【張量分析ppt課件】張量分析課件第二章 矢量代數(shù)與矢量分析

1、第二章 矢量代數(shù)和矢量分析在第一章中給出了Euclid矢量空間V。V中的元素是除度量大小的數(shù)量外還具有方向的量。這些量被稱為矢量（按張量空間的一般敘述，矢量也被稱為一階張量）。這一章主要對具有給定標準正交坐標系 o；i1，i2，i3的Euclid矢量空間進行討論。 編輯課件2.1 矢量集合的運算設r1，r2，r3是V的一組基底，由（1.3-2）式可知x V可在r1，r2，r3的基底上唯一地線性表示為： 其系數(shù)xi (i =1, 2, 3 )稱為x在基底r1，r2，r3上的坐標。且記為（x1，x2，x3）。x在r1，r2，r3上的線性表示實質上是x的加法分解表示。即x是矢量 x1r1，x2r2，

2、x3r3 V 的矢量和。由平行四邊形法則，x1，x2，x3是由平行性所確定（如圖21）。 x 3x 2x 1r 3r 2r 1圖21編輯課件投影：對a、b V將b的始點平移至a的始點o；由b的終點作與a 矢量線垂直的垂線。且與a矢量交與a點；則a矢量的始點o指向a點的有向線段長度值稱為b在a上的投影。 abboa圖22注意：a矢量的始點o指向a點與a矢量方向相反，其投影值為負 。a矢量的始點o指向a點與a矢量方向一致，其投影值為正 。編輯課件例1：解：給定二維矢量空間矢量x。試求在給定基底r1，r2（非正交）和i1，i2中的坐標和投影。x 1xx 2X 2X 1r 2r 1o(a)X 1x 1

3、x 2X 2xi2i1(b)圖23在r1，r2基底上按平行四邊形法則，可確定x的坐標為（x1， x2）。按投影法則可的x在r1， r2上的投影為X1，X2?；蛐问缴嫌洖椋╔1，X2）。如圖23（a）所示。 在i1，i2基底上，因 i1 i2，所以平行四邊形法則所得四邊形與投影法則所得四邊形重合。顯然x的坐標（x1，x2）和x在i1，i2上的投影（ X1，X2）形式上相同。如圖23（b）所示。 編輯課件設V的坐標系為o；i1，i2，i3，V中矢量的加法和矢量與數(shù)量的標量積按（1.1-3）和（1.1-4）定義，即對x，y V；， F有 （2.1-3） （2.1-2） 定義 x 與 y 的逆矢量（-

4、 y）的加法運算為 x 與 y 的減法運算（ x 減 y 或 x 與 y 之差） 在矢量的加法和減法運算中定義單位元素為：同時長度為1的矢量稱為單位矢量。應當注意單位矢量元素和單位矢量的區(qū)別。 編輯課件例2： 圖 24 所示具有坐標系的矢空間 V 中矢量a、 b。試求 2a +1.5b在o；i1， i2 中的表示。ox 2x 13ab32121圖24解：例3： abx 2x 1(a)a- bx 2x 1(b)a - b- bax 2x 1(c)圖25如圖25（a）所示給定矢量a、b，根據(jù)平行四邊形法則用幾何作圖給出ab矢量的幾何表示。 解：見圖25（b）（c）編輯課件定義數(shù)量積 定義矢量積 定

5、義混合積 其中ij稱為Kronecker符號。 其中eijk稱為Ricci置換符號。 （2.1-4） （2.1-5） （2.1-6） （2.1-7） （2.1-8） 編輯課件Kronecker符號三維矢量空間 取值表： Ricci置換符號三維矢量空間 取值表： （2.1-9） （2.1-11） 但應當特別注意的是： （2.1-10） 例4： 若i1，i2，i3是V的標準正交矢量。計算iiij (i , j = 1,2,3) 。解： 綜合以上各式可得： （2.1-12） 編輯課件證明矢量的叉積和混合積有以下結論： 例5：1 （2.1-13） 2 3 4 （2.1-14） （2.1-15） （2.

6、1-16） 證：1 2 編輯課件3 4 編輯課件例6：證明e恒等式： 證：由（2.1-12）式有： i e 只有當 i = e 時為 1 ，其余為零。 由(2.1-16)式：最后得：編輯課件例7： a、bV。證明： 證：bao 1oababi圖26 對三維矢量空間ab的幾何表示如圖26所示。 編輯課件2.2 仿射（斜角）坐標系在三維矢量空間V 中不存在一組四個線性獨立的矢量，但同時 V 中存在許多組三個線性獨立矢量。V 中的任意一組三個獨立的矢量都可以作為基底。與之相應的可以構造對應的坐標系o；r1，r2，r3。一般情況下 r1，r2，r3不是單位長度，且不一定兩兩正交。V中的坐標系o；r1，

7、r2， r3稱為仿射坐標系。當 r1，r2，r3均為單位矢量，且兩兩正交時稱為標準正交坐標系。記為o；i1，i2，i3。 從線性相關的概念，三維矢量空間的任意矢量 a V 都能夠在坐標系o；r1，r2，r3中線性表示為： 是a在基底r1，r2，r3上的坐標。 編輯課件由于r1，r2，r3不在兩兩正交，因此對x，y V兩矢量的點積只能表示為： 而不能象標準正交基底那要表示為：仿射坐標系的對偶（或到逆）基底： 設r1，r2，r3是V的一組基底，構造如下三個矢量： （2.2-1） 并稱r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的對偶（或互逆）基底。同時對任意a V構造： （2.2-2） 編輯課件 基底r

8、1，r2，r3的對偶基底具有基本性質： 1正交性： （2.2-3） 2r1，r2，r3線性無關（因此可作為V的基底）： 證： 1 同理可證 ：同理可證：2 r1，r2，r3線性無關 ,上式化為： 編輯課件用r1，r2，r3點乘上式兩邊得：顯然只有當時： r1，r2，r3線性無關。由對偶基底的基本性質2： 是在對偶基底坐標系中的坐標。特別應當注意的是a在對偶基底上的坐標與式（2.2-2）定義的 a1，a2，a3 的區(qū)別 (a1，a2，a3是由投影法則確定 )如圖（27）所示。 a 2a 2a 1r 1r 2a 1圖27對r1，r2，r3由（2.2-1）： 編輯課件同理可得r 2，r 3的對偶基表

9、示。最后得：（2.2-4） 與（2.2-1）比較可知r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的對偶（或互逆）基底(r1，r2，r3和r1，r2，r3互為對偶基底)。按（2.2-2）式可構造： （2.2-5） 矢量空間V中互為對偶的基底是一組基底的兩種不同的表達形式。對任意矢量 aV ：r1，r2，r3是基底上：r1，r2，r3是基底上：（a） （b） 由（2.2-2）和（2.2-1）得：（c） 編輯課件將（c）代入（a）得：（d） 由（2.2-5）和（2.2-4）同樣可得：（e） （f）由（d）和（f）式有：（2.2-6） Einstein求和約定：仿射坐標系中上標和下標重復且僅重復一次表示從1

10、到3求和。 同是上標或同是下標重復且僅重復一次不表示求和。如： （2.2-6）式中a1, a2, a3 (a1, a2, a3)不是 a 在 r1, r2, r3 (r1, r2, r3 ) 中的坐標（平行四邊法則）的表示，而是 a 在 r1, r2, r3(r1, r2, r3 )基矢量上的投影。且稱 a1, a2, a3是 a 的協(xié)變分量； a1, a2, a3是 a 的逆變分量。 r1, r2, r3 是 a 的協(xié)變基矢量； r1, r2, r3 是 a 的逆變基矢量。編輯課件a 2a 2a 2a 2a 1a 1a 1a 1ar 2r 2r 1r 1圖28例8： 如圖28所示基底r1，r

11、2，r3。其中r3是垂直于 r1，r2所在平面的單位矢量。試確定 r1，r2，r3 的對偶基底；圖中矢量a的坐標表示和協(xié)變、逆變分量表示。 解： r1，r2，r3如圖所示。由圖中還可得： 最后得： 編輯課件o；i1，i2，i3是V的標準正交坐標系。試求：例9： 以矢量 為仿射坐標系基矢量的對偶基底。 在o；r1，r2，r3基底及其對偶基底上求：的協(xié)變和逆變分量表示。解： 編輯課件例10： r1 = i2 + i3 ，r2 = i3 + i1 ，r3 = i1 + i2 。矢量a = 2r1 + r2 + 3r3 ，b = r13r2 + 2r3 ， =3r1 + r2r3 。試求： 1 2 3

12、 4 解： 或 編輯課件因此a、b、c又可表示為：1 2 3 4 編輯課件在例10中協(xié)變基底和逆變基底存在關系 盡管r1，r2，r3和r1，r2，r3是V中兩組線性無關的矢量。但它們是V中一組基底的兩種不同表示方法。如果在V中給出兩組基底 r1，r2，r3和 e1，e2，e3。那么e1，e2，e3作為V中矢量可以用基底r1，r2，r3表示為： 稱為e1在r1，r2，r3仿射坐標系中的坐標。 稱為e2在r1，r2，r3仿射坐標系中的坐標。 稱為e3在r1，r2，r3仿射坐標系中的坐標。 同樣r1，r2，r3作為V中矢量可以用基底e1，e2，e3表示為 （2.2-7） （2.2-7a） （2.2-

13、7）和（2.2-7a）稱為兩組基底r1，r2，r3和e1，e2，e3之間的坐標基底變換。 編輯課件設r1，r2，r3；e1，e2，e3是V中的兩組基底。兩組基底之間滿足（2.2-7）或（2.2-7a）變換關系。r1，r2，r3；e1，e2，e3是r1，r2，r3；e1，e2，e3的對偶基底。對任意aV有： （2.2-8） 由 可得： （2.2-9a） 編輯課件同理由 還可得： 將（2.2-9b）代入（2.2-9a）得：利用Einstein求和約定。（2.2-7）（2.2-10）可表示為：（2.2-9b） （2.2-10） （2.2-11） （2.2-11）式給出了協(xié)變基底到協(xié)變基底的變換。同樣

14、也可得出協(xié)變基底到逆變基底 ；逆變基底到協(xié)變基底 ；逆變基底到逆變基底所對應的變換。 編輯課件在標準正交坐標系（ r1，r2，r3 和 e1，e2，e3均是標準正交坐標系）中，由于 r1 = r 1，r2 = r 2，r3 = r 3，和e1 = e 1 ， e2 = e 2，e3 = e 3 。協(xié)變基底與逆變基底相同。同時協(xié)變分量與逆變分量相同。這時（2.2-11）到（2.2-14）的表達式均可表達為： （2.2-12） （2.2-13） （2.2-14） 以下給出這三種基底間變換的表達式： （2.2-15） 編輯課件例11： 已知r1 = i1，r2 = i1+ i2，r3 = i1+ i2 + i3和e1 =