人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《4.3.1等比數(shù)列的概念(第1課時(shí))》教案

1、4.3.1等比數(shù)列的概念 (1) 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。學(xué)生在已學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列，讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念B掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公

2、式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題1.數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的定義2.邏輯推理：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列的運(yùn)用4.數(shù)學(xué)建模： 等比數(shù)列的函數(shù)特征重點(diǎn)：等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念 難點(diǎn)：等比數(shù)列的函數(shù)特征及綜合運(yùn)用多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)新知探究 我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)” 。類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺(jué)得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:9,92,93,910; 100,1002,1003,10010; 5,52,53,510. 2.莊子天下中提到

3、：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭.”如果把“一尺之錘”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開(kāi)始，每天得到的“錘”的長(zhǎng)度依次是 12,14,18,116,132, 3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)菌每20 min 就通過(guò)分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開(kāi)始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是 2,4,8,16,32,64, 4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為 r ，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a1+r,a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5 如果用 an 表示數(shù)列，那么有 a2a1=9,a3a2=9,a10a9=9其余幾個(gè)數(shù)列也有這

4、樣的取值規(guī)律嗎？，請(qǐng)你試著寫一寫。探究1 類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過(guò)怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？等差數(shù)列的概念文字語(yǔ)言如果一個(gè)數(shù)列從第_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的_的差都等于_，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)_叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母_表示符號(hào)語(yǔ)言an1and(d為常數(shù)，nN*)2 ；前一項(xiàng) ；同一個(gè)常數(shù) ；常數(shù) ；d 探究2 類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？ 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q表示(顯然q

5、0 ) 符號(hào)語(yǔ)言： anan-1=q(n2,nN*) 探究3：在等差數(shù)列中，我們學(xué)習(xí)了等差中項(xiàng)的概念，通過(guò)類比，我們?cè)诘缺葦?shù)列中有什么相應(yīng)的概念？如何定義？1下列數(shù)列為等比數(shù)列的是()Am，m2，m3，m4，B22,42,62,82，Cq1，(q1)2，(q1)3，(q1)4，Deq f(1,a)，eq f(1,a2)，eq f(1,a3)，eq f(1,a4)，D解析：當(dāng)m0，q1時(shí)，A，C均不是等比數(shù)列；eq f(62,42)eq f(42,22)，所以B不是等比數(shù)列2方程x25x40的兩根的等比中項(xiàng)是()Aeq f(5,2) B2 Ceq r(5) D2B解析：設(shè)方程的兩根分別為x1，x

6、2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x24，兩根的等比中項(xiàng)為eq r(x1x2)2.探究3. 你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得an+1-an= d所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,于是 a2=a1+ d,a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,歸納可得an=a1+(n-1) d(n2)當(dāng)n=1時(shí)，上式為a1=a1+(1-1) d=a1，這就是說(shuō),上式當(dāng)時(shí)也成立。因此，首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+(

7、n-1) d請(qǐng)你回憶一下，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項(xiàng)公式？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列an的為q,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得an+1=anq所以a2=a1 q, a3=a2 q=(a1 q) q=a1q2,a4=a3q=(a1q2) q=a1q3 歸納可得an=a1qn-1(n2)又a1=a1q0=a1q1-1，這就是說(shuō)，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立。因此，首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1探究4. 在等差數(shù)列中，公差d0的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對(duì)于等比數(shù)列，公比q滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類似的聯(lián)系？an=a1qn-1=

8、a1qqn當(dāng)q0且q1時(shí) , f(x)=a1qqx(xR)當(dāng)x=n時(shí), f(n)=a1qqn(nN*)即指數(shù)型函數(shù)f(x)=kax（為k, a常數(shù)， k0, a0且a1）構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列kan，f1=ka，f2=ka2，fn=kan，其首項(xiàng)為ka，公比為a探究5：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你能說(shuō)說(shuō)公比q0的等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？f(x)=a1qqx(xR)二、典例解析例1. 若等比數(shù)列an的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求an的第5項(xiàng).分析：等比數(shù)列an由唯一確定，可利用條件列出關(guān)于的方程（組），進(jìn)行求解。解法1：由a4=48，a6=12，得a1q3=48，a1q5=12.的兩邊分別除以的兩邊，得q

9、2=14. 解得q=12或-12.把q=12 代入，得a1 =384.此時(shí)a5=a1q4 =384(12)4=24.把q=-12 代入，得a1 =-384.此時(shí)a5=a1q4 =384(-12)4=-24.因此an的第5項(xiàng)是24或-24.解法2：因?yàn)閍5 是a4 與a6 的等比中項(xiàng)，所以a52=a4a6=4812=576.所以a5=576=24.因此，an的第5項(xiàng)是24或-24.例2 已知等比數(shù)列an的公比為q，試用an的第m項(xiàng)am表示an.解：由題意，得am=a1qm-1，an=a1qn-1. 的兩邊分別除以的兩邊，得anam=qn-m所以 an=amqn-m.1在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起

10、，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)2等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示.跟蹤訓(xùn)練1 在等比數(shù)列an中，(1)若a24，a5eq f(1,2)，求an；(2)若a2a518，a3a69，an1，求n.解：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.(1)由題意可知eq blcrc (avs4alco1(a2a1q4，,a5a1q4f(1,2)，)qeq f(1,2)，a18，ana1qn18eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1(2)4n.(2)a3a6(a2a5)q，即918q，qeq f(1,2).由a1qa1q418得a132，由a

11、na1qn11知n6.例3. 數(shù)列an共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132，求這個(gè)數(shù)列.分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列出方程組求解.解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為 q,后三項(xiàng)的公差為d，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為80q2, 80q,80,80+d, 80+2d,于是得80q+(80+d)=136,80q2+80+2d=132.解方程組，得q=2d=16或 q=23d=-64 所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.跟蹤訓(xùn)練2.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，

12、后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù).解法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d,(a+d)2a, 于是得a-d+(a+d)2a=16,a+a+d=12.解方程組，得a=4d=4或 a=9d=-6 所以當(dāng)a4，d4時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a9，d6時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為2aq-a,aq,a,aq, 于是得2aq-a+aq=16,aq+a=12.解方程組，得a=8q=2或 a=3q=13, 所以當(dāng)a8，q2時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,

13、16；當(dāng)a3，q=13時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.通過(guò)與等差數(shù)列進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納出等比數(shù)列的定義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過(guò)與等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)的類比，獲得等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列及其函數(shù)特征的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1已知an是等比數(shù)列，a14，公比qeq f(1

14、,2)，則a5()Aeq f(1,4) Beq f(1,5) Ceq f(1,2) Deq f(1,3)A解析： 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1，a5a1q44eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4eq f(1,4)，故選A 2設(shè)an(1)n(nN*)，則數(shù)列an是()A等比數(shù)列 B等差數(shù)列C遞增數(shù)列 D遞減數(shù)列A解析：由已知數(shù)列an(1)n(nN*)的前5項(xiàng)為1,1，1,1，1，明顯數(shù)列an不是等差數(shù)列，也不是單調(diào)遞增數(shù)列，也不是單調(diào)遞減數(shù)列，排除BCD又當(dāng)n2，nN*時(shí)，eq f(an,an1)eq f(1n,1n1)1為常數(shù)，故數(shù)列an是等比數(shù)列故選A3若各項(xiàng)均為正數(shù)

15、的等比數(shù)列an滿足a33a12a2，則公比q()A1 B2 C3 D4C解析：因?yàn)閍33a12a2，所以a1q23a12a1q.又a10，所以q22q30.又q0，解得q3.故選C4.若數(shù)列1，a，b，c，9成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的值為()A3 B3 C3 D不能確定A解析：1，a，b，c，9成等比數(shù)列，1，a，b成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，b，c，9成等比數(shù)列，a2b，b2ac，c29b.b4a2c2(1)(9)b2.b29.又a2b0，b0，b3.5在等比數(shù)列an中，a22，a516.求an的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意，得eq blcrc (avs4alco1(a1q2，,a1q416，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,q2.)所以an的通項(xiàng)公式為an2n1.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)