控制系統(tǒng)的頻域分析、特性和指標(biāo)關(guān)系

1、控制系統(tǒng)的頻域分析、特性和指標(biāo)關(guān)系 2 5.1 頻率特性的基本概念 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 5.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 5.5 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 5.6 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性 5.7 頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系 5.8 用MATLAB進(jìn)行頻域分析 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 3 5.1.1 頻率特性的概念 設(shè)有穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)： 設(shè)有正弦輸入信號(hào)： 系統(tǒng)響應(yīng)的拉氏變換5.1 頻率特性的基本概念 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 4 令：其中： 則：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 5 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 6 比較：結(jié)論： 對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，由諧波輸入產(chǎn)生的

2、穩(wěn)態(tài)輸出分量仍然是與輸入同頻率的諧波函數(shù)有關(guān)，而幅值與相角的變化是頻率 的函數(shù)，且與數(shù)學(xué)模型有關(guān)。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 7 頻率特性頻率特性（頻率響應(yīng)）的定義式：頻率特性 ：在正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分 量與輸入量復(fù)數(shù)之比。表征輸入輸出幅 值、相位上的差異。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 8 頻率特性表征系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的三大傳遞能力：同頻、變幅、變相相頻特性 ：諧波輸入下，輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的 諧波分量與輸入諧波分量的相位之差。幅頻特性 ：諧波輸入下，輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧 波分量與輸入諧波分量的幅值之比。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 9 系統(tǒng)三種描述方法的關(guān)系：微分方程系統(tǒng)傳遞

3、函數(shù)頻率特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 10 5.1.2 頻率特性的表示方法1. 幅相頻率特性曲線（奈氏圖） 幅相頻率特性可以表示成代數(shù)形式和極坐標(biāo)形式。 代數(shù)形式： 設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 令 ，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 11 其中 為頻率特性的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性 為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性 極坐標(biāo)形式：將頻率特性表示成指數(shù)形式 :第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 12 式中 頻率特性的幅值，即幅頻特性 復(fù)數(shù)頻率特性的相角或相位移，即相頻特性 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 13 奈氏圖：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 14 2. 對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖） 對(duì)數(shù)頻率

4、特性曲線是將頻率特性表示在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中。 對(duì)數(shù)頻率特性由對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻兩條曲線組成。 對(duì)數(shù)頻率特性曲線：橫坐標(biāo)是頻率 ，并按對(duì)數(shù) 分度，單位為弧度/秒 。 特點(diǎn)：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 15 對(duì)數(shù)幅頻曲線：縱坐標(biāo)按 線性分度，單位為分貝（db）。 對(duì)數(shù)相頻曲線：縱坐標(biāo)按 線性分度，單位為度 由此構(gòu)成坐標(biāo)稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 16 Bode圖：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 17 3. 對(duì)數(shù)幅相特性（尼氏圖） 將對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性繪在一個(gè)平面上，以對(duì)數(shù)幅值作縱坐標(biāo)（單位為分貝）、以相位移作橫坐標(biāo)（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對(duì)數(shù)幅相頻率特性，也稱為尼柯

5、爾斯圖，或尼氏圖。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 18 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1 比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 19 1.幅相頻率特性 比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率 無關(guān)。所以由 變到 ，在圖中為實(shí)軸上點(diǎn)。 ，表示輸出與輸入同相位。比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 20 Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性的繪制：對(duì)數(shù)相頻特性的繪制：2. 對(duì)數(shù)頻率特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 21 頻率特性： （1） （2） 傳遞函數(shù)：5.2.2 慣性環(huán)節(jié)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 22 奈 氏 圖慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性 幅頻特性相頻特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分

6、析 23 慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線實(shí)際上是一個(gè)圓，圓心為 ，半徑為 。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 24 對(duì)數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 25 結(jié)論：每十倍頻程， 變化-20dB.第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 26 傳遞函數(shù)：頻率特性： （1） （2） 5.2.3 積分環(huán)節(jié)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 27 式中 幅頻特性相頻特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 28 結(jié)論：每十倍頻程， 變化-20dB.對(duì)數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 29 頻率特性： （1） （2） 5.2.4 微分環(huán)節(jié)1. 理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：奈 氏 圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析

7、 30 式中：幅頻特性相頻特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 31 結(jié)論：每十倍頻程， 變化20dB.對(duì)數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 32 頻率特性： （1） （2） 2. 一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：奈 氏 圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 33 式中：。幅頻特性相頻特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 34 對(duì)數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 35 結(jié)論：每十倍頻程， 變化20dB.第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 36 傳遞函數(shù)：頻率特性： （1）5.2.5 振蕩環(huán)節(jié)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 37 幅相頻率特性振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性附近，幅頻特性將出現(xiàn)諧振峰值，其

8、大小與阻尼比有關(guān)。由幅頻特性對(duì)頻率求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可求得諧振角頻率和諧振峰值。即由可得振蕩環(huán)節(jié)的諧振角頻率當(dāng)時(shí)，不產(chǎn)生諧振峰值 在幅相頻率特性(奈氏圖)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 38 諧振峰值諧振頻率何時(shí)存在最值？討論：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 39 當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， 存在峰值。 越小，峰值及諧振頻率就越大，意味著超調(diào)越大，過程越不平穩(wěn).結(jié)論：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 40 結(jié)論：幅頻特性的最大值隨 減小而增大。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 41 對(duì)數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 42 結(jié)論：每十倍頻程， 變化-40dB.第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 43 對(duì)

9、數(shù)相頻特性的繪制：結(jié)論：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 44 5.2.6 二階微分環(huán)節(jié)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 45 Bode圖可由振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖鏡像畫出 奈 氏 圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 46 傳遞函數(shù)：頻率特性： （1） （2） 5.2.7 時(shí)滯環(huán)節(jié)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 47 奈氏圖Bode圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 48 求A(0)、 (0)；A()、 ()；繪制要求： 補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，根據(jù)A()、 () 的變化趨勢(shì)，畫出Nyquist圖的大致形狀。5.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 49 開環(huán)系統(tǒng)（最小相位系統(tǒng)）頻率特性的一般形式為

10、 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 50 幅相特性的低頻段 當(dāng) 時(shí)，可以確定特性的低頻部分，其特點(diǎn)由系統(tǒng)的類型近似確定，如下圖所示： 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 51 對(duì)于0型系統(tǒng)，當(dāng) 時(shí)，特性達(dá)到一點(diǎn) 。 對(duì)于型系統(tǒng)，特性趨于一條與虛軸平行的漸進(jìn)線，這一漸進(jìn)線可以由下式確定： 時(shí)的相位角為 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 52 幅相特性的高頻段 即特性總是以順時(shí)針方向趨于點(diǎn)，并按上式的角度終止于原點(diǎn)，如圖所示。 一般，有 ，故當(dāng) 時(shí)，有 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 53 特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的頻率由下式求出 如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時(shí)間常數(shù)，則當(dāng)由0增大到過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。

11、 如果在分子中有時(shí)間常數(shù)，則視這些時(shí)間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時(shí)，特性可能出現(xiàn)凹部。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 54 例：繪制 的幅相曲線。解：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 55 例：繪制 的幅相曲線。解：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 56 漸近線：時(shí)的物理意義：即相當(dāng)于系統(tǒng)輸入為恒值信號(hào)（頻率為0）由于系統(tǒng)有積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)輸出量為第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 57 ReIm-(kT,j0)0第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 58 時(shí)，開環(huán)頻率特性由實(shí)軸上無窮遠(yuǎn)開始，在極小的頻率范圍內(nèi)按無窮大半徑變化，相角位移為 。結(jié)論：推論： 時(shí)，開環(huán)頻率特性由實(shí)軸上無窮遠(yuǎn)開始

12、，在極小的頻率范圍內(nèi)按無窮大半徑變化，相角位移為 （ 為積分環(huán)節(jié)的階次）第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 59 例：繪制 的幅相曲線。解：求交點(diǎn)：與負(fù)實(shí)軸相交于-25處。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 60 曲線如圖所示：無實(shí)數(shù)解與虛軸無交點(diǎn)令第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 61 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：5.3.2 開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性（伯德圖）曲線的繪制第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 62 對(duì)數(shù)幅頻特性 = 組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。 對(duì)數(shù)相頻特性 = 組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 63 例：一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 1. 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特

13、性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 64 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 65 繪制步驟： （1）確定交接頻率 標(biāo)在角頻率 軸上； （2）在 處，量出幅值 ，其中 為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。（上圖中的A點(diǎn)） （3）通過A點(diǎn)作一條-20vdB/十倍頻的直線，其中v為系統(tǒng)的階數(shù)（對(duì)于上例，v=1），直到第一個(gè)交接頻率 (圖中B點(diǎn)）。如果 ，則低頻漸進(jìn)線的延長線經(jīng)過A點(diǎn)。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 66 （4）以后每遇到一個(gè)交接頻率，就改變一次漸進(jìn)線斜率。 每當(dāng)遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時(shí)，漸進(jìn)線斜率增加 -20dB/十倍頻； 每當(dāng)遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時(shí)，斜率增加+20dB/十倍頻； 每當(dāng)遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時(shí)，斜率增

14、加 -40dB/十倍頻。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 67 （5）繪出用漸進(jìn)線表示的對(duì)數(shù)幅頻特性以后，如果需要，可以進(jìn)行修正。通常只需在交接頻率出以及交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。 對(duì)于一階項(xiàng)，在交接頻率處的修正值為3dB；在交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的修正值為1dB。 對(duì)于二階項(xiàng)，在交接頻率處的修正值可由公式求出。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 68 幅值穿越頻率 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性 通過0分貝線即 時(shí)的頻率 稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率 是開環(huán) 對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)很重要的參量?；虻?章 控制系統(tǒng)的頻域分析 69 2. 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 70

15、 5.3.3 開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性低頻段特點(diǎn)與系統(tǒng)型別的關(guān)系0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式：低頻時(shí)：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 71 對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示： 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 72 特點(diǎn)：在低頻段，斜率為0dB/十倍頻； 低頻段的幅值為 ，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 73 型系統(tǒng) 型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式： 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 74 對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 ：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 75 特點(diǎn)：在低頻段的漸進(jìn)線斜率為-20dB/十倍頻；低頻漸進(jìn)線（或其延長線）在=1時(shí)的幅值為 dB。低頻漸進(jìn)線（或其延長線）

16、與0分貝的交點(diǎn)為 由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) ；第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 76 型系統(tǒng) 型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 ：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 77 對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 ： 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 78 特點(diǎn)：低頻漸進(jìn)線的斜率為-40dB/十倍頻；低頻漸進(jìn)線(或其延長線)與0分貝的交點(diǎn)為 ， 由之可以確定加速度誤差系數(shù) dB低頻漸進(jìn)線（或其延長線）在 時(shí)的幅值為第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 79 凡在右半s 平面上有開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)的系統(tǒng)，稱為非最小相位系統(tǒng)。 “最小相位” 是指，具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中

17、相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)；后者常在傳遞函數(shù)中包含右半s平面的零點(diǎn)或極點(diǎn)。 5.3.4 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 80 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 81 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 82 升降對(duì)應(yīng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 83 升降不對(duì)應(yīng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 84 升降對(duì)應(yīng)最小相位環(huán)節(jié)：給出了幅頻特性，也就決定了相頻特性給出了相頻特性，也就決定了幅頻特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 85 幅角原理奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 設(shè)S平面上的封閉曲線 包圍了復(fù)變函數(shù)F(S)的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)，并且此曲線不經(jīng)過F(S)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，當(dāng)復(fù)變量S沿封閉

18、曲線 順時(shí)鐘方向移動(dòng)一周時(shí)，F(xiàn)(S)相角的變化情況。討論： 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.4.1 奈氏判據(jù)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 86 設(shè)復(fù)變函數(shù)為 則對(duì)應(yīng)與S平面下除了有限的奇點(diǎn)之外的任意一點(diǎn)， F(S)為解析函數(shù)，即為單值、連續(xù)的函數(shù)。S平面F（S）平面第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 87 曲線的形狀：由F(S)的特性決定，無需關(guān)心 曲線的運(yùn)動(dòng)方向：可能是順時(shí)針，也可能是逆時(shí)針 曲線包圍原點(diǎn)的情況：包圍的次數(shù)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 88 S平面順時(shí)針包圍原點(diǎn)一圈F(S)平面第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 89 幅 角 原 理 設(shè)S平面上的封閉曲線 包圍了復(fù)變函數(shù)F(S)的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)，并且此曲

19、線不經(jīng)過F(S)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，當(dāng)復(fù)變量S沿封閉曲線 順時(shí)鐘方向移動(dòng)一周時(shí)，在F(S)平面上的映射曲線逆時(shí)針包圍坐標(biāo)原點(diǎn)N=P-Z周。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 90 輔助函數(shù)F(s) 設(shè)系統(tǒng)的特征方程第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 91 1.(s)的零點(diǎn)是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)， (s)的極點(diǎn)則是開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)輔助函數(shù)F(s)的特點(diǎn) 2.(s)的零點(diǎn)與極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同3.(s)與只差一個(gè)常數(shù)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 92 奈氏路徑 幅角原理要求 奈氏路徑不能經(jīng)過F(S)的奇點(diǎn)。無處于虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)（開環(huán)無積分環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié)）第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 93 開環(huán)有積分環(huán)節(jié)用半徑的半圓在虛軸上極點(diǎn)的右側(cè)繞

20、過這些極點(diǎn)開環(huán)有振蕩環(huán)節(jié)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 94 映射曲線(奈氏曲線)的繪制方法無處于虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)(開環(huán)無積分環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié))第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 95 關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，只需繪制 的映射曲線（1）令s=j帶入G(s)H(s)，得到開環(huán)頻率特性。（2）畫出對(duì)應(yīng)于大半圓對(duì)應(yīng)的部分實(shí)際物理系統(tǒng) n=m nm時(shí) G(s)H(s)趨于零(原點(diǎn)） n=m時(shí) G(s)H(s)為常數(shù)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 96 開環(huán)有積分環(huán)節(jié)（1）令s=j帶入G(s)H(s),得到開環(huán)頻率特性。（2）畫出對(duì)應(yīng)于大半圓對(duì)應(yīng)的部分 開環(huán)頻率特性的終點(diǎn)（3）畫出對(duì)應(yīng)于 對(duì)應(yīng)的部分當(dāng)時(shí)，曲線將沿?zé)o窮大的圓弧順時(shí)針

21、轉(zhuǎn)過第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 97 開環(huán)有振蕩環(huán)節(jié) 下面只討論 對(duì)應(yīng)的映射曲線當(dāng)時(shí)，曲線將沿?zé)o窮大的圓弧順時(shí)針轉(zhuǎn)過第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 98 ImRe0第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 99 根據(jù)幅角原理，s沿奈氏路徑順時(shí)針移動(dòng)一 周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線將按逆時(shí)針圍 繞坐標(biāo)原點(diǎn)N=P-Z周。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 100 穩(wěn)定性判據(jù)： 如果在s平面上，s沿奈氏路徑順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，在F(s) 平面上的映射曲線圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)N=P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（即） 映射曲線圍繞原點(diǎn)的情況相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線圍繞（-1，0）的運(yùn)動(dòng)情況。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 10

22、1 奈氏穩(wěn)定判據(jù) 如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn) 定的條件是：當(dāng)由 變到時(shí)，開環(huán)頻率 特性在復(fù)數(shù)平面的軌跡不包圍（-1, j0）這一點(diǎn)。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 102 如果開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，開環(huán)系統(tǒng)特征方程式有P個(gè)根在右半s平面上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由 變到 時(shí)，開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上應(yīng)逆時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)N=P圈。否則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 103 例：繪制開環(huán)傳遞函數(shù)的乃奎斯特圖并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 104 例: 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 沒有極點(diǎn)位于右半s平面

23、，P=0。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 105 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 一型系統(tǒng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 106 逆時(shí)針包圍正穿越= 軌線在負(fù)實(shí)軸區(qū)間 從上向下穿越第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 107 負(fù)穿越 = 軌線在負(fù)實(shí)軸區(qū)間 從下向上穿越順時(shí)針包圍說明：從軸上出發(fā)，算半次穿越第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 108 開環(huán)系統(tǒng)特征方程式有P個(gè)根在右半s平面上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由0變到 時(shí)，開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上 (-1,j0)點(diǎn)左側(cè)，正穿越負(fù)穿越P/2。否則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 奈氏判據(jù)的實(shí)際方法第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 109 例:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 解： 第5章

24、 控制系統(tǒng)的頻域分析 110 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 二型系統(tǒng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 111 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 112 軌線通過（-1，j0)點(diǎn)， 閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 113 例:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 解： 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 114 漸進(jìn)線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)一型系統(tǒng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 115 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 116 5.4.2 對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 117 對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù): 若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)P個(gè)位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在 的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線 (含輔助線

25、)與 線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 118 輔助線的作法： 系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié) 時(shí)， Bode圖從 處向上補(bǔ)作 虛直線 系統(tǒng)存在一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)時(shí)， Bode圖從 處向上補(bǔ)作 虛直線至 處 ImRe0第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 119 例： 閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個(gè)根第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 120 根據(jù)奈氏判據(jù)，對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，根據(jù)開環(huán)幅相曲線 相對(duì) 點(diǎn)的位置不同，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有三種情況： (1)當(dāng)開環(huán)幅相曲線 包圍點(diǎn) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定； 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 121 (2)當(dāng)開環(huán)

26、幅相曲線 通過點(diǎn) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)； (3)當(dāng)開環(huán)幅相曲線 不包圍點(diǎn) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 可見，開環(huán)幅相曲線靠近 點(diǎn)的程度表征了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，幅相曲線距離 點(diǎn)越遠(yuǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越高。開環(huán)幅相曲線越靠近 點(diǎn)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的振蕩就越強(qiáng)烈，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就越差。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 122 即： 相位裕度：開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的幅值為1時(shí)，系統(tǒng)的 開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的相位角與 之和，記為-1 1 系統(tǒng)的幅值穿越頻率 滿足： 相位裕度或第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 123 相位裕量的物理意義： 對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的相 位角再滯后 度，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；若

27、開環(huán)系統(tǒng)頻 率特性的相位角滯后大于 度，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 124 -1 1 穩(wěn)定系統(tǒng)-1 1 不穩(wěn)定系統(tǒng)正相位裕量負(fù)相位裕量第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 125 正相位裕量 負(fù)相位裕量 穩(wěn)定系統(tǒng) 0 dB 不穩(wěn)定系統(tǒng) 0 dB 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 126 稱為相位穿越頻率 滿足： 增益裕度：開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的相位角為 時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)。 即：-1 1 5.5.2 增益裕度第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 127 增益裕量的物理意義： 對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的開環(huán)增益增大 倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果系統(tǒng)的開環(huán)增益增大 倍以上，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定

28、。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 128 -1 1 -1 1 穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 129 -1 1 -1 1 穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 130 1相位裕量和增益裕量表示開環(huán)幅相曲線對(duì)點(diǎn)的靠近程度，從而表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定程度。 2只用增益裕量和相位裕量，都不足以說明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，必須同時(shí)給出這兩個(gè)量。 關(guān)于相位裕量 和增益裕量 的幾點(diǎn)說明 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 131 3 .對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng) 和 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。對(duì)于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕量指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對(duì)于不

29、穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕量指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)減少多少。 為了得到滿意的性能，一般取相位裕量 增益裕量 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 132 例： (1) 求K=5時(shí)，相位裕量 和增益裕量解：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 133 例： (1) 求K=5時(shí)，相位裕量 和增益裕量解：第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 134 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 135 (2) 用頻率分析法求出系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的K值由增益裕量的物理意義可知： 若開環(huán)增益增大h倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 136 5.5.3 開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與相對(duì)穩(wěn)定性的關(guān)系 伯德定理 伯德第一定理指出，對(duì)數(shù)幅頻特性漸進(jìn)

30、線的斜率與相角位移有對(duì)應(yīng)關(guān)系。 伯德第二定理指出，對(duì)于一個(gè)線性最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系是唯一的。當(dāng)給定了某一頻率范圍的對(duì)數(shù)幅頻特性時(shí)，在這一頻率范圍的相頻特性也就確定了。反之亦然。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 137 開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線頻率與相角位移對(duì)應(yīng)的關(guān)系第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 138 1. 開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性低頻段斜率對(duì)相位裕量的影響 虛線實(shí)線結(jié)論:低頻斜率大,時(shí), 比較大第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 139 2. 開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性高頻段斜率對(duì)相位裕量的影響 虛線實(shí)線結(jié)論:高頻斜率大,時(shí), 比較大第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 140 -1/-2 特性 3. 開環(huán)放大系數(shù)

31、對(duì)相位裕量的影響 結(jié)論:第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 141 -2/-1/-2特性 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 142 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 143 -2/-1/-2特性,且使 ,則稱最佳系統(tǒng) 若n=4,則稱為三階系統(tǒng)最佳工程。結(jié)論： 在 中間時(shí)取最大值選擇K, 使 ,則可使 取最大值 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 144 -2/-1/-3特性 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 145 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 146 結(jié)論: 1.穿過 的幅頻特性斜率以-20dB/十倍頻為宜，一般最大不超過-30dB/十倍頻。 2.低頻段和高頻段可以有更大的斜率。低頻段有斜率更大的線段可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)；高

32、頻段有斜率更大的線段可以更好地抑制高頻干擾。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 147 3.中頻段的穿越頻率 的選擇，決定于系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)速度的要求。 4.中頻段的長度對(duì)相位裕量有很大影響，中頻段越長，相位裕量越大。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 148 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 149 1. 諧振峰值Mp 定義：是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值。通常，Mp越大，系統(tǒng)單位過渡特性的超調(diào)量%也越大。 2. 諧振頻率p 定義：是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時(shí)的頻率。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 150 3. 帶寬頻率b 定義：閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值，由其初始值M(0)減小M(0)時(shí)的頻率（或由=0的

33、增益減低3分貝時(shí)的頻率） 頻帶越寬，上升時(shí)間越短，但對(duì)于高頻干擾的過濾能力越差。 4. 剪切速度 定義：是指在高頻時(shí)頻率特性衰減的快慢。在高頻區(qū)衰減越快，對(duì)于信號(hào)和干擾兩者的分辨能力越強(qiáng)。 但是往往是剪切速度越快，諧振峰值越大。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 151 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 幅頻特性 相頻特性- 5.6.1 開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性的關(guān)系第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 152 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 153 等M圓圖 設(shè) 當(dāng) 時(shí)， 5.6.2 等M圓圖和等N圓圖 顯然，在復(fù)平面上，它是通過點(diǎn) 時(shí)且平行于虛軸的直線 。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 154 第5章 控制系統(tǒng)的頻

34、域分析 155 2. 等N圓圖第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 156 坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系開環(huán)L() 和 ()； 等M曲線 令M為常數(shù), 為變量,依次計(jì)算值對(duì)應(yīng)的L()。 等N曲線 令N為常數(shù), 為變量,依次計(jì)算值對(duì)應(yīng)的L()。5.6.3 尼柯爾斯圖線第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 157 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 158 例：考慮一個(gè)單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函為 試確定增益K值，使得 解：為了確定增益，第一步工作是畫出下列函數(shù)的 尼氏圖。 圖中， 在=35時(shí)與M的軌跡相切，所以 閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值為Mp，諧振頻率為 =35。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 159 改變K值， 將上下移動(dòng)，可方便的看

35、出K與閉環(huán)系統(tǒng)諧振峰值、諧振頻率、頻帶寬的影響。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 160 5.6.4 非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 161 求非單位反饋系統(tǒng)的頻率特性的步驟如下 ： 1.畫出開環(huán)傳遞函數(shù)G(j)H( j)的Nichols圖； 2.由開環(huán)Nichols圖得到對(duì)應(yīng)的單位反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的Bode圖； 3.在Bode圖上畫出H(j)的曲線； 4.在Bode圖上，由步驟2求出的幅值和相角分別減去H(j)的幅值和相角。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 162 5.7 頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系 5.7.1 開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系 為了能使用開環(huán)頻率特性來評(píng)價(jià)

36、系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，就得首先找出開環(huán)頻域指標(biāo) 、 與時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 、 的關(guān)系。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 163 二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型式為 開環(huán)頻率特性為 1.相位裕量 和超調(diào)量 之間的關(guān)系 由第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 164 與 的關(guān)系圖如下 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 165 與 的關(guān)系圖如下 2. 相位裕量 和調(diào)節(jié)時(shí)間 之間的關(guān)系 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 166 5.7.2 閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系 Mp 、 與時(shí)域指標(biāo) 、 之間亦存在某種關(guān)系，這種關(guān)系在二階系統(tǒng)中是嚴(yán)格的、準(zhǔn)確的，在高階系統(tǒng)中則是近似的。 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 167 1. 諧振峰值Mp和超

37、調(diào)量%之間的關(guān)系第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 168 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 169 2. 諧振峰值Mp和調(diào)節(jié)時(shí)間ts的關(guān)系第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 170 3. 頻帶寬BW和 之間的關(guān)系第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 171 用MATLAB進(jìn)行頻域分析 頻率特性圖的繪 伯德圖 Bode(num,den) 若具體地給出頻率的范圍，則可以用函數(shù) w=logspace(m,n,npts); bode(num,den,w)； 來繪制系統(tǒng)的伯德圖。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 172 若需指定幅值范圍和相角范圍，則需按以下形式調(diào)用： mag,phase,w=bode(num,den) 或 mag,pha

38、se=bode(num,den,w) 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 173 對(duì)于這兩種方式，必須用下面的繪圖函數(shù)才可以在屏幕上生成完整的伯德圖。 subplot(211),semilogx(w,20*logl0(mag)； subplot(212),semilogx(w,phase) 其中，semilogx函數(shù)表示以為單位繪制幅頻特性曲線。第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 174 奈氏圖 nyquist(num,den) 當(dāng)用戶需要指定頻率時(shí)，可用函數(shù) nyquist(num,den,w) Nyquist函數(shù)還有兩種等號(hào)左端含有變量的形式 re,im,w=nyquist(num,den) re,im,

39、w=nyquist(num,den,w)； 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 175 相位裕量和增益裕量的計(jì)算 gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w) 此函數(shù)的輸入?yún)?shù)是幅值(不是以dB為單位)、相角與頻率矢量，它們是由bode或nyquist命令得到的。 或 gm,pm,wcg,wcp=margin(sys); 或 margin(sys); 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 176 例： h1=tf(2.33,0.162 1); h2=tf(1,0.0368 1); h3=tf(1,0.00167 1); h=h1*h2*h3; num,den=tfdata(h); mag,phase,w=bode(num,den); subplot(211); semilogx(w,20*log10(ma