(1-y)e2所以 =(1-x)2+(2-y)2+2(1-x)(2-y)，=(3-x)2+(1-y)2+2(3-x)(1-y)，由得xx=2. 易錯(cuò)點(diǎn)：處理新信息題應(yīng)認(rèn)真閱讀并理解好題意.(1)定義：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.：(2)

4、已知曲線求方程，已知方程畫曲線是解析幾何的核心內(nèi)容.已知曲線求方程實(shí)質(zhì)就是求軌跡方程，其方法主要有直接法，定義法，代入法等；已知方程畫曲線就是用代數(shù)的方法，研究方程性質(zhì)(x，y的取值范圍，對(duì)稱性等)，然后根據(jù)性質(zhì)及一些基本函數(shù)(方程)的圖象作出曲線.在解析幾何問(wèn)題中，有些與參數(shù)有關(guān)，這就構(gòu)成定值問(wèn)題.解決這類問(wèn)題常通過(guò)取出參數(shù)和特殊值來(lái)確定“定值”是多少，再將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式，證明該式是恒定的.以實(shí)際應(yīng)用為背景，圓錐曲線的有關(guān)知識(shí)為手段，解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用題，或以圓錐曲線為載體，構(gòu)建與其他數(shù)學(xué)分支相結(jié)合的問(wèn)題（如數(shù)列問(wèn)題）.重點(diǎn)突破：已知曲線求方程 ()已知A(0,7)

5、，B(0,-7) ，C(12,2)，則以C為一個(gè)焦點(diǎn)過(guò)A，B的橢圓，求該橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程.()設(shè)動(dòng)直線l垂直于x軸，且與橢圓x2+2y2=4交于A，B兩點(diǎn)，P是l上滿足=1的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程.()首先利用橢圓的定義可知 為常數(shù)，再利用雙曲線的定義即可求得軌跡方程.()設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用直接法求出P點(diǎn)的軌跡方程即可，注意x的取值范圍.()由題意又所以故F點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的下支，又c=7，a=1，所以b2=48，所以軌跡方程為 (y-1)，故填(y-1).()設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，則由方程x2+2y2=4，得 ，由于直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，故-

6、2x2，即A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x,)，B(x,-),則所以即x2+2y2=6，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+2y2=6(-2x0，所以化簡(jiǎn)可得點(diǎn)C的軌跡方程為：x2+4y2=4a2(x0). 重點(diǎn)突破：圓錐曲線中的定值問(wèn)題 已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：(ab0)的上、下焦點(diǎn),其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且()求橢圓C1的方程.()已知點(diǎn)P（1,3）和圓O：x2+y2=b2,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A,B,在線段AB上取一點(diǎn)Q,滿足： (0且1).求證：點(diǎn)Q總在某定直線上. ()求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用橢圓的定義，可求得橢圓方程；()

7、利用設(shè)而不求法，將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，可得證. ()由C2：x2=4y知F1(0,1),設(shè)M(x0,y0)(x0b0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM,kPN時(shí)，求證：kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值. 設(shè)點(diǎn)P(x,y)，若M的坐標(biāo)為(m,n)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n)，其中 由所以kPMkPN= 將代入上式得：kPMkPN= 為定值，得證. 重點(diǎn)突破：圓錐曲線中的存在性問(wèn)題 已知兩點(diǎn)M(2,0)，N(-2,0)，平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足()求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程.()如果直線x+my+4=0(mR)與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，那么在曲線C

8、上是否存在點(diǎn)D，使得ABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. ()利用直接法，可求得點(diǎn)P的軌跡方程.()聯(lián)立直線和曲線的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合假設(shè)存在，則有=0，可判斷成立與否. ()設(shè)點(diǎn)P(x,y)，由得 化簡(jiǎn)得y2=8x為點(diǎn)P的軌跡方程.()設(shè)直線x+my+4=0與曲線C交于點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)， x+my+4=0 y2=8x所以=64m2-4320，即m22,則y1+y2=-8m，y1y2=32，且若存在點(diǎn)D滿足條件，可設(shè)D（,t），因?yàn)锳BD是以AB為斜邊的直角三角形，所以由得：y2+8my+32=0，即 +(y1-t)(y2

9、-t)=0,因?yàn)閥1t，y2t，所以(y1+t)(y2+t)+64=0所以t2-8mt+96=0,所以=64m2-4960，所以m26,當(dāng)m或m-時(shí)，存在點(diǎn)D使得ABD是以AB為斜邊的直角三角形,又m22，所以當(dāng)- m- 或m 時(shí)，滿足條件的點(diǎn)D不存在. ，本題主要考查求曲線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，垂直問(wèn)題，以及推理能力和運(yùn)算能力，探究能力和向量法，以及“設(shè)而不求”，對(duì)于(1)根據(jù)題目給定條件直接可求得；對(duì)于(2)先假設(shè)存在，用“設(shè)而不求”研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造一元二次方程，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解題.已知定點(diǎn)A(a,0)(a0)，B為x軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作菱形

10、ABCD，使其兩對(duì)角線的交點(diǎn)恰好落在y軸上.()求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；()過(guò)點(diǎn)A作直線l與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)R(-a,0)，當(dāng)l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，證明PRQ是否可以為鈍角？請(qǐng)給出結(jié)論，并加以證明.()設(shè)D(x,y).因?yàn)锳（a,0），由ABCD為菱形，且AC、BD的交點(diǎn)在y軸上，所以B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-x,0)、(-a,y).由ACBD，得=(2x,y)(2a,-y)=4ax-y2=0，即y2=4ax.因?yàn)锳BCD為菱形，所以x0，故軌跡E的方程為y2=4ax(x0).()PRQ不可能為鈍角，即PRQ90.證明如下：當(dāng)PQx軸時(shí)，P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,2a)，又R(-a,0)，此時(shí)

11、PRQ=90，結(jié)論成立；當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-a)， y2=4ax y=k(x-a)，得k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0.由設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則x1+x2= =(x1+a)(x2+a)+y1y2=(x1+a)(x2+a)+k2(x1-a)(x2-a)=(1+k2)x1x2+(a-ak2)(x1+x2)+a2+a2k2=(1+k2)a2+(a-ak2)(2a+)+a2+a2k2=即為銳角.綜上知PRQ90成立.(2009山東卷)設(shè)mR,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌

12、跡為E.()求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀;()已知m=,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求該圓的方程;()已知m=,設(shè)直線l與圓C:x2+y2=R2 (1R0且m1時(shí),該方程表示橢圓;當(dāng)m0,即4k2-t2+10,即t24k2+1,且x1+x2=x1x2=所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2要使OAOB,需使x1x2+y1y2=0,即所以5t2-4k2-4=0,即5t2=4k2+4且t24k2+1,即4k2+420k2+5,恒成立.又因?yàn)橹本€y=kx+t為圓心

13、在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為故所求圓的方程為x2+y2=.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線的方程為它與交于點(diǎn)（）或（），也滿足OAOB.綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且()當(dāng)m=時(shí),軌跡E的方程為顯然，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=k1x+t1.因?yàn)橹本€l與圓C:x2+y2=R2(1R2)相切于故由()知即y=k1x+t1+y2=1A1,由,得x2+4(k1x+t1)2=4,即又因?yàn)橹本€l與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,故上述方程有唯一解.則即設(shè)點(diǎn)B1（x3,y3）.所以,由得因?yàn)辄c(diǎn)B1在橢圓上,所以所以在直角三角形OA1B1中

14、,|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)R=2時(shí)取等號(hào),所以|A1B1|25-4=1.即當(dāng)R=（1,2）時(shí),|A1B1|取得最大值,最大值為1. 本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過(guò)解方程組法研究有沒(méi)有交點(diǎn)問(wèn)題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題.1.已知曲線求方程的常用方法有：定義法，直接法，代入法等，解題的一般步驟是：建系；設(shè)點(diǎn)；列式；代入；化簡(jiǎn)；證明.以上方法稱為直接法，適合于求知道動(dòng)點(diǎn)符合的幾何條件，但不知道軌跡形狀的曲線方程；如果能夠判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，又知道曲線方程的形狀，則可用待定系數(shù)法求出曲線的方程；如果所求曲線上的點(diǎn)是已知曲線上的點(diǎn)的相

15、關(guān)動(dòng)點(diǎn)，那么它的方程可通過(guò)相關(guān)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，代入到已知曲線的方程中求得，此法稱為間接法（代入法）.2.解析幾何與向量的交匯要緊緊抓住點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)表示法，將問(wèn)題中的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再根據(jù)解析幾何中已有的知識(shí)與方法求解.3.圓錐曲線是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，在高考中除中檔題或壓軸題綜合考查它們與其他知識(shí)的交匯之外，三種曲線間的交匯在高考中也常常出現(xiàn).4.過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，定值問(wèn)題，存在性問(wèn)題（探究性問(wèn)題）等在綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題時(shí)要注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法，明確解題思路，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，常用“設(shè)而不求”“整體代換”等解題方法.1.（2009四川卷）已知直線l1:

16、4x-3y+6=0和直線l2:x=-1，拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（ ）C. D.A解法1：直線l2：x=-1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F（1,0）的距離，故本題化為在拋物線y2=4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F（1,0）和直線l2的距離之和最小，最小值為F（1,0）到直線l1:4x-3y+6=0的距離，即 故選擇A.解法2：如下圖，由題意可知本小題考查拋物線的定義、點(diǎn)到直線的距離，綜合題.2.（2009寧夏/海南卷）已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.()求橢圓C的方程；()若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)， ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線. ()設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a，c， a-c=1 a+c=7所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由已知得,解得a=4c=3.()設(shè)M(x,y)，其中x-4,4