210函數(shù)的凹凸性與拐點課件

1、2.10 函數(shù)的凸性與曲線的拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?一、函數(shù)凸性的定義第1頁，共34頁。1圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方下凸上凸第2頁，共34頁。2點間的弧段，總位于連接這兩點的弦之上，則稱設f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若曲線 y=f(x)上的任意兩點間的弧段，總是位于連接這兩點的弦之下，則稱函數(shù) f(x)在(a,b)內為下凸；若曲線 y=f(x)上任意兩函數(shù) f(x)在(a,b)內為上凸; 函數(shù)下凸或上凸的性質統(tǒng)稱為函數(shù)的凸性. 定義：第3頁，共34頁。3第4頁，共34頁。4第5頁，共34頁。5有時也用這兩個不等式來定義函數(shù)上凸、下凸.下凸上凸第6頁，

2、共34頁。6二、函數(shù)凸性的判定第7頁，共34頁。7例1解注意到:第8頁，共34頁。8三、曲線的拐點及其求法1.定義 設 f(x)在點x0附近連續(xù)，若 f(x)在點x0 的左右兩側凸性相反，則稱曲線上的點(x0, f(x0)為曲線 y=f(x)的拐點.注意:(1)拐點(x0, f(x0)在曲線上, 必滿足曲線方程；(2)拐點(x0, f(x0)是兩個坐標, 與 f(x)的極值點不同.拐點(x0, f(x0)第9頁，共34頁。92.拐點的求法數(shù),則點是拐點的必要條件是定理2 如果)(xf在內存在二階導第10頁，共34頁。10注意:第11頁，共34頁。11例2解第12頁，共34頁。12綜上所述可歸納

3、出求曲線 拐點的步驟：第13頁，共34頁。13例3解下凸上凸下凸拐點拐點第14頁，共34頁。14第15頁，共34頁。15例4解第16頁，共34頁。16第17頁，共34頁。17解 函數(shù)的定義域為（-，+）.下凸非拐點下凸拐點上凸y+不存在+0-0 x第18頁，共34頁。18xyo拐點第19頁，共34頁。19xyo拐點第20頁，共34頁。202-11 函 數(shù) 作 圖一、漸近線定義:.一條漸近線,的距離到某定直線如果點移向無窮遠點時LP)(,的就稱為曲線那么直線趨向于零xfyL=)(沿著曲線上的一動點當曲線Pxfy=1.鉛直漸近線第21頁，共34頁。21例如有鉛直漸近線兩條:第22頁，共34頁。22

4、2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:第23頁，共34頁。233.斜漸近線其中：記住公式第24頁，共34頁。24直線 y=a x+b是曲線 y=f(x)當x時的證 由函數(shù)的極限與無窮小的關系可得：同理可證x-時的情況.漸近線的充要條件是：第25頁，共34頁。25注意:例1解第26頁，共34頁。26第27頁，共34頁。27二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形的步驟：域內的全部實根，用這些根同函數(shù)的間斷點或導數(shù)不存在的點把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間.偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態(tài)的討論,確定函數(shù))(xfy=的定義域,對函數(shù)進行奇1.和二階導數(shù)求出函數(shù)的一階導數(shù) 求出方程在函數(shù)定義2.第28頁，共34頁。28號，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的曲線上的點，有時還需要補充一些點，再綜凸性與拐點（可列表進行討論）； 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線4.合前四步討論的結果畫出函數(shù)的圖形. 3.確定在這些部分區(qū)間內的符5.以及其他變化趨勢;描出與方程的根對應的第29頁，共34頁。29三、作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.第30頁，共34頁。30不存在拐點極值點間斷點(4) 漸近線第31頁，共34頁。31（5