高考數(shù)學百大經(jīng)典例題-棱柱

1、典型例題一棱柱例1設有四個命題：底面是矩形的平行六面體是長方體；棱長都相等的直四棱柱是正方體；有兩條側棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；對角線相等的平行六面體是直平行六面體.其中真命題的個數(shù)是（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4分析：命題是假命題.因為底面是矩形的直平行六面體才是長方體.底面是矩形,側棱不垂直于底面，這樣的四棱柱仍是斜平行六面體；命題是假命題.底面是菱形，底面邊長與棱長相等的直四棱柱不是正方體;命題是假命題.因為有兩條側棱垂直于義面一邊不能推出側棱與底面垂直.命題是真命題，如圖所不平行六面體ABCD-ABiCiDi中所有對角線相等，對角面BiBDDi是平

2、行四邊形，對角線BDi =BiD ,所以四邊形BiBDDi是 矩形，即BB_LBD,同理四邊形 AACCi是矩形，所以AAi _L AC ,由 AA / BB1 知 BB _L 底面 ABCD ,即該平行六面體是直平行六面體.故選A.說明：解這類選擇題的關鍵在于理清各種棱柱之間的聯(lián)系與區(qū)別，要緊扣底面形狀及側棱與底面的位置關系來解題.下面我們列表來說明平行四邊形與平行六面體的性質(zhì)的“類比”，由此，我們可以發(fā)現(xiàn)立體幾何與平面幾何許多知識是可以進行類比的.見表表平行四邊形平彳J六面體對邊平行且相等相對的側囿平行且全等對角線交干-點，且在這一點互相平分對角線交干-點且在這一點互相平分四條邊的平方和等

3、于兩條對角線的平方 和十二條棱的平方和等于四條對角線的 平方和典型例題例2如圖，正四棱柱 ABCD-ABiCiDi中，對角線BDi =8, BDi與側面BBGC所(3)成角為30 :求：（1） BDi與底面ABCD所成角；（2）異面直線BDi與AD所成角;正四棱柱的全面積.分析：正四棱柱是一種特殊的長方體，它的兩底ABCD、ABC1D1是正方形，長方體中有比較多的線面垂直關系，而線面垂直關系往往是 解決立體幾何問題的關鍵條件.題中無論是已知線面成角，還是求線面成角，都要把它們轉化為具體的角，落實線面成角，先要找線面垂直關系.異面直線3）與AD所成角通過ADADi,落實為具體的NADB .正四棱

4、柱各個面都是矩形， 求面積只要用矩形面積公 式.解：（1）在正四棱柱 AC中，: DC _l面BBCC,，/D1BC1 是 DB與側面 BBGC所成角，即 /DBCi=30 =.BD1=8,. D1cl =4, BC1=4V3,AB1c1D1 是正方形，. B1c1=D1cl=4,D1D _L平面ABCD，.一/ D1 BD是D1 B與底面ABCD所成角，在 RtD1DB 中，BD =31）=472, BD1=8,r “ BD 2-cos/D1 BD = ，/D1 BD = 45 ,BD12即BD1與底面ABCD所成角為45 =. AD/A1D1 , /A1DB是BD1與AD所成角（或補角）.

5、 DA，平面 AABB，二 DA -L AB ,RkAD1B 中，AD1=4, BD1=8, 1 cos/A D1B = ,/AD1B=60 , 2即異面直線AD與85所成角為60 1Rt BB1C1 中，B1C1 =4, BG =443 .BB1 =4v2,S全=2（4又4+4父472+4父4、15）=32（2/5+1）.說明：長方體是一種特殊的棱柱，充分感受其中豐富的線面垂直、線線垂直關系是靈活解題的關鍵，各種垂直關系是解決立體幾何中證明和計算的重要條件.典型例題三例3如圖，已知長方體 ABCD-AB1cl口1中，棱長AA=5, AB=12,求直線B1cl與平面AiBCDi的距離.分析：求

6、直線到平面的距離， 首先要找直線上的點到平 面的垂線，而找平面的垂線的一個很有用的思路是，找平面內(nèi)一條直線與某一平面垂直，這里我們不難看出， 長方體中有CB _L平面AABB1 ,這樣，只要作 B1H _L AB ,又有BH _LCB,得到 BH _L平面 BCDA.解：長方體AC1中，有BC _L平面AABB1 ,過B作BH _L AB于H ,又有BC_LBH ,B1H _L平BCD1A ,即B1H是B1cl到平面A1BCD1的距離.在Rt BBA中，由已知可得，BB1=5, AB1=12,AB =13,BH =1360即B1Hze B1cl到平面A1 BCD1的距離為 .13說明：長方體中

7、有棱與面的線面垂直關系，正方體除此之外，還有對角線與對角面的線面垂直關系，比如，求正方體AC1中，A1C1與面C1BD所成角.這里，要找 AC1與C1BD所成角，必須找 A1到平面C1BD的垂線，因為BD _1面人,在對角面AC1內(nèi)，過A作AH _LOC1于H ,則BD_LAH ,所以AH _L面C1BD ,可以得到/A1G。為AG與面C1BD所成角，在對角面AAC1c中可計算/AC1O = arctan2 .典型例題四例4如圖，已知直三棱柱 ABCD-ABGD1中，AB = AC , F為側棱BB上一點,BF=BC=2a, FB1 =a . (1)若D為BC的中點，E為AD上不同于 A、D的

8、任一點,求證：EF _L FC1 ； (2)若A1B1 =3a ,求FC1與平面AABB所成角的大小.分析：E點在AD上變化，EF為平面ADF內(nèi)變化的一組 相交直線(都過定點F ),要證明C1F與EF垂直，必有C1F 1平面ADF .求FCi與平面ABBA所成角的關鍵是找 Ci到面 ABBA的垂線，從而落實線面成角，直三棱柱中，側棱AA_L 平面ABiCi給找點Ci到面AB的垂線創(chuàng)造了方便的條件.解：(1) AB =AC，且 D 是 BC 的中點，AD _L BC ,又直三棱柱中BBi，平面ABC，.-AD _L BBi ,AD _L平面 BB1GC ,AD_LCiF .在矩形 BB1GC 中

9、，BF=BC=2a, BF=a,DF = . 5a , FC1 = 5a, DC1 = 10a,DF2 +FC； =DC12, . NDFC1 =90:即 FC1 ,L DF ,FCi，平面 ADF，.- FCi _LEF .(2)過 C/、C1H _LAB 于 H，丁 AA，平面 AB1c，; AA1 .LC1H , . C1H _L平面AAB1B，連接FH , /C1FH是C1F與平面AB1所成角.在等月ABC 中，AB=AC=3a, BC = 2a , . . AD = 2&a ,在等月A BiCi中，由面積相等可得，Ci H M 3a = 2/2 M 2a , TOC o 1-5 h

10、z 4 2_ _CiH =a ,又 CiF = J5a ,3,4 10在 Rt C1HF 中，sin/C1FH =,15. 4.101 NC1FH =arcsin , 15即C1F與平面AB所成角為arcsin 4-0 .15說明：由于點E在AD上變化，給思考增加了難度，但仔細思考，它又提供了解題的突破口，使得線線垂直成為了 CF1與一組直線垂直. 本題的證明還有一個可行的思路，雖然E在AD上變化，但是由于AD _L平面BBCiC ,所以E點在平面BCi上的射影是定點D ,EF在平面BCi上射影為定直線 DF ,使用三垂線定理，可由C1F _LDF ,直接證明C1F _L EF .三垂線定理是

11、轉化空間 線線垂直為平面內(nèi)線線垂直的一個有力工具，再看一個例子， 正方體ACi中，O是底面ABCD的中心，E是AB上動點，F(xiàn)是DDi中點，求AF與OE所成角.我們?nèi)?AD中點G ,雖然E點變化，但OE在面ADi上射影為定直線 AG，在正方形 AADD中，易證AB_LAF ,所以，AF _LOE,即AF與OE所成角為901典型例題五例5如圖，正三棱柱 ABC-ABiG的底面邊長為4,側棱長為a,過BC的截面與底面成30二的二面角，分別就(i) a=3； (2) a =i計算截面的面積.分析：要求出截面的面積，首先必須確定截面的形狀，截面與底面成30一的二面角，如果 a較大，此時截面是三角形；但是

12、如果a較小，此時截面與側棱不交，而與上底面相交，截面為梯形.解：截面與側棱 AA所在直線交于 D點，取BC中點E ,連AE、DE ,ABC是等邊三角形， AE _L BC , AA，平面 ABC，.一 DE 1 BC . / DEA為截面與底面所成二面角的平面角，/DEA =301等邊 ABC 邊長為 4, AE=2j3.在 Rt DAE 中，DA =AE tanDEA =2 .(1)當a =3時，D點在側棱AA上，截面為 BCD ,在 Rt DAE 中，DE = J AD2 +AE2 =4,_1_ _1 S 布cd = - BC DE =父4父4 = 8.(2)當a =1時，D點在AA延長線

13、上，截面為梯形 BCMN ,AD =2 , AA =1 MN 是 DBC 的中位線,一S梯形BCMN34 S DBC3 x8=6 .4通過改變側棱長而改變了截面形狀, 改變截面形狀.我們也可以通過確定側棱長,改變截面與底面成角而說明：涉及多面體的截面問題，都要經(jīng)過先確定截面形狀，再解決問題的過程，本例典型例題六例6斜三棱柱ABC-ABG中，平面AAGC_L底面ABC , /ABC =90 : AA，AC ,且 AA = AC .(1)求AA與平面ABC所成角；(2)求平面AABB與平面ABC所成二面角的大小；(3)求側棱BB1到側面 AAC1c的距離.分析：按照一般思路，首先轉化條件中的面面垂

14、直關系，由AA = AC ,取AC的中點D ,連A1D ,則有A1D，AC ,從而有AD，平面ABC ,在 此基礎上， A A與底面所成角以及平面 AABB與底面所成二面角都能方便地找到，同時 AD _L底面ABC也為尋找B點到面AAC1c的垂線創(chuàng)造了條件.解：(1)取AC的中點D ,連接AD , A1A = A1C ,AD _L AC, .平面 AAC1c，底面 ABC ,A1D，底面ABC，.一/AAC為AA與底面ABC所成角.AA = AC 且 AA，AC , /AAC=451(2)取 AB 中點 E ,則 DE / BC , /ABC =90 :CB1AB, . . DE _L AB

15、.連AE , AD _L底面ABC ,A1E在平面ABC上射影為DE , AE1AB, /A,ED為側面AB與底面ABC所成二面角的平面角.在等腰 RtAAC 中，AC=2/3,AD=J3.在 Rt ABC 中，BC =2，.- DE =1 .在 RtADE 中，tan/AED =皿=4行， DE，/AED=60；即側面AAB1B與底面ABC所成二面角的大小為60 =.(3)過 B作 BH 1 AC 于 H , AD 1 底面 ABC，.- AD _L BH , BH _L平面 AC1c ,在 RtABC 中，AC=2j5, BC=2, . AB =272,AB BC 22 一BH =76 ,

16、即BB1到平面AAC1c的距離為一M6 .AD33說明：簡單的多面體是研究空間線面關系的載體，而線面垂直關系又是各種關系中最重要的關系，立體幾何中的證明與計算往往都與線面垂直發(fā)生聯(lián)系，所以在幾何體中發(fā)現(xiàn)并使用線面垂直關系往往是解題的關鍵.典型例題七例7斜三棱柱ABC-ABiG的底面 ABC是直角三角形，NC = 90： BC=2cm,角，側面AABB與側面B在底面上白射影 D恰好是BC的中點，側棱與底面成60BBC1c所成角為30：求斜棱柱的側面積與體積.分析：Bi在底面ABC上射影D為BC中點，提供了線面垂直B1D _L平面ABC ,另外又有/C =90：即AC 1 BC ,又可以得到AC

17、_L平面BB1clC,利用這兩個線面垂直關系， 可 以方便地找到條件中的線面角以及二面角的平面角.解：: Bi在底面ABC上，射影D為BC中點./B1BD為側棱BB與底面ABC所成角，即/B1BD=60：,NC =90 :即 AC _L BC ,又 AC _L B D , AC，平面 B4C1C ,過 A 作 AE _L B1B 于 E ,連接 CE ,則 CE _L B1B .ZAEC是側面AABB與側面CC1B1B所成二面角的平面角，ZAEC =30 :在直角 CEB 中，. /CEB =60 : BC =2 , . . CE =73,在直角 ACE 中，= /CEA=30： CE=J3,

18、AC EC tan 30 1 , AE =2AC =2 ,1在直角 B1DB 中，/ B1BD = 60 , BD = BC = 1 ,2BBi=2BD=2, B1D =BB1sin60，=技.側面積為 Gu =CE EB - AE BB1 AC AA1=5 +2+1)bc0.求沿著長方體的表面自 A到Ci的最短線路的長.分析：解本題可將長方體表面展開， 可利用在平面內(nèi)兩點間的線段長是兩點間的最短距 離來解答.解：將長方體相鄰兩個展開有下列三種可能，如圖.(乙)三個圖形甲、乙、丙中 ACi的長分別為：(ab)2c2=a2b2c22ab,a2(bc)2=,a2b2c22bc(ac)2b2=,a2

19、-b2c22aca b c 0 ,ab ab bc0 .故最短線路的長為a2 b2 c2 2bc.說明：(1)防止只畫出一個圖形就下結論，或者以為長方體的對角線AC1 =da2 +b2 +c2是最短線路.(2)解答多面體表面上兩點間，最短線路問題，一般地都是將多面體表面展開，轉化為 求平面內(nèi)兩點間線段長.典型例題十二例12設直平行六面體的底面是菱形，經(jīng)下底面的一邊及與它相對的上義面的一邊的 截面與底面成60 13的二面角，面積為 Q,求直平行六面體的全面積.分析：如圖，由于口口_1面AC .作出截面與底面所成的二面角的平面角/DHD后,因R3D DH中/D HD =60,可分別求出D D、DH

20、和D H的值.又上下底面的邊長 是相等的，便可進一步求出全面積.解：設平行六面體為 ABCD AB,Cd,過D作DH 1 AB , H為垂足，連結DH . TOC o 1-5 h z DD _L平面 ABCD , _ . * . D H _ AB , , D HD =60 ,.3 ,1 ,D D =3 D H , DHD H . 22又在菱形 ABCD中，有 AD = AB = BC =CD , ，截面ABC D的面積為：=口 H AB=Q. ，.一. 33 3側面D DCC的面積為：S2 = D D DC = D D AB = D H AB = Q22_,1底面 ABCD 的面積為：S3=D

21、H ，AB=，D H AB =，Q 22所以 S全=4S2 2S3 =(2.3 1)Q.典型例題十三例13設有三個命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩 形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是直平行六面體.以上命題中，真命題的個數(shù)是( ).A. 0B. 1C. 2D. 3解：甲命題是真命題，因為它就是平行六面體的定義；乙命題不是真命題，因為平行六面體的側棱不一定垂直于底面；丙命題也不是真命題，因為四棱柱的底面不一定是平行四邊形.，應選B.說明：要認真搞清平行六面體、直平行六面體、長方體等特殊四棱柱的有關概念及性質(zhì).典型例題十四例14如圖，A BGABC是直三棱柱，/BCA

22、 = 90，點D1、F1分別是ABA1C1的中點.若BC=CA = CG,則BDi與AFi所成角的余弦值是().A.3010B.10解：可將異面直線所成角轉化為相交直線的角，取 BC的中點E,并連結EFEA ._ _ .1DFE BC =BE , EFi/ BDi，一 / EFi A是 BDi 與 AFi 所成角.設 BC =2a ,則 CG =2a , CA = 2a.AB = 2 J2a , AFi =庭a, AE = 75a , EFi = BDi =也 B2 + BiDi2 = 76a .cos EF1A =AFi2 EFi2 - AE2 ( . 5a)2 ( 6a)2 ( .5a)2: 302 AF EF10，應選A.說明：本題主要考查棱柱的性質(zhì)，以及兩條異面直線所成的角、勾股定理、余弦定理等內(nèi)容：對運算能力和空間想象能力也有較高的要求.典型例題十五例15 如圖，已知 AB1cl ABC是正三棱柱， D是AC的中點.證明：AB1 平面DBG；(2)假設ABi 1 BCi,求以BG為棱，DBCi與CBCi為面的二面角的度數(shù).(1)證明：A1B1cl ABC是正三棱柱，四邊形B1BCC1是矩形.連結B1c交BC1于E ,則