不等式基本不等式對勾函數(shù)判別式解法

1、不等式是高考必考的熱點(diǎn)內(nèi)容，考查的廣度和深度是其他章節(jié)無法比擬的，任何一份高考試卷中，涉及到不等式內(nèi)容的考點(diǎn)所占比例超過70%。一方面，考查不等式的性質(zhì)、解法、證明以及實(shí)際應(yīng)用；另一方面，與高中階段的數(shù)學(xué)各個(gè)部分都存在著密切的聯(lián)系。因此，對于不等式的學(xué)習(xí)，應(yīng)達(dá)到多層面，多角度熟練掌握的程度。第一節(jié)基本不等式1.證明：當(dāng),展開后即可得到所求不等式及等號成立的條件。2.基本不等式的變形（包括2 個(gè)方面） TOC o 1-5 h z 若,若,若,（ 上述 3 個(gè)不等式，考慮如何證明？）注：上述的不能僅僅理解為兩個(gè)參數(shù)，它可以是表達(dá)式或函數(shù)的解析式。（注意：不等式的右邊是）例題1.已知解：，；求有兩種

2、方法，其一是配式，；另一種方法是，由,。例題2.已知,求證：。證明：由基本不等式得：，而條件是,即對于不等式等號成立，即 注：本題把等號成立的條件，作為求證的目標(biāo)，比較新穎。例題 3.已知解：,這里,注：解答本題的關(guān)鍵是，如何運(yùn)用好，兩次使用了基本不等式，但不矛盾。例題4.求的最大值。解：函數(shù)的定義域?yàn)?可以用其它的方法來解，比如用兩邊平方轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求極值等。但由于兩式平方和為常數(shù)3，故應(yīng)用基本不等式的變形公式簡單些。2 TOC o 1-5 h z ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故。例題 5. 已知, 則的最小值為（）。解：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，的最小值?6.注：這里要求2 元表達(dá)式的的最值，不能直接整

3、體應(yīng)用基本不等式（即不能直接整體消去a、 b）而且也沒有給出條件等式（即不可能代入消元）, 因此，對局部用基本不等式的變形公式進(jìn)行處理。例題 6. 若二次函數(shù)的值域?yàn)?,+ ）, 則的最小值為（）。解：由題意得則， 當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2 時(shí)， 等號成立，所以的最小值為。注：本題也可用消元法，由消去 a 或c，比較麻煩。例題 7. 已知 a,b,c0, 且例題 8. 已知 a,b,c0, 且的最大值為（） 解：, 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所求的最大值為。例題 9. 已知函數(shù)的定義域是a,b, 其中， （1） 求 的最小值；（2） 若, 求證：.解： （1） 由基本不等式的變形公式可得，, 上面各式等號成

4、立的條件都是：時(shí)取得（雖然兩次使用了基本不等式，但x 的取值不矛盾），（2） 設(shè)時(shí)，由 （1） 的結(jié)論可得：, 同理由得：上面兩次用到基本不等式，等號成立的條件都是s=2 時(shí)取得，（2） 得證。例題10.已知兩條直線和圖象從左至右相交于A,B, 與函數(shù)圖象從左至右相交于C,D,記線段AC和 BD在 x軸上的投影長度分別為a,b,當(dāng)m 變化時(shí)，的最小值為（）。解：在同一坐標(biāo)系中作出,圖象，令, TOC o 1-5 h z , 故由,當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故（。注： 本題經(jīng)過巧妙的”偽裝”,將 基本不等式融入到函數(shù)中， 將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，實(shí)現(xiàn)基本不等式模型的構(gòu)建，對學(xué)生的運(yùn)算能力和思維水平提

5、出了很高要求，具有較好的區(qū)分度。例題11.若平面向量滿足，則 的最小值是（）。解：由，兩邊平方，得4，由基本不等式得：4（當(dāng)且僅當(dāng)）。 設(shè)為 夾角 （）,則當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)）， 因此。注： 本題將基本不等式與向量 相結(jié)合，通過將向量的模平方，借助基本不等式和斜率數(shù)量積的性質(zhì)，建立關(guān)于的不等式。此題視角獨(dú)特，構(gòu)思精心。例題12.函數(shù)圖像上兩相鄰的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)之間的最小值是（）。解：如圖，設(shè)函數(shù)圖像上兩相鄰點(diǎn)中最高點(diǎn)為A,最低點(diǎn)為B 且過 A點(diǎn)平行與 x軸的直線與過B 點(diǎn)垂直于x 軸的直線相交于C,則，即，故注：本題將基本不等式滲透到三角函數(shù)中，關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的周期、振幅，合理表示出相鄰的最

6、低點(diǎn)與最高點(diǎn)的距離。此題情景新穎，自然貼切，這種不拘題型約束的命題方式是高考的一大亮點(diǎn)。例題13.設(shè)是等比數(shù)列，公比，的前 n 項(xiàng)和， 記。 記 為數(shù)列的最大項(xiàng)，則 ().解：由題意， TOC o 1-5 h z ，此時(shí)。注：本題將基本不等式嵌入數(shù)列解題中，運(yùn)用數(shù)列的基本量及性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于n 的代數(shù)式，通過換元后轉(zhuǎn)化為基本不等式模型。例題14.一個(gè)四面體的一條長為x，其余所有棱長均為1，則此四面體體積V的最大值是()。解：由題意得：(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故的最大值是。注：本題把基本不等式與立體幾何的相關(guān)知識進(jìn)行交匯，如果學(xué)生對空間圖形有較深刻的認(rèn)識，可以準(zhǔn)確建立V(x)的函數(shù)關(guān)系式以后求

7、解，使問題的綜合性進(jìn)一步加強(qiáng)，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)試題的多變性。例題 15.平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(0， 1),B點(diǎn)在直線上， M 點(diǎn)滿足點(diǎn) M的軌跡為切線C,(1) 求 C的方程；(2)P為C上的動點(diǎn)，l 為 C在得 P處的切線，求O點(diǎn)到 l 的距離的最小值。解： (1)所以 l 的斜率為故 l 的方程為則 O 點(diǎn)到 l 的距離,又O 點(diǎn)到 l 的距離的最小值為2.與基本不等式有著密切的聯(lián)系，其圖像如右圖，第二節(jié)“對勾”函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用當(dāng) x0時(shí),;當(dāng) x0 時(shí)，兩圖像的切點(diǎn)位置是與動圓半徑大小有關(guān)的(如圖)，只有半徑 TOC o 1-5 h z 較小時(shí)，才可能相切于C。, 令,

8、則式可化為：,解得.注： 解答本題有兩個(gè)問題需要注意，一是用數(shù)形結(jié)合的方法解題時(shí)，直覺有可能是錯(cuò)誤的；二是解析式與sinx cosx與 sinx?cosx;等。如果將“對勾”函數(shù) 變形為：(a,bR),研究其圖像、性質(zhì)對解題是很有必要的。(a0,b0)此函數(shù)是由疊加而成，通過分析兩個(gè)簡單函數(shù)的圖像特征，畫出其疊加函數(shù)的圖像，是數(shù)學(xué)能力的一種體現(xiàn)。由圖像可知:關(guān)于原點(diǎn)對稱； 時(shí)，函數(shù)存在極小值點(diǎn)A( ); 時(shí)，函數(shù)存在極大值點(diǎn)B();遞減區(qū)間為：(),),遞增區(qū)間為：(),();(兩條性質(zhì)可通過導(dǎo)數(shù)證明)存在兩條漸近線：(漸近線在通過作圖解題時(shí)，起作用)。其余的三種情況的圖像如下：其性質(zhì)由同學(xué)們

9、自己小結(jié)，在此不在贅述。 TOC o 1-5 h z 例題 2.若函數(shù)的值域是 ,則函數(shù)的值域是()。解：設(shè),則,只要畫出函數(shù)的圖像可知：.注：本題看似簡單，但取不同的表達(dá)式時(shí)，情況可能變得很復(fù)雜。例題 3.設(shè)定義在(0,+ )上的函數(shù)(a0)求的最小值。解 1. (基本不等式法), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，.解2.(判別式法)設(shè)，則有,顯然,解得(舍去)，故應(yīng)將代入得：即,因此。(注：當(dāng)主元x 有范圍使用判別式法時(shí)，都應(yīng)將所求最值回代，檢驗(yàn)x 的解是否在給定的范圍內(nèi))解 3.(求導(dǎo)數(shù)法)由題意,有 ; 有.故當(dāng)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)，因此。變式1 ：設(shè)定義在(0,+)上的函數(shù)(a0)求的最小值。變式

10、2：設(shè)定義在(0, )上的函數(shù)(a0)求的最小值。變式3：設(shè)定義在0,+)上的函數(shù)(a0)求的最小值。變式4：設(shè)函數(shù)(a0)求 的最小值。變式5：設(shè)定義在(1,+ )上的函數(shù)(a0,a 1)求的最值。注：以上5 個(gè)變式，若以填空題的形式解答，可使用變量代換，用“對勾”函數(shù)的圖象直接得到答案；若變式 6：討論函數(shù)(a0,c0,n 取正整數(shù))。解：,當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，只要討論;當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，只要討論例題 4.求函數(shù)解：由于函數(shù)的分子分母的次數(shù)都是2，因此采用“配式法”降低分子的次數(shù)；令,則再令注：求型如函數(shù)的最值（值域），可通過換元法（）轉(zhuǎn)化為函數(shù)，只要討論的極值即可

11、；當(dāng)所求函數(shù)的分子分母的次數(shù)相同時(shí)（如本題）應(yīng)采用“配式法”降低分子的次數(shù)，轉(zhuǎn)化成 的形式。例題 5.,若對不等式10 在 上恒成立，求b 的取值范圍。解：上的最大值為.由函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則解得注：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，是常見的轉(zhuǎn)化形式。變換主元，把 看成關(guān)于a 的一次函數(shù), 不等式10 恒成立 （分兩步進(jìn)行） ，10恒成立，在 上單調(diào)遞減10,解得：練習(xí)1.若關(guān)于x的方程至少有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間1,2內(nèi),則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（）.練習(xí)2.若,則函數(shù)的最大值是（）。練習(xí)3.若最小值 （4）第三節(jié)判別式法解題利用一元二次方程的判別式求某些函數(shù)的值域或極值的方法，稱為判別式

12、法。判別式法的使用通常是對含有參數(shù)的二次方程。例題 1.求函數(shù)。解：由判別式可知分母，兩邊同乘以得：,將此式看成是x的方程，必有實(shí)數(shù)解，=解得：，即函數(shù)例題 2.求函數(shù)解：當(dāng)時(shí)分母雖然為0，但分子x+4 0，變形后仍然可得到關(guān)于x的二次方程，將函數(shù)的兩邊同乘得：,此方程 x顯然有實(shí)數(shù)解，=,解得：，二次項(xiàng)系數(shù)y 0，函數(shù)為注：在使用判別式法求分式函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是分式的表達(dá)式不能約分，二是變形后，二次項(xiàng)系數(shù)為0 的 y 在求得的y 的范圍內(nèi)，要代入方程驗(yàn)證。例題 3.求函數(shù)解：, 由函數(shù)的定義域知，式的值域?yàn)? 再將代入式, 得到的須刪除 , 函數(shù) 注：函數(shù)的表達(dá)式中的分式，可約分

13、時(shí)應(yīng)先約分，再求值域，最后刪除定義域中不存在點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值。例題 4.設(shè) 為實(shí)數(shù)，且首項(xiàng)為公差為 d 的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 ，滿足，求公差d 的取值范圍。解：,將其代入并化簡得： TOC o 1-5 h z 此式可看成是關(guān)于的二次方程，=，解得：。注：由于方程(*) 中的， 是方程有解的充要條件，因此不必要再對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)了。本題也可以求的取值范圍，方法相同。例題 5.,試問實(shí)數(shù)為何值時(shí)，取得最大值？解 1：利用基本不等式(略)。解2： 設(shè)代入題設(shè)等式并整理得： =， 解得：或。由知,由令，代入 (*) 式，可解得滿足題設(shè)條件，所以.注：把式看成關(guān)于a 的二次方程， 是方程在有解的必要

14、條件(不是充要條件)，因此需要通過檢驗(yàn)說明最值的取得是合理的。變式：已知實(shí)數(shù)滿足,則 b 的取值范圍是() 。例題6.如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1 千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k 與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2 千米，試問它a 不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請說明理由。解： (1)令(2)設(shè)飛行物的坐標(biāo)為(a,3.2)(a0),要擊中飛行物，其坐標(biāo)必須在炮彈飛行的軌跡方程上，即,解得：整理成關(guān)于k 的二次方

15、程得：, 要檢驗(yàn)，將代入 (*) 式，解得a 的最小值為6.10cos101010 10 tan ，coscos所求函數(shù)關(guān)系式為若OP=x(km)，則OQ 10 x，所以 OA=OB= 10 x 2102x2 20 x 200所求函數(shù)關(guān)系式為y x 2 x2 20 x 200 0 x 10注： 把 (*) 式看成關(guān)于k 的二次方程，只是方程在上有解的必要條件并不充分，應(yīng)當(dāng)通過檢驗(yàn) “當(dāng) ，”說明 a 能取得最大值6.例題7.如圖某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn) A,B 及 CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km,BC=10km,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)

16、且與A,B 等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO.OP,設(shè)排污管道的總長為ykm.按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)將 y 表成 的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)OP=x(km),將 y 表成 的函數(shù)關(guān)系式；請選用 (1) 中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。解 :(1)由條件知PQ垂直平分AB，若BAO= (rad)，則OA AQcos10故 OB ，又OP 10 10tan ，所以 y OA OB OPcos20 10sin10 0cos選擇函數(shù)模型用求導(dǎo)數(shù)的方法可以解決(省略)選擇函數(shù)模型,關(guān)鍵是去掉根號，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程，即,所以有：,解得：又當(dāng)時(shí) ,所以點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上且距離AB 邊例題 8.求證 (1)(2)分析：構(gòu)造以為系數(shù)的一元二次方程，由條件確定 c 的范圍。解： (1) 設(shè), 顯然a、 b 是 的零點(diǎn)