高思導(dǎo)引六年級(jí)第12講計(jì)數(shù)綜合三

1、第12講計(jì)數(shù)綜合三內(nèi)容概述建立遞推的思想，將問題的復(fù)雜情形與簡(jiǎn)單情形聯(lián)系起來； 學(xué)會(huì)現(xiàn)察和發(fā)現(xiàn) 遞推關(guān)系；利用樹形圖、列表等方法處理某些遞推關(guān)系.另外，綜合運(yùn)用各種方 法處理與數(shù)字相關(guān)的復(fù)雜計(jì)數(shù)問題.興趣篇.一個(gè)樓梯共有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁一級(jí)臺(tái)階或二級(jí)臺(tái)階. 走完這 10級(jí)臺(tái)階，一共可以有多少種不同的走法？答案：89種。解析：將臺(tái)階數(shù)和走臺(tái)階的方法數(shù)列成一張表格，如下所示:白階數(shù)!231567,8910走法數(shù)La35皂13對(duì)345S89走1、2級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)可以枚舉得到.走 3級(jí)臺(tái)方法數(shù)可以分兩類得到：如果第一步走1級(jí)臺(tái)階，那么參考數(shù)表可得，剩下2級(jí)有2種走法；如果第一步走2級(jí)臺(tái)階，同

2、樣參考數(shù)表可得，剩下 1級(jí)有1種走法；因此3級(jí)合階的走法總數(shù)為1+2=3,如上表箭頭所示.以此類推便可填滿整張表格.卡莉婭買了 10塊巧克力，她每天最少吃一塊，最多吃 3塊，直到吃完，共 有多少種吃法？答案：274種 解析：將巧克力的數(shù)量與吃法數(shù)列成一張表格，如下所示:巧克力數(shù)1234S57810危法數(shù)12713Z44481149274吃1、2、3塊巧克力的方法數(shù)可以枚舉得到，吃 4塊巧克力的方法數(shù)可以分三類得到：如果第一天吃1塊，那么參考數(shù)表可得，剩下 3塊有4種吃法；如果第一天吃2塊，同樣參考數(shù)表可得，剩下 2塊有2種吃法；如果第一天吃3塊，那么剩下1塊還有1種吃法，因此4塊巧克力的口乞法

3、總數(shù)為1+2+4=7 ,如 上表箭頭所示.以此類推便可填滿整張表格.用1X2的小方格覆蓋7X2的長(zhǎng)方形，共有多少種不同的覆蓋方法?答案：21種 解析：找到左上角的方格，按照該方格是橫著覆蓋還是豎著覆蓋分兩類討論即可得遞推規(guī)則，從而得到如下所示的一張表格.方格表大小1X22X23X24X25X26X27X2覆蓋方法數(shù)I23581321.如果在一個(gè)平面上畫出4條直線，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？如果畫 20 條線，最多可以分成幾個(gè)部分？答案：11個(gè)；211個(gè) 解析：由于新增直線被分為幾部分，區(qū)域數(shù)量自然也就增加幾部分，所以可以將情況寫為如下的一張數(shù)表:直線數(shù)量123456平面被分成 的區(qū)域數(shù)241

4、622-Z11+ 3 - 3 +4 + 5 +6+20所以20條直線的時(shí)候最多把平面分成 2+2+3+4+ +20=211個(gè)部分.甲、乙、丙三名同學(xué)練習(xí)傳球，每人都可以把球傳給另外兩個(gè)人中的任意一個(gè).先由甲發(fā)球，經(jīng)過6次傳球后球仍然回到了甲的手中， 請(qǐng)問：整個(gè)傳球過程共有多少種不同的可能？答案：22種解析：采用“傳球法：甲拿球，所以最開始甲標(biāo)1,乙、丙都標(biāo)o,接著甲必須由乙、丙傳球給他，所以他下方的數(shù)也必須由乙、兩累加給他；其余兩人同理一一 這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則，依據(jù)這一累加規(guī)則，我們不停地將數(shù)表向下累加,每傳一次球就多累加一行，最后得到第“ 6”行.這一行的三個(gè)數(shù)分別為22、21和 2

5、1.他們分別表示6次傳球后，由甲、乙、內(nèi)拿球的傳球方法數(shù).由于題目要求最后球回到甲手中，因此答案為 22種.甲石丙0i00J0122113233465551011116222121如圖121,用紅、黃、藍(lán)三種顏色給一個(gè)五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)染色，同一條 邊的兩端點(diǎn)不能同色，且頂點(diǎn)A必須染紅色，請(qǐng)問：有多少種不同的染色方式?圖 121答案：10種 解析：采用“傳球法;染紅色，所以在紅色的下方標(biāo)1,黃色和藍(lán)色下方標(biāo)0. B不能再染紅色，所以紅色下面的標(biāo) O,黃色和藍(lán)色下方標(biāo)1 .后面的C、D、E按照傳球規(guī)則進(jìn)行累加，注意到 E不能染紅色，所以有5+5=10種染法.紅黃藍(lán)A100R011C211D233E

6、655一個(gè)三位數(shù)，有相鄰兩個(gè)數(shù)字的和為 16,那么這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)?答案：54個(gè)解析：首先要審清題，題目中說“有相鄰兩個(gè)數(shù)字的和為16；并不是說所有相鄰 兩個(gè)數(shù)字之和都是16.相鄰兩個(gè)數(shù)字之和為16有三種可能：79, 97或88.(1)若百位和十位的數(shù)字之和為16,個(gè)位可以填O9,共3X10 30種填法.若十位和個(gè)位的數(shù)字之和為16,百位可以填19,共3X927種填法，兩 種情況共計(jì)57種填法，考慮到797、979和888被算了兩次，因此這樣的三位 數(shù)有57-3=54個(gè).一個(gè)各位數(shù)字互不相等的五位數(shù)不含數(shù)字 0,且數(shù)字和為18,這樣的五位數(shù) 共有多少個(gè)？答案：360個(gè)解析：滿足條件的情況

7、只有以下三種：1+2+4+5+6=18,1+2+3+4+8=18, 1+2+3+5+7=18 ,共計(jì) A5 M=360 個(gè).一個(gè)十位數(shù)只含有數(shù)字1或2,且不含兩個(gè)連續(xù)的數(shù)字1, 一共有多少個(gè)這 樣的十位數(shù)？答案：144個(gè)解析：十位數(shù)中不含有1,有1種，十位數(shù)中含有一個(gè)1,有C；0=10種.十位 數(shù)中含有兩個(gè)l,有C2 = 36種.十位數(shù)中含有三個(gè)l,有C8= 56種.十位數(shù)中含 有四個(gè)1,有C7=35種.十位數(shù)中含有五個(gè)1,有C5=6種.共計(jì)144種，一個(gè)六位數(shù)由1、2、3、4、5組成，而且任意相鄰兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之差都是 1,這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？答案：72個(gè)解析：采用“傳球法；十萬(wàn)位可以填1

8、、2、3、4、5,因此在下方分別填1.要 求任意相鄰兩個(gè)數(shù)位之差都是1,因此萬(wàn)位1、2、3、4、5的下方分別填1、2、2、2、1.后面的數(shù)位同理，因此這峰的六位數(shù)共有 9+18+18+18+9=72個(gè),1234十萬(wàn)佗11111萬(wàn)位2221千位23432百位36甘63十位691296個(gè)位91ft1E1S9拓展篇1 .老師給小高布置了 12篇作文，規(guī)定他每天至少寫1篇.如果小高每天最多能 寫3篇，那么共有多少種寫完作文的方法？答案：927種解析：將作文數(shù)量與完成作文的方法數(shù)列成一張表格，如下所示：作文數(shù)1234567891012完成方 法數(shù)12471324448】U327J504927下面解釋一下

9、這張數(shù)表是如何累加得到的，寫 1、2、3篇作文的方法數(shù)可以枚舉得到.寫4篇作文的完成方法數(shù)可以分三類去數(shù)：如果第一天寫 1篇，那 么 參考數(shù)表可得，剩下3篇有4種完成方法；如果第一天寫2篇，同樣參考數(shù)表 可得，剩下2篇有2種完成方法；如果第一天寫3篇，那么剩下1篇還有1種 完成方法，因此4篇作文的完成方法總數(shù)為1+2+4=7,如上表箭頭所示.接著 分析5篇作文的完成方法數(shù)，仍然分三類：第一天寫 1篇，那么參考數(shù)表可得， 剩下4篇還有7種完成方法；第一天寫2篇.那么剩下3篇還有4種完成方法: 第一天寫3篇，那么剩下2篇還有2種完成方法，因此5篇作文的完成方法數(shù) 等于2+4+7=13以此類推便可填

10、滿整張表格.2.用10個(gè)1 X 3的長(zhǎng)方形紙片覆蓋一個(gè)10X3的方格表.共有多少種覆蓋方法?2.答案：28種解析：我們可以列出一個(gè)遞推數(shù)表，將其表示如下:方格表大小1X32X3 13X34X35X3覆蓋方法包11234方格表大個(gè)6X37X38X39X310X3覆蓋方法數(shù)6913192S下面詳細(xì)說明該問題的遞推規(guī)律.覆蓋 1刈、2X3和3M方格表的方法數(shù)可以枚舉得到.接著分析覆蓋4毛的表格有幾種覆蓋方法，如下匿所示，左上角的陰影方格在覆蓋的時(shí)候有兩種方法： 豎著覆蓋或橫著覆蓋.當(dāng)豎著覆蓋時(shí)，余 下部分恰好是一個(gè)3毛的方格表，覆蓋方法數(shù)為2;當(dāng)橫著覆蓋時(shí)，具下方的方 格只能被橫放的紙片蓋住，因此只

11、剩下一個(gè) 1毛的方格表需要覆蓋，方法數(shù)為1 .由此可得4X3的表格的覆蓋方法數(shù)為2+1=3 .用同樣的方法分析5 M的方格表，可得其覆蓋方法數(shù)等于4M的方法數(shù)加上2 M的方法數(shù)，因此等于3+1=4 .接著以此類推即可,余下部分恰好是一個(gè)3X3的方格表，覆蓋方法數(shù)為2陰影方格下方的格子只能用橫放的紙片蓋住，因此只剩下1 M的方格表需要覆蓋，方法數(shù)為1 .3,現(xiàn)有14塊糖，如果墨莫每天吃奇數(shù)塊糖，直到吃完，那么墨莫共有多少種吃 法？答案：377種解析：采用遞推計(jì)數(shù)法，從簡(jiǎn)單情況出發(fā)尋找規(guī)律。當(dāng)有1塊糖時(shí)，墨莫有1種吃法。當(dāng)有2塊糖時(shí)，墨莫有1種吃法。當(dāng)有3塊糖時(shí)，墨莫有2種吃法。當(dāng)有4塊糖時(shí)，墨莫

12、有3種吃法。當(dāng)有5塊糖時(shí)，墨莫有5種吃法。當(dāng)有6塊 糖時(shí)，墨莫有8種吃法如下表所示，很奇妙的是方法數(shù)恰好為斐波那契數(shù)列。糖數(shù)123方法數(shù)112桶數(shù)Eg1.0方法數(shù)213455| 4567；3581(1112131489144233377.平面上有六條直線，這六條直線把平面分成了 16個(gè)區(qū)域.現(xiàn)在往該平面上添 加第七條直線，請(qǐng)問：添加該直線后，平面上最多會(huì)增加多少個(gè)區(qū)域？答案：7個(gè)解析：第七條直線與前六條直線最多有 6個(gè)交點(diǎn)，把第七條直線分成7個(gè)部分,每一部分都會(huì)位于一個(gè)原有的區(qū)域中，因此每一部分就會(huì)把原有的某個(gè)區(qū)域一分為二，所以最多會(huì)增加7個(gè)區(qū)域.如果在一個(gè)平面上畫出8條直線，最多可以把平面分

13、成幾個(gè)部分？如果畫 8個(gè)圓，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？答案：37個(gè)58個(gè)解析：根據(jù)上面第4題的解答可知：新增直線被分為幾部分，區(qū)域數(shù)量自然也就8個(gè)圓也是同樣的道理:.四個(gè)人分別穿著紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色的球衣練習(xí)傳球，每人都可以把球 傳給另外三個(gè)人中的任意一個(gè).先由紅衣人發(fā)球，并作為第1次傳球，經(jīng)過8次傳球后球仍然回到紅衣人手中.請(qǐng)問：整個(gè)傳球過程共有多少種不同的可能？ 答案：1641種解析：本題的方法稱為“傳球法”.傳球法在很多問題中有著廣泛的應(yīng)用.如下表 格所示，除了第“O”行外，其余每一行的數(shù)量都是由上一行的數(shù)量通過某種規(guī)則 累加得到的.比如第“1”行紅下方的O,就是通過第O”行黃、綠

14、、藍(lán)的數(shù)量相加 得到的；第3”行黃下方的7,就是通過第2”行紅、綠、藍(lán)的數(shù)量相加得到的； 第4”行綠下方的20,就是通過第3”行紅、黃、藍(lán)的數(shù)量相加得到的；第6”行藍(lán) 下方的182,就是通過第5”行紅、黃、綠的數(shù)量相加得到的.之所以有這樣的 累加規(guī)則，就是因?yàn)榧t想拿球，必須由黃、綠、藍(lán)傳球給他，所以他下方的數(shù)也 必須由黃、綠、藍(lán)累加給他 一這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則. 依據(jù)這一累加規(guī) 則，我們不停地將數(shù)表向下累加，每傳一次球就多累加一行，最后得到第8”行這 一行的四個(gè)數(shù)分別為1641、1640、1640和1640.他們分別表示8次傳球后，由 紅、黃、綠、藍(lán)拿球的傳球方法數(shù).由于題目要求最后球回

15、到紅手中，因此答案 為1641種.紅黃綠*010000112322236777421202020560記61G16183182臊廊7546647547547816411&401640.如圖12 -2所示，一個(gè)圓環(huán)被分成8部分，現(xiàn)將每一部分染上紅、黃、藍(lán)三 種顏色之一，要求相鄰兩部分顏色不同，共有多少種染色方法？圖 12-2答案：258種 解析：采用“傳球法；將圓環(huán)分別編號(hào)為A、B、C、D、E、F、G、H,設(shè)A染紅色，如下表所示，由于H不能再染紅色，所以共有43+4386種染法，由對(duì)稱性可知，共有86=258種染法紅黃藍(lán)An00BC1JC211D233E655F101111G222121H424

16、343.圓周上有10個(gè)點(diǎn)Ai, A,，A0,以這些點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)5條線段，要求任兩 條線段之間都沒有公共點(diǎn)，共有多少種連結(jié)方式？答案：42種 解析：我們依照連續(xù)偶數(shù)的次序進(jìn)行遞推累加.（1）圓周上有2個(gè)點(diǎn)，只有1種連法.（2）圓周上有4個(gè)點(diǎn)，只有2種連法.（3）圓周上有6個(gè)點(diǎn)Ai、A2、A3、A4、A5、A6 （如圖1）,那么與Ai相連的點(diǎn)只能是A2、A4或A6.依次分三類情況討論：第一，Ai連結(jié)A2,剩下4個(gè)點(diǎn)連法數(shù)為2;第二，Ai連2A4,剩下4 個(gè)點(diǎn)連法數(shù)為i;第三，Ai連結(jié)A6,剩下4個(gè)點(diǎn)連法數(shù)也為2.由此可得，6個(gè) 點(diǎn)共有5種不同的連法.（4）如果圓周上有8個(gè)點(diǎn)Ai、A2、A3、A4、

17、A5、A6、N、A8 （如圖2）,那么與Ai相連的點(diǎn)有四種可能，分別是 A2、A4、A6或A8.以此14種方法.分四類討論，共1種方法.圖1述莉4個(gè)點(diǎn).2種方法一還剩4個(gè)點(diǎn), 2種方法，15種方法述史16個(gè)巨，共5種方擊圖2充都個(gè)點(diǎn).共5裨/池，列和*2個(gè)虬 方法數(shù)為2* I剌余4十小禹書樂教力”匚（5）如果圓周上有io個(gè)點(diǎn)，同樣考慮能與Ai相連的點(diǎn)，分五類討論，如圖3所示。共43種方法。剩余*個(gè)，虬剩Q+6個(gè)點(diǎn)， 剌余44 4個(gè)點(diǎn),共14種方法. 共1x5種方法， 共2x2種方法.剩余2 %。點(diǎn)，釉觸個(gè)點(diǎn).集I3種方法.并】4種方法.圖3.由1、3、4組成的各位數(shù)字之和為9的多位數(shù)共有多少個(gè)

18、？答案：40個(gè)解析：數(shù)字和為9有如下幾種情況：多位數(shù)中含有兩個(gè) 4和一個(gè)1,這樣的數(shù)有 3個(gè).含有一個(gè)4、一個(gè)3和兩個(gè)1,這樣的數(shù)有12個(gè)，含有一個(gè)4和五個(gè)1, 這樣的數(shù)有6個(gè).含有一個(gè)3和六個(gè)1 ,這樣的數(shù)有7個(gè).含有兩個(gè)3和三個(gè)1 , 這樣的數(shù)有10個(gè)，含有三個(gè)3,這樣的數(shù)有1個(gè).含有九個(gè)1,這樣的數(shù)有1 個(gè)，共有 3+12+6+7+10+1+1=40 個(gè).在有些多位數(shù)的各位數(shù)字中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多，例如1370、36712 等，請(qǐng)問：在1至10000中有多少個(gè)這樣的多位數(shù)？答案：3505個(gè)解析：這樣的一位數(shù)為：1、3、5、7、9,有5個(gè)，滿足條件的兩位數(shù)，十位和個(gè)位都是奇數(shù)，有5

19、 5=25個(gè).滿足條件的三位數(shù)：有兩個(gè)數(shù)位為奇數(shù)或三個(gè)數(shù) 位都是奇數(shù).有兩個(gè)數(shù)位是奇數(shù)的數(shù)有：5X5Xc3vC；-1=350個(gè)。減1是考慮 到首位為0的情況.三個(gè)數(shù)位都是奇數(shù)的數(shù)有：5X5X5=125個(gè).滿足條件的四 位數(shù)：有三個(gè)數(shù)是奇數(shù)或四個(gè)數(shù)都是奇數(shù).有三個(gè)數(shù)是奇數(shù)的有：5X55X C%C5- 1 ) =2375 個(gè).四個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的有：5 X5 X5 X5=625 個(gè).共有5+25+350+125+2375+625=3535 個(gè)。.有些自然數(shù)存在相鄰的兩位數(shù)字順次為 7和5,例如1975、75675等，但432579 不算在內(nèi).請(qǐng)問：具有這種性質(zhì)的六位數(shù)有多少個(gè)？答案：45 431個(gè)解析

20、：若75在首位，剩余4個(gè)數(shù)字有00009999共10000個(gè).若75在第2、 3兩位，則第一位不能為 O,有9 M0X0X0=9000個(gè).若75在第3、4兩位不 在首位，則首位不能為0.前兩位不為75,這樣前兩位有89種情況，共有89 X 10 M0=8900個(gè).若75在第4、5兩位，前三位不是75 口和口 75,這樣前三位 有900-9-10=881個(gè)，共有881 X10=8810個(gè)，若75在第5、6兩位，前四位不 是 75 口口、口 75 口和口口 75,其中 7575 多減了一次，共有 9000-100-90-90+1 = 8721個(gè)，則滿足條件的六位數(shù)共有 10000+9000+890

21、0+8810+8721=45431 個(gè).用1至9這9個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)， 滿足以下要求：每一 位上的數(shù)字要么大于它前面的所有數(shù)字， 要么小于它前面的所有數(shù)字.請(qǐng)問：這 樣的九位數(shù)共有多少個(gè)？答案：256個(gè)解析：采用遞推計(jì)數(shù)法，從簡(jiǎn)單情況出發(fā)尋找規(guī)律，當(dāng)有1個(gè)數(shù)字時(shí)，滿足條件的數(shù)有1個(gè)，當(dāng)有2個(gè)數(shù)字時(shí)，滿足條件的數(shù)有2個(gè).當(dāng)有3個(gè)數(shù)字時(shí)，滿足 條件的數(shù)有4個(gè).當(dāng)有4個(gè)數(shù)字時(shí)，滿足條件的數(shù)有8個(gè)如下表所示，很 奇妙的是滿足條件的個(gè)數(shù)恰好為等比數(shù)列，位數(shù)1234|6789 ,個(gè)數(shù)12483264128256.一個(gè)七位數(shù)，每一位都是1、2或者3,而且沒有連續(xù)的兩個(gè)1,這樣的七位 數(shù)一共

22、有多少個(gè)？ 答案：1224個(gè) 解析：我們把這個(gè)七位數(shù)看作是1、2、3三個(gè)人之間傳6次球的一個(gè)傳球順序， 具體的傳球規(guī)則是：1能傳球給2、3,但不能給自己；2、3都能傳球給1、2、 3.依據(jù)“傳球規(guī)則決定累加規(guī)則；我們可以列出如下表所示的一張遞推表格.表 格的第0”行是發(fā)球行，對(duì)立的是這個(gè)七位數(shù)的首位數(shù)字，由于1、2、3都能作 首位，因此第0”行寫的都是1.接著按照傳球規(guī)則累加即可，表格中第6”行（最 后一行）中的三個(gè)數(shù)分別表示第六次傳球后，球在 1、2、3手中的方法數(shù)，對(duì) 于七位數(shù)而言，就是表示分別以1、2、3結(jié)尾的符合題意的七位數(shù)有多少個(gè). 所 以最后答案應(yīng)該把它們?nèi)悠饋恚扔?328+4

23、48+448=1224 （個(gè)）.123011112332688316,2222444606051201641643284484a8.滿足下面性質(zhì)的四位數(shù)稱為“好數(shù)”：它的個(gè)位比十位大，十位比百位大， 百位比千位大，并且任意相鄰兩位數(shù)字的差都不超過3.例如1346、2579是好數(shù)，但1567就不是好數(shù)，請(qǐng)問：一共有多少個(gè)好數(shù)？答案：81個(gè)解析：采用傳球法，如下表所示：（1）千位可以填19. （2）按照題目條件，千位 填l時(shí)，百位可以填2,因此百位2下面為1 .千位填1、2時(shí)，百位可以填3, 因此百位3下面為2.千位填1、2和3時(shí)，百位可以填4,因此百位4下面為 3.千位填2、3和4時(shí)，百位可以填

24、5,因此百位5下面為3千位填6、? 和8時(shí)，百位可以填9,因此百位9下面為3. （3）百位填2時(shí)，十位可以填3,因此百位3下面為1-百位填2、3時(shí)，十位可以填4,因此十位4下面為3.百 位填2、3和4時(shí)，十位可以填5,因此十位5下面為6.百位填3、4和5時(shí),十位可以填6,因此十位6下面為8百位填6、7和8時(shí)，十位可以填9, 因此十位9下面為9. (4)個(gè)位同理，因此一共有1+4+10+17+23+26=81 個(gè)好數(shù).超越篇. 一個(gè)九位數(shù)，它只由數(shù)字1、2和3組成，而且它的任意連續(xù)兩位數(shù)都不等于 12、21、22或31,這樣的自然數(shù)有多少個(gè)？如果還要求數(shù)字 1、2和3每個(gè)數(shù)字 都至少出現(xiàn)一次，那

25、么這樣的九位數(shù)有多少個(gè)？答案：177個(gè)79個(gè) 解析：(1)用傳球法，由于不能含有12、21、22、31,因此1”不能傳給2： 2”不能傳給 代2 3”不能傳給1:列表如下：數(shù)位數(shù)碼“廣數(shù)碼”數(shù)碼“3”11Z-3313G11595151S61525712541814167心1S71的結(jié)果是1+67+109=177 個(gè)分別算出不含有數(shù)碼“17 27 3”時(shí)的數(shù)個(gè)數(shù)，從前面的177個(gè)數(shù)中去掉即可.先算不含有數(shù)字“1”的數(shù)，同樣用傳球法，列表如下:鼓位題因”敗母311121232343555g6g1371321821349皿55結(jié)果是34+55=89個(gè).再算不含有數(shù)字2”的數(shù)，列表如下:數(shù)位數(shù)碼數(shù)碼1

26、11212134145156L6717g1aLg結(jié)果是1+9=10個(gè).顯然不含有數(shù)字“3”且滿足題目要求的數(shù)是不存在的.而在算不含數(shù)字“1”和不含數(shù)字2“的數(shù)時(shí)，有一個(gè)333333重復(fù)計(jì)算了，因此 要去掉的數(shù)有89 +10-1=98 ;所以，數(shù)字1、2和3每個(gè)數(shù)字都至少出現(xiàn)一次的有177-98=79個(gè)，. (l)如果在一個(gè)平面上畫出8個(gè)三角形，最多可以把平面分成多少個(gè)部分？ (2)如果在一個(gè)平面上畫出3個(gè)四邊形、2個(gè)圓、1條直線，最多可以把平面分成 多少個(gè)部分？答案：(1) 170個(gè)(2) 86個(gè)解析：(1)1個(gè)三角形可以把平面分成2部分；畫第2個(gè)三角形時(shí)，它與前面的三角形最多有 6個(gè)交點(diǎn)，這

27、6個(gè)交點(diǎn)會(huì)把新畫的三角形分成6段，每一段都會(huì)使整個(gè)平面多分出一個(gè)部分，因此 2介三角形可以把平面分成2+6=8個(gè)部分；畫第3個(gè)三角形，它與前面的圖形有12個(gè)交點(diǎn)，同理可知，平面增加了 12 個(gè)部分，因此2個(gè)三角形可以把平面分成2+6+12=20個(gè)部分；第n個(gè)三角形與前面的圖形有6(n-1)個(gè)交點(diǎn)，平面增加了 6(n-1)個(gè)部分，綜上，挖個(gè)三角形最多把平面分成 2+6X1+6 X2+ - +6X 介1) -2+3n(n-1) 個(gè)部分，因此8個(gè)三角形最多可以把平面分成 2+3 8X(8 -1)=170個(gè)部分.(2)這類題目中，如果有直線，先畫直線不易錯(cuò).1條直線把平面分成2個(gè)部 分，再依次畫3個(gè)四

28、邊形和2個(gè)圓，每個(gè)圖形分別最多新增 2、2+8 =10、2+8+ 8=18、2+8+8+8=26、2+8+8+8+2=28個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)數(shù)與新增段數(shù)相同，每段可 以增加一個(gè)部分，所以一共有 2+2+10+18+26+28=86 個(gè)部分.如圖12 -3所示，陰影部分是一個(gè)圓環(huán)，4條直線最多可以把這個(gè)陰影分成 多少個(gè)部分？圖 12-314個(gè)解析：一條直線最多分陰影部分成2部分；第二條直線最多和圓環(huán)和前面一條直線有5個(gè)交點(diǎn)，那么形成4條線段，而且一定有一條在小圓內(nèi)部，圓環(huán)內(nèi)部多了 3條線段，多了 3部分，一共2+3=5部分；同理，第三條直線和圓環(huán)和前面兩條直線有 6個(gè)交點(diǎn)，那么形成5條線段, 圓環(huán)內(nèi)部

29、多了 4條線段，多了 4部分，一共5+4=9部分；第四條直線和圓環(huán)和前面三條直線有 7個(gè)交點(diǎn)，那么形成6條線段，圓環(huán) 內(nèi)部多了 5條線段，多了 5部分，一共9+5=14部分.用15個(gè)1X2的小紙片覆蓋圖12-4,共有多少種不同的覆蓋方法？困 12-415種解析：若只有3X2的方格表，顯然有3種填法；仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，高度每增加 1 層，方法數(shù)就增加2種；圖中比3X2的方格表增加了 6層，共有3+2X6=15種 覆蓋方法.對(duì)一個(gè)自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以 2,如果是奇數(shù)則加1,如此進(jìn) 行下去直到得數(shù)為1操作停止.問：經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個(gè)？34個(gè)解析：設(shè)經(jīng)過n次操作岳變?yōu)?的數(shù)有an

30、個(gè)；先看一下前面幾個(gè)尋找規(guī)律.a1=1 ,這個(gè)數(shù)是2；a2=1 ,這個(gè)數(shù)是4；a3=2,這2個(gè)數(shù)是3、8;再看a4 .即求有多少個(gè)數(shù)經(jīng)過一次操作后能變成 3或8;若這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則 它除以2之后是3或8,這個(gè)數(shù)可能是6或16,有2個(gè)；若這個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則 它加1后只能是偶數(shù)8,這個(gè)數(shù)是7,有1個(gè)；于是a4=2+1=3;接下來看a5, a5中的偶數(shù)除以2后正好對(duì)應(yīng)著a4所有的數(shù)，a5中的奇數(shù)加1后正好對(duì)應(yīng)a4中的偶數(shù)，而a4中的的偶數(shù)除以2后正好對(duì)應(yīng)著a3中所有的數(shù)， 因此a5中偶數(shù)有a4個(gè)，奇數(shù)有a3個(gè),所以a5=a4+a3=5；以此類推，有a6=a5+a4=8 , a7=a6+a5=13, a

31、8=a7+a6=21 , a9=a8+a7=34.如圖12-5所示，用4種不同的顏色將圖12-5中的圓圈分別涂色，要求有線 段連結(jié)的兩個(gè)相鄰的圓圈必須涂不同的顏色，共有多少種涂法？（不允許旋轉(zhuǎn)、2112 種解析：將十個(gè)圓圈分為三類，如下圖所示.染中間的圓圈，共有4種方式.染中間圓圈周圍的6個(gè)圓圈，以A為傳球起點(diǎn)，采用傳球法.此時(shí)還有 三種顏色可選，設(shè)為白、綠、黑.白嫌黑A100B01C311D233E55F1G111當(dāng)A為白色時(shí)，共有11+11=22種染色方式，所以這6個(gè)圓圈共有3X22=66 種染色方式最后染角上的3個(gè)圓圈，每個(gè)圓圈都右2種染法，所以共有23 =8種染法.綜上，染10個(gè)圓圈共

32、有4X66X8=2112種涂法.圓周上有15個(gè)點(diǎn)Ai,A，A如以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)連出5個(gè)三角形，要求任意兩 個(gè)三角形沒有公共點(diǎn)，共有多少種連結(jié)方式？273種解析：遞推計(jì)算.3個(gè)點(diǎn)時(shí)，有1種連結(jié)方式.6個(gè)點(diǎn)時(shí)，有3種連結(jié)方式.9個(gè)點(diǎn)時(shí)，考慮A1所在的三角形，可以是A1A2A3、A1A8A9、A1A9A2、A1A2A6、 A1A5A6、A1A5A6.前三種各3種連結(jié)方式，后三種各1種連結(jié)方式，共12種連 結(jié)方式.12個(gè)點(diǎn)時(shí)，假設(shè)A,所在的三角形是A1AmAn,并設(shè)三個(gè)點(diǎn)之間的點(diǎn)數(shù)分別 是3x、3y和3z.則3x+3y+3z=9 （如圖所示）.而xty+z=3有10組自然數(shù)解， 不計(jì)次序的話，1+1+1

33、有1組，0+1+2有6組，0+0+3有3組.如果A1、Am、An之間的點(diǎn)數(shù)是3、3、3,共1種連結(jié)方式；如果A1、Am、An之間的點(diǎn)數(shù)是0、3、6,共3種連結(jié)方式；如果A1、Am、An之間的點(diǎn)數(shù)是0、0、9,共12種連結(jié)方式.所以12個(gè)點(diǎn)時(shí)，共1X1+3X6+12=55種連結(jié)方式.15個(gè)點(diǎn)時(shí)，假設(shè)A1所在的三角形是A1AmAn,并設(shè)三個(gè)點(diǎn)之間的點(diǎn)數(shù)分別3x、3y和3z .則3x+3y+3z=12,而x+ y+z=4有15組自然數(shù)解，不計(jì)次序的話，1+1+2、0+2+2 翻 0+0+4 各有 3 組，0+1+3 有 6 組.如果Ai、Am、An之間的點(diǎn)數(shù)是3、3、6,共1 X1 M=3種連結(jié)方式；如果A1、Am、An之間的點(diǎn)數(shù)是0、6、6,共3=9種連結(jié)方式；如果A1、Am、An之間的點(diǎn)數(shù)是0、0、12,共55種連結(jié)方式；如果A1、Am、An之間的點(diǎn)數(shù)是0、3、9,共1X12=12種連結(jié)方式.所以15個(gè)點(diǎn)時(shí)，共3X3+9-1-55）+6 X12=273種連結(jié)方式.有一年級(jí)到六年級(jí)的同學(xué)各一人，排成一列領(lǐng)取糖果.如果