概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)chapt7

1、一、矩估計(jì)法第二節(jié) 點(diǎn)估計(jì)的求法 二、極大似然估計(jì)法一. 矩估計(jì)法理論依據(jù)：記總體k階矩為樣本k階矩為 （辛欽大數(shù)定律及其推論）則樣本 k 階矩 依概率收斂于總體 k 階矩 . 方法：出待估參數(shù).用樣本 k 階矩估計(jì)總體 k 階矩 建立含有待估參數(shù)的方程, 從而解樣本 X1, X2, Xn的前 k 階矩記為步驟：設(shè)總體的分布函數(shù)的形式已知，待估參數(shù)為總體的前 k 階矩存在.（1）求出總體的前 k 階矩，一般是這 k 個(gè)參數(shù)的函函數(shù),記為：7-12（3）解此方程組 , 得 k 個(gè)統(tǒng)計(jì)量： 稱為未知參數(shù) 1, ,k 的矩估計(jì)量這是含未知參數(shù) 1,2, ,k 的k個(gè)方程構(gòu)成的方程組，（2）令7-12

2、代入樣本值，得 k 個(gè)數(shù):稱為未知參數(shù) 1, ,k 的矩估計(jì)值例1.設(shè)總體 X B( m, p), 其中p 未知， X1, X2, Xn為總體的樣本, 求p 的矩估計(jì)量.解：令7-13得總體矩樣本矩例2.設(shè)總體X的概率密度為解：X1， ， Xn為樣本，求參數(shù) 的矩估計(jì).令得總體矩樣本矩 例3.設(shè)X1,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本其中0, 求，的矩估計(jì).解:令解得用樣本矩估計(jì)總體矩由課文本節(jié)例1知：不論總體為何分布，總體均值的矩估計(jì)量總是總體方差的矩估計(jì)量總是例4.設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取10只燈泡，測得其壽命為(單位:小時(shí))1050, 1100, 1080, 1120, 120

3、0，1250, 1040, 1130, 1300, 1200，試用矩法估計(jì)該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差.解：7-14 二、 極大似然估計(jì)法 即：在一次試驗(yàn)中，概率最大的事件最有可能發(fā)生.引例: 有兩個(gè)外形相同的箱子,各裝100個(gè)球，一箱中取得的球是白球.問: 所取的球來自哪一箱？答: 第一箱.中有99個(gè)白球1個(gè)紅球，一箱中有1個(gè)白球99個(gè)紅球?，F(xiàn)從兩箱中任取一箱, 并從箱中任取一球,結(jié)果所 一般說，若事件A發(fā)生的概率與參數(shù)有關(guān)， 取值不同，P(A)也不同。則應(yīng)記事件A發(fā)生的概率為P(A| ).若一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了，可認(rèn)為此時(shí)的 值應(yīng)是在中使P(A| ) 達(dá)到最大的那一個(gè)。這

4、就是極大似然原理.（極大似然原理）極大似然估計(jì)法的理論依據(jù)：X1,X2,Xn是取自總體X的樣本，x1 , x2 , xn是樣本值.則樣本的聯(lián)合分布律為：似然函數(shù)：其中為未知待估參數(shù)，1. X是離散型總體，其分布律為: 記2. X是連續(xù)型總體，其概率密度為 為其樣本的似然函數(shù).則稱稱為樣本的似然函數(shù).似然函數(shù)的值的大小實(shí)質(zhì)上反映的是該樣本值出現(xiàn)的可能性大小.極大似然估計(jì)的方法：對于給定的樣本值x1 , x2 , ,xn ，選取使得其似然函數(shù)達(dá)到最大值。即求使得7-22稱為未知參數(shù) 1, ,k 的極大似然估計(jì)值這樣得到的估計(jì)值對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為未知參數(shù)1,k 的 極大似然估計(jì)量(1) 由總體分布和所

5、給樣本，求得似然函數(shù)步驟：(2) 求似然函數(shù)的對數(shù)函數(shù)函數(shù)（化積商為和差，而和同時(shí)取得最大值）(3) 解方程組LLLLLLL7-12 (4) 得未知參數(shù)1, ,k的極大似然估計(jì)值及其對應(yīng)的極大似然估計(jì)量7-12 若待估參數(shù)只有一個(gè)，則似然函數(shù)是一元函數(shù)L()，此時(shí)，只須將上述步驟中求偏導(dǎo)改為求導(dǎo)即可。說明：例5. 設(shè)總體X 服從參數(shù)為的泊松分布，求參數(shù)的極大似然估計(jì)量解：的樣本，樣本觀察值為由X 服從泊松分布，得X的分布律為為從總體X中隨機(jī)抽取設(shè)似然函數(shù)為兩邊取對數(shù)，得=0得對求導(dǎo)，并令其為0，所以參數(shù)的極大似然估計(jì)量為：，其中 0總體X 的樣本值，求參數(shù)的極大似然估計(jì)值.例6. 設(shè)總體X的概

6、率密度為為待估參數(shù)，a0是已知常數(shù)，是取自解: 兩邊取對數(shù)，得對求導(dǎo),并令其為0，得這就是的極大似然估計(jì)值. 其中 是未知參數(shù)，3，1，3，0，3，1，2，3，是來自總體X的樣本觀察值,求參數(shù)的極大似然估計(jì)值.例7. 設(shè)總體X的分布律解：兩邊取對數(shù)，得對求導(dǎo)，并令其為0，=0得和因?yàn)椴缓项}意，所以的極大似然估計(jì)值為 1.可證明極大似然估計(jì)具有下述性質(zhì)： 設(shè)的函數(shù)g=g()是 上的實(shí)值函數(shù),且有唯一反函數(shù) . 如果 是的極大似然估計(jì)，則g( )也是g( )的極大似然估計(jì).關(guān)于極大似然估計(jì)的兩點(diǎn)說明：此性質(zhì)稱為極大似然估計(jì)的不變性例8. 設(shè)X1 X2 ， ，Xn為取自參數(shù)為的指數(shù)分布總體的樣本，a

7、0為一給定實(shí)數(shù)。求p=PXa的極大似然估計(jì)解：概率密度和分布函數(shù)分別為由總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布知， X 的兩邊取對數(shù)，得對求導(dǎo)，并令其為0，得的極大似然估計(jì)值為 因?yàn)樗?，p=PXa的極大似然估計(jì)值為2、當(dāng)似然函數(shù)不是可微函數(shù)時(shí)，須用極大似然原理來求待估參數(shù)的極大似然估計(jì).例9. 設(shè) X U (a,b), x1, x2, xn 是 X 的一個(gè)樣本值, 求 a , b 的極大似然估計(jì)值與極大似然估計(jì)量.解：由X U (a,b)知，X 的密度函數(shù)為似然函數(shù)為似然函數(shù)只有當(dāng) a xi b, i = 1,2, n 時(shí)才能獲得最大值, 且 a 越大, b 越小, L（a，b） 越大.令xmin = min x1, x2, xnxmax = max x1, x2, xn取則對滿足的一切 a b , 都有故是 a , b 的極大似然估計(jì)值.分別是 a , b 的極大似然估計(jì)量.，其中為待估參數(shù)，是取自總體X 的樣本值，例10. 設(shè)總體X的概率密度為的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值. 求參數(shù)解：令得的矩估計(jì)值：（1）矩估計(jì)