相對論精華專題

1、相對論引入：相對論是本世紀物理學的最偉大的成就之一，它標志著物理學的重大發(fā)展，使一些物理學的基本概念發(fā) 生了深刻的變革。狹義相對論提出了新的時空觀，建立了高速運動物體的力學規(guī)律，揭露了質(zhì)量和能量的 內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)成了近代物理學的兩大支柱之一。一.伽利略相對性原理1632年，伽利略發(fā)表了關(guān)于兩種世界體系的對話一書，作出了如下概述：相對任何慣性系，力學規(guī)律都具有相同的形式，換言之，在描述力學的規(guī)律上，一切慣性系都是等價 的。這一原理稱為伽利略相對性原理，或經(jīng)典力學的相對性系原理。其中“慣性系”是指凡是牛頓運動定 律成立的參照系。二.狹義相對論的基本原理19世紀中葉，麥克斯韋在總結(jié)前人研究電磁現(xiàn)象的基

2、礎上，建立了完整的電磁理論，又稱麥克斯韋電 磁場方程組。麥克斯韋電磁理論不但能夠解釋當時已知的電磁現(xiàn)象，而且預言了電磁波的存在，確認光是波長較短的電磁波，電磁波在真空中的傳播速度為一常數(shù)，CnSOX108米/秒，并很快為實驗所證實。從麥氏方程組中解出的光在真空中的傳播速度與光源的速度無關(guān)。如果光波也和聲波一樣，是靠一種媒質(zhì)（以太）傳播的，那么光速相對于絕對靜止的以太就應該是不變的。科學家們?yōu)榱藢ふ乙蕴隽舜罅?的實驗，其中以美國物理學家邁克耳孫和莫雷實驗最為著名。這個實驗不但沒能證明以太的存在，相反卻 宣判了以太的死刑，證明光速相對于地球是各向同性的。但是這卻與經(jīng)典的運動學理論相矛盾。愛因斯坦

3、分析了物理學的發(fā)展，特別是電磁理論，擺脫了絕對時空觀的束縛，科學地提出了兩條假設， 作為狹義相對論的兩條基本原理：1、狹義相對論的相對性原理在所有的慣性系中，物理定律都具有相同的表達形式。這條原理是力學相對性原理的推廣，它不僅適用于力學定律，乃至適合電磁學，光學等所有物理定律。 狹義相對論的相對性原理表明物理學定律與慣性參照系的選擇無關(guān)，或者說一切慣性系都是等價的，人們 不論在哪個慣性系中做實驗，都不能確定該慣性系是靜止的，還是在作勻速直線運動。2、光速不變原理在所有的慣性系中，測得真空中的光速都等于c,與光源的運動無關(guān)。邁克耳孫一莫雷實驗是光速不變原理的有力的實驗證明。事件 任何一個現(xiàn)象稱為

4、一個事件。物質(zhì)運動可以看做一連串事件的發(fā)展過程，事件可以有各種具體 內(nèi)容，如開始講演、火車到站、粒子衰變等，但它總是在一定的地點于一定時刻發(fā)生，因此我們用四個坐 標（x, y, z, t）代表一個事件。間隔 設兩事件（為，,，411）與（x2，y2，z2,t2）,我們定義這兩事件的間隔為s2 =c2(t2 -t1 2 -(X2 -X1 2 (V2 y1 f -(Z2 -Z1 2間隔不變性設兩事件在某一參考系中的時空坐標為（。必2,匕）與（X2,y2,Z2，t2）,其間隔為s2-t1 2 -(X2 -X1 f -(y2 - y1 f -4 2在另一參考系中觀察這兩事件的時空坐標為（X1,y1,乙

5、，力）與（X2,y2,Z2, t2 ）,其間隔為由光速不變性可得2, s=c2 心 - 3 2 -(X2 - X1 ) 一 5 一 y1 2 - 3 - Z1s2=s2,這種關(guān)系稱為間隔不變性。它表示兩事件的間隔不因參考系變換而改變。它是相對論時空觀的一個基本關(guān)系。3.相對論的實驗基礎斐索實驗上世紀人們用“以太”理論來解釋電磁現(xiàn)象，認為電磁場是一種充滿整個空間的特殊介質(zhì)“以太”的運動狀態(tài)。麥克斯韋方程在相對以太靜止的參考系中才精確成立，于是人們提出地球或其他運動物體是否帶著以太運動？斐索實驗（1851年）就是測定運動媒質(zhì)的光速實驗。其實驗裝置如圖21所示；光由光源 L射出后，經(jīng)半透鏡 P分為兩

6、束，一束透過P到鏡Mi,然后反射到 M2,再經(jīng)鏡 M3到P,其中一部分透過 P到目鏡T。另一束由P反射后，經(jīng)鏡 M3、M2和Mi再回到P時，一部分被反射，亦到目鏡To光線傳播途中置有水管，整個裝置是固定于地球上的，當管中水不流動時，兩光束經(jīng)歷的時間相等， 因而到達目鏡中無位相差。當水管中的水流動時，兩束光中一束順水流傳播，一束逆水流傳播。設水管的c長度皆為l ,水的流速為 V,折射率為 n,光在水中的速度為n。設水完全帶動以太，則光順水的傳播速度數(shù)（曳引系數(shù)）為k,;若水完全不帶動以太，光對裝置的速度順逆水均為c,c,一kvkv則順水為n ,逆水為n, 2l :t =c .- kv n21ck

7、v n斐索測量干涉現(xiàn)象的變化，測得k =1 - 1 nn ；若部分被帶動，令帶動系,k多少由實驗測定，這時兩束光到達目鏡4lkv c2 n,所以光在介質(zhì)參考系中的傳播速度為T的時差c 11、 口u =+ 1 一 vcOSHn n）式中0是光線傳播方向與介質(zhì)運動方向間的夾角。現(xiàn)在我們知道，勻速運動介質(zhì)中的光速 可由相對論的速度合成公式求得，設介質(zhì)（水）相對實驗室沿 X軸方向以速度 v運動,選S系固定在介質(zhì)上，在 S上觀察，介質(zhì)中c的光速各方向都是n ,所以光相對實驗室的c vn u -c 一 v1 -2cc v n1 -cncn由此可知，由相對論的觀點，根本不需要“以太”的假說，更談不到曳引系數(shù)

8、了。邁克爾孫一莫來實驗邁克爾孫一莫來于1887年利用靈敏的干涉儀，方法測定地球的絕對運動。實驗時先使干涉儀的 的運動方向平行，另一臂與地球的運動方向垂直。 理論，在運動的系統(tǒng)中，光速應該各向不等，因 涉條紋。再使整個儀器轉(zhuǎn)過90,就應該發(fā)現(xiàn)條紋紋移動的總數(shù)，就可算出地球運動的速度V。邁克實驗的裝置如圖所示，使一束由光源S射來的平光線傾斜 45角的半鍍銀鏡面M上，被分成兩束互Mi企圖用光學 一臂與地球 按照經(jīng)典的 而可看到干 的移到，由條 爾孫一莫來 行光，到達對 相垂直的相干光。其中透射部分沿MM2方向前進，被鏡M2反射回來，至ij M上，再部分地反射后沿MT進行；反射部分沿 MMi方行進行，

9、被鏡反射回來后再到達M上，光線部分透過, 也與gMT進行。這兩束光在 MTT向上互相干涉。而在 T處觀察或攝影，由于 MM 2臂沿著地球運動方向，臂MMi垂直于地球運動方向，若MM2=MMi=|,地球的運動速度為v,則兩束光回到M點的時間差為當儀器繞豎直軸旋轉(zhuǎn)90角，使MM1變?yōu)檠氐厍蜻\動方向，MM2垂直于地球運動方向，則兩束光到達M的時差為 2 寸 m v !t = 一c c.J我們知道，當時間差的改變量是光波的一個周期90后，在望遠鏡 T處看到的干涉條紋移動的總數(shù)為Ti時，就引起一條干涉條紋的移動，所以，當儀器轉(zhuǎn)動2lTi式中入是波長，當l=ii米，v=3Mi04米/秒，c=3m108米/

10、秒，所用光波的波長 九=5.9Mi0，米時，則NI- 0.4,這相當于在儀器旋轉(zhuǎn)前為明條紋，旋轉(zhuǎn)以1變?yōu)榘禇l紋。但是他們在實驗中測得 N- 100 ,論是在白天、夜晚以及一年中的所有季節(jié)進行實得到否定的結(jié)果，就是說光學的方法亦測不出所在（地球）的運動狀態(tài)。三。相對論的推論：后幾乎1.時間膨脹假定列車（K系）以勻速V相對于路基行駛，車廂里一邊裝有光源，緊挨著它有一標準鐘。正對面放置一面反射鏡M,可使橫向發(fā)射的光脈沖原路返回。設車廂的寬度為b,則在光脈沖來回往返過程中，車上的鐘走過的時間為寸=生c從路基（K系）的觀點看，由于列車在行進,光線走的是鋸齒形路徑，光線來回”一次的時間為:21t = c注

11、意，這里用到了在兩參考系中車廂的寬度b一樣的性質(zhì)。由兩式消去 b,得At和A之間的關(guān)系:d V21-c2式中v=, c一一1 -1 J2這就是說，在一個慣性系 叫做愛因斯坦延緩，時間膨脹,（如上述K系）或鐘慢效應。中，運動的鐘（如上述列車里的鐘）比靜止的鐘走得慢。這種效應.長度收縮為了在相對靜止的參考系K內(nèi)測量一直桿的長度，可在直桿的一端加一脈沖激光器和一接收器， 鏡，如圖所示。精密測得光束往返的時間間隔 得知直桿的長度 L = cAt /2.按照光速不變原理，光速 c是不變的。另一端設一反射A俯，即可另外，根據(jù)式,從K系觀測上述測量過程的時間間隔A t與在K系本身里的時間間隔At是可比白性H

12、I2式中V為直桿在K系中的速度。下面我們就來看，此測量過程在K系里是怎樣表現(xiàn)的，并從中找到At和L的關(guān)系。=L()平面鐐接收器檄光管F&一測量固有長度ipcAti 平面鏡卜前傳的光程接收器。返回的光程在K系中觀測，光束往返的路徑長度 di和d2是不等的，從而所需的時間A1和A2也不等。設直桿以速度 V同理會沿自身長度的方向運動，它在時間間隔a 1內(nèi)走過距離VA ti,故d產(chǎn)L+V&m而Atl = ；Tv有：& =而% = &/%由此得：tAt =+ At2 = L(eTv c+VJ-c(l-V2/c2)那么-；由于上式里的根式小于1,結(jié)合時間關(guān)系有I -1.八/|“，I.,/ K這就是說，物體

13、沿運動方向的長度比其固有長度短。這種效應叫做洛倫茲收縮，或尺縮效應。3.洛侖茲變換與速度變換為簡明起見，設兩坐標原點O、O在t=t = 0時刻重合，且 K系V沿彼此重合的x和x軸正方向運動，而 y和y軸、z和z軸保持平OO，： =Vt設在x、x軸上的A點發(fā)生一事件，對 K系來說A點的坐標為X=OA=OOI +0飆Ji-vG 式中的根式以勻速行。于是是由于K系以速度V相對于K系運動而出現(xiàn)的尺縮因子，于是有x -Vt-Vt=vt+7Tvy77)Bx：芯反之，從K系到K系的逆變換：從以上父-Vt兩式消去x:一 ,./+VtJ )如果A點不在x、x軸上，則由于垂直方向長度不變，我們有 V = y z=

14、綜上所述，我們得到從 K系到K系 空間、時間坐標的變換關(guān)系：x - Vt口= = 7(x- Pct), VI - V2/JV，r 赤一1)1 -V /c2t= /、=r = * -/c).17仙J另一方面，根據(jù)相對論的速度合成公式，我們有u二樂即11一六 TOC o 1-5 h z t-Vx/cJcf 口 3 = T Ct - p x / c)VI-v5J以上便是著名的洛倫茲變換方程。易見，在Vc,的情況下，洛倫茲變換式將過渡到非相對論的伽利略變換.動量、質(zhì)量與速度的關(guān)系我們?nèi)远x，一個質(zhì)點的動量p是一個與它的速K系k,系度 v, ,i L同方向的矢量，寫成 p=mv,f .(力m(v) I甌

15、人我們把上式中動量與速度的比例系數(shù) m仍定義 sa童前豈 為該質(zhì)點的質(zhì)量，不過，由于在數(shù)量上 p不一定與v有正A54 B 比關(guān)系，我們把對此的偏離都歸結(jié)到比例系數(shù) m內(nèi)，即假 、 NQ)I-1設質(zhì)量m是速度的函數(shù)。碰撞后考查一個例子一一全同粒子的完全非彈性碰撞。如圖所示，A、B兩個全同粒子正碰后結(jié)合成為一個復合粒子。我們從 K、K兩個慣性參考系來討論這個事件：在 K系 中B粒子靜止，A粒子的速度為v,它們的質(zhì)量分別為 mB=mo和mA= m (v);在K系中A粒子靜止，B粒子的速度為-v,它們的質(zhì)量分別為 mA=mo和mB=m (v).顯然，K系相對于K系的速度為v.設碰撞后復合粒子在 K系

16、的速度為u,質(zhì)量為M (u);在K系的速度為u,由對稱性可以看出，u=-u,故復合粒子的質(zhì)量仍為 M (u)。根 據(jù)守恒定律，我們有質(zhì)量守恒：m (v) + m0= M (u), 動量守恒：m (v) v= M (u) u.由此得出二蟲中工工m(v) m(v) u-=1 J1 , m (v) = f = 7mO,由此解得uJi-/J即：運動物體質(zhì)量多.功和動能牛頓力學里把力定義為動量的時間變化率，這個定義是可直接推廣到相對論中的。f =.其中p = m (v) p = 7 叫k也Vl-v1/?這是牛頓第二定律在相對論中的推廣。我們假定在相對論中，功能關(guān)系仍具有牛頓力學中的形式。物體的動能Ek。

17、等于外力使它由靜止狀態(tài)到運動狀態(tài)所作的功：=管*加,卜吊卜切:吊2二卜fcVI - v /c即Ek= （mmo） c2.這便是相對論的 質(zhì)點動能公式6.相對論動量和能量的關(guān)系：現(xiàn)在我們易證+ m臚44E = JpY+m；J.這便是相對論的能量動量關(guān)系。有些微觀粒子，如光子、中微子，是沒有靜質(zhì)量的，因而也沒有靜質(zhì)能。它們沒有靜止狀態(tài)，一出現(xiàn)，速率總是c.它們有一定的能量 E, m0=0,得這類粒子動量的大小與能量的關(guān)系式：c我們也可以根據(jù)質(zhì)能關(guān)系定義它們的動質(zhì)量 m=E/c2,但這類粒子的速率 c是不變的，質(zhì)量喪失了慣性方面的 含義（但引力等效任有意義）。一個電子和一個正電子遇到一起，可以湮沒，

18、變成兩個丫光子。這是靜質(zhì)能全部轉(zhuǎn)化為動能的例子。廣義相對論初步性系推廣數(shù)學運算狹義相對論在慣性系里研究物理規(guī)律，不能處理引力問題。1915年，愛因斯坦在數(shù)學家的協(xié)助下，把相對性原理從慣到任意參照系，發(fā)表了廣義相對論。由于這個理論過于抽象，過于復雜，這里只做個大概描述。非慣性系與慣性力牛頓運動定律在慣性系里才成立，在相對慣性系做加速運動的參照系（稱非慣性系）里，會出現(xiàn)什么情況呢？例如，在一列以加速度ai做直線運動的車廂里，有一個質(zhì)量為m的小球，小球保持靜止狀態(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運動定律。相對于非慣性系的車廂來觀測，小球以加速度-ai向后運動，而小球沒有受到其他物體力的作用，牛頓運動定

19、律不再成立。不過，車廂里的人可以認為小球受到一向后的力，把牛頓運動定律寫為f慣二一mai。這樣的力不是其他物體的作用，而是由參照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力。如果一非慣性系以加速度ai相對慣性系ai ,相對于車廂人感覺向而運動，則在此非慣性里，任一質(zhì)量為m的物體受到一慣性力mai,把慣性力mai計入在內(nèi)，在非慣性里也可以應用牛頓定律。當汽車拐彎做圓周運動時，相對于地面出現(xiàn)向心加速度 外傾倒，常說受到了離心力，正確地說應是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量根據(jù)牛頓運動定律，力一定時，物體的加速度與質(zhì)量成反比，牛頓定律中的質(zhì)量度量了物體的慣性，稱為慣性質(zhì)量，以m慣為符

20、號，有F = m慣 a根據(jù)萬有引力定律，兩物體（質(zhì)點）間的引力和它們的質(zhì)量乘積成正比。萬有引力定律中的質(zhì)量，類似于庫侖定律中的電荷，稱為引力質(zhì)量，以m引為符號。慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量是兩個不同的概念，沒有必然相等的邏輯關(guān)系，它們是否相等，應由實驗來檢驗。本世紀初，匈牙利物理學家厄缶應用扭秤證明，只要單位選擇恰當，慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等，實驗精度斤）慣和ml ,以M引代表地球達10上。后來，人們又把兩者相等的實驗精度提高到10,2。設一物體在地面上做自由落體運動，此物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量分別為的引力質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有R2二m慣g2m5i = m慣，所以g = GM引/ R ,

21、與式中G為萬有引力常量，R為地球半徑，g為物體下落的加速度。因為物體的質(zhì)量無關(guān)。這就是伽利略自由落體實驗的結(jié)論。既然慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等，就可以簡單地應用質(zhì)量一詞，并應用相同的單位。質(zhì)量也度量了物質(zhì)的多少。廣義相對論的基本原理愛因斯坦提出廣義相對論，主要依據(jù)就是引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的實驗事實。既然引力質(zhì)量和慣性相等，就無法把加速坐標系中的慣性力和引力區(qū)分開來。比如，在地面上，物體以g = 9.8米/秒2的加速度向下運動。這是地球引力作用的結(jié)果。設想在沒有引力的太空，一個飛船以a = 98米/秒2做直線運動（現(xiàn)在可以做到），宇航員感受到慣性力，力的方向與a的方向相反，這時他完全可以認為是受到

22、引力的作用。勻加速的參照系與均勻引力場等效，這是愛因斯坦提出的等效原理的特殊形式。因為引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等，所以，在均勻引力場中，不同的物體以相同的加速度運動。這也是伽利略自由落體實驗的結(jié)果。它可一般敘述為：在引力場中，如無其他力作用，任何質(zhì)量的質(zhì)點的運動規(guī)律都相同。這是等效原理的另 一種表述。由于等效原理，相對于做加速運動的參照系來觀測，任一質(zhì)點的運動規(guī)律都是引力作用的結(jié)果，具有 相同的規(guī)律形式。愛因斯坦進一步假設，相對任何一種坐標系，物理學的基本規(guī)律都具有相同的形式。這個原理表明，一切參照系都是平等的，所以又稱為廣義協(xié)變性原理。等效性原理和廣義協(xié)變性原理是廣義相對論的基本原理。廣義本目對論的實驗驗證在廣義相對論的基本原理下，應建立新的引力理論和運動定律,愛因斯坦完成了這個任務。這樣，牛頓運動定律和萬有引力定律成為一定條件下廣義相對論的近似規(guī)律。根據(jù)廣義相對論得出的許多重要結(jié)論，有一些已得到實驗證實。下面