量子力學(xué)中科大課件Q11講稿第十一章含時(shí)問題與量子躍遷

1、第三部分 開放體系問題第十一章含時(shí)問題與量子躍遷本章討論量子力學(xué)中的時(shí)間相關(guān)現(xiàn)象。它們包括：含時(shí)問題求解的一般討論、含時(shí)微擾論、量子躍遷也即輻射的發(fā)射和吸收問題。如果說，以前各章主要研究量子力學(xué)中的穩(wěn)態(tài)問題，本章則專門討論非穩(wěn)態(tài)問題。根據(jù)第五章中有關(guān)敘述，由于我們所處時(shí)空結(jié)構(gòu)的時(shí)間軸固有的均勻性，孤立量子體系的Hamilton量必定不顯含時(shí)間，從而遵守不顯含時(shí)間的Schrdinger方程。因此，這里含時(shí)Schrdinger方程所表述的量子體系必定不是孤立的量子體系，而是某個(gè)更大的可以看作孤立系的一部分，是這個(gè)孤立系的一個(gè)子體系。當(dāng)這個(gè)子體系和孤立系的其他部分存在著能量、動(dòng)量、角動(dòng)量、甚至電荷或

2、粒子的交換時(shí)，便導(dǎo)致針對(duì)這個(gè)子體系的各類含時(shí)問題。在了解本章（以及下一章）內(nèi)容的時(shí)候，有時(shí)需要注意這一點(diǎn)。11.1含時(shí)Schrdinger方程求解的一般討論1,時(shí)間相關(guān)問題的一般分析量子力學(xué)中，時(shí)間相關(guān)問題可以分為兩類：i,體系的Hamilton量不依賴于時(shí)間。這時(shí)，要么是散射或行進(jìn)問題，要么是初始條件或邊界條件的變化使問題成為與時(shí)間相關(guān)的現(xiàn)象?！靶羞M(jìn)問題”例如，中子以一定的自旋取向進(jìn)入一均勻磁場并穿出，這是一個(gè)自旋沿磁場方向進(jìn)動(dòng)的時(shí)間相關(guān)問題； “初始條件問題”比如，波包的自由演化，這是一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的波包彌散問題。更一般地說，初態(tài)引起的含時(shí)問題可以表述為：由于Hamilton量中的某種相互

3、作用導(dǎo)致體系初態(tài)的不穩(wěn)定。例如Hamilton量中的弱相互作用導(dǎo)致初態(tài)粒子的衰變等； 最后，“邊界條件變動(dòng)”也能使問題成為一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的現(xiàn)象。例如阱壁位置隨時(shí)間變動(dòng)或振蕩的勢阱問題等。ii,體系的Hamilton量依賴于時(shí)間。這比如，頻率調(diào)制的諧振子問題或是時(shí)間相關(guān)受迫諧振子問題，交變外電磁場下原子中電子的狀態(tài)躍遷問題等等。如果問題允許有精確的、解析的解，就稱相應(yīng)的Hamilton量為可積的，相應(yīng)系統(tǒng)為可積體系。所謂“解是精確的”是指，所求的波函數(shù)能夠被表述為解析的形式或是一個(gè)積分 含時(shí)問題精確求解的論述可參見M. Kleber，Exact Solutions for Time-depend

4、ent Phenomena in Quantum Mechanics， Phys. Reports， 236，No.6 (1994)。情況和經(jīng)典力學(xué)相似，在量子力學(xué)中，時(shí)間相關(guān)可積體系比定態(tài)可積系統(tǒng)更少。絕大多數(shù)時(shí)間相關(guān)問題只能以各種近似方法求解。由于課程所限，這里只敘述時(shí)間相關(guān)的一部分問題和某些基本的近似方法。2,含時(shí)系統(tǒng)初始衰變率的一個(gè)普遍結(jié)論現(xiàn)在研究的問題可以一般地提為 (11.1)注意，通常情況是，不同時(shí)刻的可能彼此不對(duì)易，因而，時(shí)間演化算符不存在如下簡明緊湊的形式 于是，解也就不能寫成這種簡明緊湊的形式。含時(shí)量子體系問題的類型和相關(guān)計(jì)算都很復(fù)雜，但卻存在一個(gè)共同的普遍結(jié)論。定義：任意

5、不穩(wěn)定量子體系演化到時(shí)刻初態(tài)仍存活著，而不衰變(或不躍遷)的概率可定義為 (11. 2)可以證明：任何不穩(wěn)定量子體系在初始時(shí)刻的衰變(或躍遷)的速率必定為零： （11. 3）證：由于 和 于是令取極限，即得（11. 3）式。 由于這是含時(shí)體系的一個(gè)普遍結(jié)論，當(dāng)然也是下面各類含時(shí)微擾論的共同特征。表面上看，這里的量子力學(xué)結(jié)論（11. 3）式和放射源的負(fù)指數(shù)衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是互相抵觸的（初始衰變速率是）。然而，后者描述的是處于統(tǒng)計(jì)平衡的量子系綜（“在時(shí)間上先先后后”被制備出的大量同一種不穩(wěn)定粒子），因而在時(shí)間內(nèi)的衰變數(shù)必定正比于當(dāng)時(shí)的粒子數(shù)，并且“可以認(rèn)為”比例系數(shù)與無關(guān)（因?yàn)橛懈鞣N存活“年令”的不

6、穩(wěn)定粒子均衡混合著）。這樣一來，對(duì)t積分自然就得到負(fù)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)衰變規(guī)律；而（11. 3）式是指“在同一時(shí)刻”被制備出的、因而具有同一存活年令的、大量同一種不穩(wěn)定粒子的衰變規(guī)律。兩者所研究的量子系綜不同，并不相互矛盾。3,衰變體系長期衰變規(guī)律的一個(gè)分析 本段內(nèi)容可見L. Fonda，G.C. Ghirardi and A. Rimini，Decay Theory of Unstable Quantum Systems，Rep. Prog. Phys.，Vol. 41，587 (1978)。和上面初始時(shí)刻衰變特性偏離負(fù)指數(shù)相呼應(yīng)，下面證明，體系初態(tài)的衰變概率曲線當(dāng)時(shí)也將偏離負(fù)指數(shù)規(guī)律。假定所研究的

7、不穩(wěn)定體系是個(gè)孤立系，它初態(tài)的衰變完全由于內(nèi)部相互作用所致。于是Hamilton量將不顯含，并且有如記，到時(shí)刻初態(tài)的存活概率即為。我們假定，Hamilton量的能譜有一個(gè)下限。這個(gè)假定從物理上看是合理的，因?yàn)橛捎谲S遷(特別是自發(fā)躍遷)的存在，沒有這個(gè)下限的量子系統(tǒng)將會(huì)因?yàn)椴粩嗟叵蛳萝S遷、不斷地釋放能量而最終坍縮掉，從而失去研究的價(jià)值。設(shè)的本征函數(shù)族為，這里表示（除能量外的）標(biāo)記能量本征態(tài)所必須的另一些量子數(shù)。于是 ，這里 . 。顯然有由于的這個(gè)絕對(duì)可積性質(zhì)，可以直接引用富里葉變換理論中的Riemann-Lebesque定理 參見，例如，河田龍夫著，富里哀變換與拉普拉斯變換，(現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)叢書)

8、，第三頁，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1961年。，得知不但如此，根據(jù)富里葉變換理論中的Payley和Wiener定理 出處見前注中Fonda文章的參考文獻(xiàn)，為Payley和Wiener合著的書：復(fù)數(shù)域中的富里葉變換，美國羅德島州，普諾未登斯，美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，第18頁，定理12。：如果A(t)的富里葉變換像函數(shù)（）在某個(gè)下限頻率以下恒為零（現(xiàn)在在能譜下限以下恒為零），則A(t)必定滿足于是，若要此積分當(dāng)時(shí)收斂，必須有這里、為某兩個(gè)常數(shù)并且；另一方面，由于，相應(yīng)是負(fù)值，最后得 (11.4)這個(gè)結(jié)果表明，量子體系存在基態(tài)要求：在長的衰變時(shí)間下，不衰變概率必定偏離負(fù)指數(shù)規(guī)律，并且要慢于負(fù)指數(shù)的衰減。4,量子Z

9、eno效應(yīng)存在性的理論論證理論研究發(fā)現(xiàn) 這個(gè)純量子效應(yīng)最早在理論上由Sudarshan等人提出，參見J. Math. Phys.，18，756 (1977)； Phys. Rev. D，16，520 (1977)。相關(guān)論述很多，這里改進(jìn)的簡化論述取自 Y.D. Zhang，J.W. Pan and H. Rauch，Some Studies about Quantum Zeno Effects， 此文收在Fundamental Problems in Quantum Theory， edited by D.M. Greenberger and A. Zeilinger， Annals of t

10、he New York Academy of Sciences，Vol. 755，353 (1995)。，頻繁地對(duì)一個(gè)不穩(wěn)定體系進(jìn)行量子測量將會(huì)抑制或阻止它的衰變(或躍遷)。極端而言，連續(xù)的量子測量將使不穩(wěn)定體系穩(wěn)定地保持在它的初態(tài)上，完全不發(fā)生衰變或躍遷。這種不穩(wěn)定初態(tài)的存活概率隨測量頻度的增加而增加的現(xiàn)象就是量子Zeno效應(yīng)。根據(jù)上面的推導(dǎo)并結(jié)合下面敘述可以看到，這種效應(yīng)其實(shí)就是量子測量理論和方程的一個(gè)直接推論，是一種完全不存在經(jīng)典對(duì)應(yīng)的純量子現(xiàn)象。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)指出，這里的量子測量是完整意義上的量子測量，也即第一章中所論述的那一類可以分解為譜分解、隨機(jī)坍縮和初態(tài)演化三個(gè)階段的量子測量。設(shè)一個(gè)含

11、時(shí)量子體系的初態(tài)為，按上面Riemann-Lebesque定理，隨著這個(gè)不穩(wěn)定體系的演化，其初態(tài)的存活概率將越來越小。當(dāng)然，這個(gè)按它的物理含義應(yīng)當(dāng)只適用于，自開始演化之后，直到時(shí)刻才執(zhí)行檢驗(yàn)初態(tài)存活與否的量子測量，在時(shí)間間隔內(nèi)不再進(jìn)行任何這類量子測量?，F(xiàn)在問，如果在之間再附加以若干次這類量子測量，上面意義下的這個(gè)實(shí)測值會(huì)不會(huì)發(fā)生變化? 下面根據(jù)量子測量理論所作的分析表明，的實(shí)測值應(yīng)當(dāng)增加。具體如下：將區(qū)間等分為份，在每一時(shí)刻進(jìn)行一次量子測量，以確認(rèn)體系是否仍處在上。按上面關(guān)于含義的敘述，第一次在時(shí)刻測量時(shí)，初態(tài)存活概率為，按測量理論，除衰變或躍遷的已經(jīng)不予計(jì)入了以外，剩下的這部分將坍縮成為初態(tài)

12、，并以此時(shí)刻為初始時(shí)刻再次重新開始演化，演化到時(shí)刻，再次作類似測量，于是，經(jīng)兩次測量后到時(shí)刻，總計(jì)的初態(tài)存活概率成為。如此繼續(xù)推論下去，最后可得：在內(nèi)經(jīng)受次測量后，初態(tài)的存活概率為當(dāng)足夠大時(shí)足夠小，可將展開并保留到一階項(xiàng)如果令，就過渡到在內(nèi)為連續(xù)測量的理想極限情況。設(shè)這時(shí)存活概率為，有注意(11.3)式：，最后得到 (11.5)即當(dāng)一個(gè)不穩(wěn)體系經(jīng)受連續(xù)量子測量時(shí)，將一直處于它的初態(tài)而不發(fā)生(本應(yīng)發(fā)生的)衰變或躍遷。當(dāng)然，盡管連續(xù)測量在原則上是存在的，但實(shí)驗(yàn)上常常不易實(shí)現(xiàn)，因此用實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)這一效應(yīng)存在與否時(shí)，只需做到：對(duì)于給定的區(qū)間，用實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)存活概率的如下不等式即可，這里應(yīng)當(dāng)指出兩點(diǎn)：其一，最近

13、有論文表明，如果測量頻度在一定范圍內(nèi)，也可以造成反量子Zeno效應(yīng)加速衰變的效應(yīng)，具體要看衰變曲線的形狀決定。但此處推導(dǎo)已經(jīng)表明，不論衰變曲線的形狀如何，只要測量的頻度夠密，最終結(jié)果是反量子Zeno效應(yīng)將消失，總歸是量子Zeno效應(yīng)。其二，以上關(guān)于量子測量及相關(guān)的討論當(dāng)然是理想化的、概念性的。盡管如此，上面敘述還是足以令人相信：量子Zeno效應(yīng)揭示，在量子測量過程中時(shí)間實(shí)際上是停滯了。就是說，測量導(dǎo)致量子體系演化時(shí)間的塌縮 R。Coveney，et。al。，時(shí)間之箭， 第一推動(dòng)叢書，江濤，向守平譯，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1995。！這一深邃而難以捉摸的現(xiàn)象竟然直接蘊(yùn)含在量子理論的公設(shè)，特別是第三

14、、第四這兩個(gè)公設(shè)之中，這是讓人興奮而又令人費(fèi)解的。5,相互作用圖象中的處理Hamilton量中含時(shí)項(xiàng)往往只是一小部分，就是說含時(shí)項(xiàng)中含有一個(gè)小參數(shù)，于是有可能將含時(shí)Hamilton量分解成為一個(gè)不含時(shí)而且本征值本征矢量為已知的部分，加上一項(xiàng)含時(shí)的難于解析處理的部分。即常常（并不總是）能夠?qū)⒈硎緸?(11.6)這時(shí)，對(duì)Schrdinger方程作幺正變換（這就是常說的轉(zhuǎn)入相互作用圖象），記于是有完成左邊時(shí)間微商，即得相互作用圖象下的Schrdinger方程， (11.7)由于減除了的直接作用，方程(11.7)中態(tài)矢隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)將和相互作用中小參數(shù)成正比。這個(gè)特點(diǎn)極便于對(duì)方程作逐級(jí)近似，這正是這個(gè)圖

15、象的優(yōu)點(diǎn)。將(11.7)式及初條件合并寫成積分方程， (11.8)通常采用迭代法求解這個(gè)積分方程（將上一級(jí)近似解代入方程右邊積分號(hào)下，按右邊計(jì)算出這一級(jí)的近似解，再代入積分號(hào)下求下一級(jí)近似解，等等）。從開始如此迭代，展開后即得(11.9)這里右邊各項(xiàng)分別包含了的零次冪、一次冪、二次冪、等等。由于算符正比于中所含的小參數(shù)，大括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)即成為關(guān)于這個(gè)小參數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，很便于作各級(jí)近似下的截?cái)嗵幚?。這正是由于(11.7)式是從原先Hamilton量中經(jīng)幺正變換消減去了（加在上的）主要部分的緣故。注意，一般與不對(duì)易，因此即便不含時(shí)，也總會(huì)含時(shí)。 舉個(gè)例子。設(shè)，其中含有小參量，可當(dāng)作微擾。于是記，轉(zhuǎn)

16、入相互作用圖象，即引進(jìn)變換即得相互作用圖象中態(tài)矢運(yùn)動(dòng)的Schrdinger方程利用(5.79)式，算出右邊的變換，得這里。當(dāng)不是的實(shí)函數(shù)時(shí)，此方程不易解析求解。這時(shí)便可利用上面迭代所得的級(jí)數(shù)展開近似求解， 注意這里積分號(hào)內(nèi)的算符和并不依賴于時(shí)間。6,受迫振子計(jì)算 和經(jīng)典理論的情況相似，受迫振子模型在量子理論，特別是在量子場論、量子光學(xué)、固體理論中有廣泛的應(yīng)用。受迫振子是指一個(gè)受含時(shí)外力作用的諧振子，更一般地，還可以受一個(gè)與速度成正比的阻尼力的作用。此體系的Hamilton量為 （11.10）這里和為兩個(gè)實(shí)函數(shù)。轉(zhuǎn)入Fock空間并利用量子變換來解決這一含時(shí)問題。為此先作變換（參見第五章相干態(tài)敘述

17、）這里是玻色子。于是得 （11.11）對(duì)此波色子作平移變換，其中復(fù)數(shù)是的待定函數(shù)，即將此變換引入現(xiàn)在的問題：得到 （11.12）由于于是可得 （11.13）現(xiàn)在，選取待定函數(shù)，使它滿足如下方程和初條件：按一階線性非齊次微分方程通解表達(dá)式，可求得為于是原先方程變換成為對(duì)的如下簡單可解的方程： （11.14）求積此方程，最后得到的解為： （11.15）這里，乘積的具體結(jié)果要視如何而定。例如，若，則是參數(shù)的相干態(tài)。這時(shí)進(jìn)一步計(jì)算可將中間因子化為正規(guī)乘積形式，向右抽出含湮滅算子的乘子，作用到其后的并取出值，如此化簡之后，已經(jīng)容易直接計(jì)算下去。7,變頻振子計(jì)算隨時(shí)間變化振子也是量子理論中一個(gè)重要的含時(shí)模

18、型，Hamilton量為 （11.16）嚴(yán)格求解這一問題可用廣義線性量子變換理論（GLQT） GLQT是Y.D. Zhang以及Z. Tang, S.X. Yu, L. Ma, J.W. Pan 和X.W. Xu等人的工作，其中部分文章為： J. of Math. Phys., Vol. 34, 5639 (1993); Nuovo Cimento, 109 B, 387 (1994); Commun. Theor. Phys., Vol. 24, 185 (1995); J. Phys. A: Math. Gen., Vol. 27, 6563 (1994); Commun. Theor.

19、Phys., Vol. 27, 87 (1997); Phys. Rev. E, Vol. 56, 2553 (1997); Chin. Phys. Lett., Vol. 14, 812 (1997); Chin. Phys. Lett., Vol. 14, 241 (1997); Acta Physica Sinica, Vol. 48, 37 (1999)。本節(jié)敘述即取自這里最后一篇文章。按GLQT，可以假定將此含時(shí)量子體系的時(shí)間演化算符取為 （11.17）這時(shí)涉及的待定參量一共有四個(gè)：、，它們均為時(shí)間的實(shí)函數(shù)，且。符號(hào)“”表示對(duì)算符和取正規(guī)順序，即算符在乘積的左邊而在乘積的右邊，如，等

20、等。由于（?。?，GLQT給出這種滿足以下變換關(guān)系式， （11.18）展開即為將代入Schrdinger方程，得因?yàn)槌鯒l件是任意的，從等式兩邊將其刪去，即得算符方程：，或 （11.19）考慮到算符已取為正規(guī)乘積形式，因此可將時(shí)間導(dǎo)數(shù)運(yùn)算直接送入的正規(guī)乘積號(hào)之內(nèi)，按普通求導(dǎo)方式計(jì)算。將的表達(dá)式代入此算符方程，并注意變換關(guān)系式及，即可得到 （11.20）于是，對(duì)于給定的和所列的初條件，求解此四個(gè)系數(shù)函數(shù)，和的微分方程，然后將它們代入表達(dá)式，即得到解為相應(yīng)的波函數(shù)為 （11.21）這里是給定的初態(tài)波函數(shù)。利用積分公式不難算出這個(gè)對(duì)的積分，最后得到 （11.22）11.2時(shí)間相關(guān)微擾論與量子躍遷1,含時(shí)

21、擾動(dòng)及量子躍遷的概念體系的Hamilton量原來為，自某一時(shí)刻（）起經(jīng)受一擾動(dòng)，總Hamilton量成為。這時(shí)可按與時(shí)間是否有關(guān)而區(qū)分為兩種情況：第一，若與時(shí)間無關(guān)，要么是個(gè)定態(tài)微擾論問題，即定態(tài)波函數(shù)及其本征值的修正問題；要么屬于定態(tài)框架下的散射或躍遷問題，這看問題的提法及初態(tài)情況而定。與此相應(yīng)，作為展開基矢的本征函數(shù)族，原則上既可選的也可以選擇的，但通常情況是的本征函數(shù)族難于求解，只能采用的本征函數(shù)族作為展開基矢。第二，若與時(shí)間有關(guān)，則是個(gè)非定態(tài)問題。體系能量已不再守恒，狀態(tài)波函數(shù)的概率分布一般會(huì)隨時(shí)間變化。此時(shí)只能選擇的本征函數(shù)族作為展開基矢。這里應(yīng)當(dāng)注意的是，用本征函數(shù)族對(duì)含時(shí)問題的未

22、知態(tài)展開時(shí)，展開式系數(shù)應(yīng)當(dāng)與時(shí)間有關(guān)，是“變系數(shù)展開”： 于是 （11.23）從而，演化到時(shí)刻，系統(tǒng)處于態(tài)的概率為 (11.24)詳細(xì)些說就是，體系在時(shí)刻處于初態(tài)，經(jīng)受在（）時(shí)間段內(nèi)擾動(dòng)，至?xí)r刻體系躍遷到的態(tài)的量子躍遷概率。2,量子躍遷系數(shù)基本方程組及其一階近似現(xiàn)在，根據(jù)上面變系數(shù)展開法具體地近似計(jì)算量子躍遷概率。由相互作用表象中態(tài)矢的方程(11.8)兩邊作用以，并在積分號(hào)下中間插入的完備性關(guān)系，得到為便于一般性考慮，將剛加上擾動(dòng)的時(shí)刻改記為，上式成為(11.25)這里，。這里既可以是有限值，也可以為無限遠(yuǎn)的過去（）。研究(11.25)式一個(gè)特殊情況。如果時(shí)刻體系處在的一個(gè)本征態(tài)上，在（）時(shí)間

23、段內(nèi)經(jīng)受擾動(dòng)，到時(shí)刻的躍遷系數(shù)方程組為 (11.26)這里已經(jīng)將向態(tài)的躍遷系數(shù)由改記為，以表示是由態(tài)出發(fā)的躍遷。對(duì)于發(fā)生躍遷()的情況，有 （11.27）相應(yīng)的躍遷概率為如果體系初始時(shí)刻處于混態(tài)這里，即體系分別以的概率（而不是概率幅）處于態(tài)上，則向態(tài)(全部)的躍遷概率為 積分方程組(11.27)式是研究量子躍遷問題的基本方程組。為具體求解，假定含有一個(gè)可以看作小量的參數(shù)，于是就可以對(duì)這個(gè)方程組作逐階迭代近似。最簡單的一階近似是將方程組右邊積分號(hào)下的未知系數(shù)代以零階近似的。由此即得方程組左邊躍遷系數(shù)的一階近似值（）顯然，這里的敘述也可以應(yīng)用于。此時(shí)如假定與無關(guān)而將積分積出，由方程(11.26)得

24、 ,當(dāng)值夠大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不合理情況。由這種分析可知，此處所做近似應(yīng)當(dāng)要求對(duì)角矩陣元對(duì)時(shí)間的積分值很小雖然積分時(shí)間間隔比大很多。， （11.28）由此得知，只在區(qū)間內(nèi)有擾動(dòng)，在以外都撤除（當(dāng)然，前面已說過，、也可以分別假定為和)的情況下，從至?xí)r刻系統(tǒng)自態(tài)躍遷到態(tài)的躍遷概率為 (11.29)（11.29）式是一階近似下討論造成的量子躍遷問題的出發(fā)點(diǎn)。注意，只要積分區(qū)間比大很多，積分上下限便可近似取為。由于在區(qū)間之外已撤除，此處富里葉積分在上下限處是收斂的。附帶指出，這里的表達(dá)式顯然滿足前面的普遍結(jié)論。11.3幾種常見含時(shí)微擾的一階近似計(jì)算1,常微擾假定微擾與時(shí)間無關(guān)，并且按體系特征時(shí)間尺度衡量，是在

25、足夠長時(shí)間內(nèi)加在系統(tǒng)上。這時(shí)，按上面一階近似所得方程(11.29)，單位時(shí)間內(nèi)體系從態(tài)躍遷向態(tài)的概率 (即躍遷速率)為即 (11.30)這里（量綱為）只涉及兩個(gè)單態(tài)之間的躍遷。其中表示能量守恒，度量造成的在態(tài)和之間的躍遷強(qiáng)度。出現(xiàn)能量函數(shù)說明，這時(shí)所有使能量改變的躍遷都是不可能的。若向連續(xù)態(tài)躍遷(比如，在靜電場擾動(dòng)之下原子電離)，設(shè)內(nèi)有態(tài)數(shù)目，其中為附近單位能量間隔內(nèi)末態(tài)的態(tài)密度。則單位時(shí)間內(nèi)向附近的連續(xù)末態(tài)躍遷的概率 (11.31)這個(gè)公式很有用，所以Fermi稱它為“2號(hào)黃金規(guī)則 L.I. 席夫，量子力學(xué)， 第327頁，人民教育出版社，1982，李淑嫻，陳崇光譯。”。關(guān)于末態(tài)態(tài)密度的計(jì)算，

26、參見后面光電效應(yīng)中（11.53）式的推導(dǎo)。2,周期微擾設(shè)微擾呈周期變化，即 （11.32）這里與無關(guān)。于是當(dāng)充分大時(shí)，由于，方括號(hào)中第一個(gè)-函數(shù)表示電子向下躍遷并向擾動(dòng)電磁場放出光子； 第二個(gè)-函數(shù)表示電子從擾動(dòng)電磁場吸收光子并向上躍遷。若假定是后者，由，即得單位時(shí)間內(nèi)由態(tài)的躍遷速率為 (11.33)注意此結(jié)果和常微擾很相象，只是-函數(shù)中多了項(xiàng)。這表明，周期變化的電磁場可以看作該頻率的一束光子，量子躍遷系數(shù)的一階近似只考慮（該頻率）光子的單光子吸收和單光子發(fā)射。就是說，對(duì)真實(shí)物理過程作了單光子近似。11.4不撤除的微擾1,不撤除微擾的一般敘述現(xiàn)在考慮這一類微擾：，有限。就是說，在上加上含時(shí)微擾

27、之后就一直持續(xù)下去不再撤除。這當(dāng)然包括了在某個(gè)時(shí)刻突然加在體系上并一直不變地持續(xù)下去的所謂Sudden微擾這一特殊情況。這時(shí)上一節(jié)的基本公式不適用。因?yàn)樵谔幉粸榱?，積分在上限處急劇振蕩而不確定。這種不確定現(xiàn)象可以用如下辦法繞過去：將理解成由兩部分所組成：和。于是第一項(xiàng)相應(yīng)于定態(tài)微擾，而第二項(xiàng)則引起量子躍遷。數(shù)學(xué)上相應(yīng)于對(duì)實(shí)施分部積分(設(shè))，即 （11.34）于是 （11.35）這里右邊第一項(xiàng)是在無限緩慢變化條件下，到時(shí)刻，擾動(dòng)對(duì)初態(tài)的一階定態(tài)微擾修正。而在處它正是本征態(tài)的一階近似表示。它描述了原先態(tài)的靜態(tài)變形，并不涉及狀態(tài)之間的動(dòng)態(tài)量子躍遷。第二項(xiàng)包含所有與初態(tài)不同的狀態(tài)，積分上限含時(shí)，表示量

28、子躍遷。此時(shí)的躍遷概率為(11.36)2,特例之一 Sudden微擾對(duì)于時(shí)刻突然加上的常微擾，為時(shí)刻的單位階躍函數(shù)。即Sudden微擾情況，有 （11.37） (11.38)以上是當(dāng)本征態(tài)難于求解，只使用本征態(tài)展開的情況。相應(yīng)地，對(duì)躍遷的物理解釋當(dāng)然也是在的本征態(tài)之間進(jìn)行。另有一類Sudden擾動(dòng)。比如中某個(gè)參數(shù)突然改變（例如諧振子彈性系數(shù)突然改變，原子核衰變使原子序數(shù)突變等等）。這時(shí)，Hamilton量雖然突變?yōu)?，但狀態(tài)來不及突變。于是原先的定態(tài)便成為新Hamilton量的初態(tài)，開始新一輪演化。這時(shí)躍遷便簡單地體現(xiàn)為兩類態(tài)矢(的和的)之間的內(nèi)積，特殊情況便是兩套基矢之間的內(nèi)積。比如，（在時(shí)刻

29、）諧振子彈性系數(shù)突然改變?yōu)?，假定原先處于的基態(tài)，則粒子在新基矢中仍處于基態(tài)的概率為 （11.39）當(dāng)然，如果新Hamilton量的本征態(tài)可解，就不必假定擾動(dòng)很小。 另外，可以證明：如果很小，嚴(yán)格結(jié)果將化為上面微擾結(jié)果 參見朗道，非相對(duì)論量子力學(xué)，上冊(cè)，第180頁。因?yàn)?，設(shè)初態(tài)處于的能級(jí)，末態(tài)為的能級(jí)，即有于是若是微擾，則，這樣便得到轉(zhuǎn)化為上面用的基矢表示的Sudden微擾(11.38)式。3,特例之二 絕熱微擾一種擾動(dòng)，如果以十分緩慢的方式加于體系上。就是說，這種擾動(dòng)相對(duì)于體系躍遷過程的內(nèi)稟時(shí)間尺度而言，持續(xù)時(shí)間足夠的長，而在該時(shí)間尺度內(nèi)變化又足夠的小，就稱這種擾動(dòng)為絕熱擾動(dòng)。這里，體系的內(nèi)稟

30、時(shí)間是各能級(jí)躍遷的特征時(shí)間（主要是鄰近能級(jí)之間）。在絕熱擾動(dòng)下，處于無簡并定態(tài)的體系，在變化過程中將處于準(zhǔn)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，體系的無量綱量子數(shù)將保持不變。常微擾結(jié)果也說明，在絕熱微擾時(shí)，無簡并定態(tài)的體系仍將留在該態(tài)上 這里是指擾動(dòng)前后系統(tǒng)的哈密頓量不變的情況。參見：朗道，非相對(duì)論量子力學(xué)，上冊(cè)，第179頁。如果散射前后系統(tǒng)的哈密頓量改變，則這里的結(jié)論須作推廣。 絕熱微擾與Sudden微擾雖然同屬于不撤除微擾，但情況完全相反。這時(shí)微擾以十分緩慢的方式從起漸浸地施加到體系上，直到時(shí)刻全部加上，不再撤除。為形象地描述這種變化，引入絕熱因子（），將哈密頓量寫為 （11.40）這就是說，在的初始時(shí)刻，系統(tǒng)處

31、于的一個(gè)定態(tài) 隨即在整個(gè)演化過程中，以足夠緩慢的速度加入，在時(shí)刻成為 直到時(shí)刻全部加上，成為的一個(gè)定態(tài) 注意，這里的（）和（）雖然相互對(duì)應(yīng)（即，如果是的基態(tài)，則是的基態(tài)），但一般并不相等。 從本征函數(shù)族的觀點(diǎn)來看，絕熱擾動(dòng)的結(jié)果出現(xiàn)了（除原先態(tài)之外）別的態(tài)（）。按（11.28）式，一階近似躍遷振幅為 （11.41）4,Sudden微擾和絕熱微擾的一個(gè)比較（突然加上的）Sudden微擾與（足夠緩慢加上的）絕熱微擾對(duì)系統(tǒng)的影響會(huì)很不相同。為了說明這一點(diǎn)，舉一個(gè)無限深方勢阱拆除勢壘的例子。設(shè)方向運(yùn)動(dòng)的粒子被堵在兩面剛性墻之間（），并處于基態(tài)。再設(shè)時(shí)刻，以突然和足夠緩慢這兩種方式將兩堵墻分開并相距無窮

32、遠(yuǎn)，看最后結(jié)果如何不同。突然拆除：這時(shí)粒子與墻之間沒有能量交換，粒子將以無限深方勢阱的基態(tài)波函數(shù)為初態(tài)波包，按新的Hamilton量作自由粒子含時(shí)演化（波包彌散）。由于這時(shí)動(dòng)能（即總能量）守恒，粒子自由運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于阱內(nèi)時(shí)的能量。絕熱拆除：粒子在兩墻拉開過程中的任一時(shí)刻，始終處于該時(shí)刻阱寬的基態(tài)上。于是當(dāng)兩墻拆除至無窮遠(yuǎn)時(shí)，粒子的總能量（現(xiàn)在是自由粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能）將為 說明在墻拉開時(shí)，粒子向兩面墻作功并將自己的能量完全交給了墻。順便指出，此例并非主張存在靜止粒子。粒子動(dòng)能為零并不合理，那是由于此處模型設(shè)計(jì)得過于理想和簡單（即便如此，也需要無窮長的時(shí)間）。11.5光場與物質(zhì)的相互作用1, 概論眾

33、所周知，光輻射和物質(zhì)之間存在相互作用，這種相互作用決定著光輻射被物質(zhì)的吸收和發(fā)射。經(jīng)典理論成功地描述了光輻射的傳播，然而卻無法正確描述光的吸收和發(fā)射。量子理論輝煌成就之一在于，能夠全面正確地描述光和物質(zhì)的相互作用，包括相互作用導(dǎo)致的光吸收和光輻射。盡管量子電動(dòng)力學(xué)理論本身還存在著問題，但可以說，它是迄今為止人類所建立的最成功、最精確的物理理論。輻射和物質(zhì)相互作用的全量子理論。這應(yīng)當(dāng)是從統(tǒng)一的量子化觀點(diǎn)處理相互作用著的雙方：電磁場和物質(zhì)粒子。這里區(qū)分為兩種情況：非相對(duì)論量子電動(dòng)力學(xué)：粒子原子及其中的電子遵從Schrdinger方程，電磁場被量子化成為量子電磁場。相對(duì)論量子電動(dòng)力學(xué)：粒子遵從Dir

34、ac方程和Klein-Gordon方程，電磁場為量子電磁場。這便是常稱的量子電動(dòng)力學(xué)的輻射理論。由于課程所限，這里只給出光場對(duì)物質(zhì)作用的量子力學(xué)理論，可稱作半量子理論：這個(gè)理論的實(shí)質(zhì)是對(duì)物質(zhì)中的原子、分子、電子采用量子力學(xué)的觀點(diǎn)，但對(duì)光場卻采用經(jīng)典電磁波觀點(diǎn)。于是成為如下一幅物理圖象：量子力學(xué)中的原子(及原子中的各層電子)在經(jīng)典電磁場的強(qiáng)迫振動(dòng)下，發(fā)生能級(jí)之間的量子躍遷，與此同時(shí)便產(chǎn)生出光子或湮滅著光子。用半量子理論能夠給出光輻射和物質(zhì)相互作用的一部分正確結(jié)果，包括產(chǎn)生或湮滅光子的能量、譜線強(qiáng)度、偏振狀態(tài)、禁戒規(guī)則和角分布等等。但是，由于它的不徹底性，也如同非相對(duì)論量子力學(xué)的局限性一樣（參見第

35、十二章），不能解釋處于激發(fā)態(tài)原子的自發(fā)輻射、強(qiáng)輻射場中的多光子過程、以及光場中物質(zhì)粒子的產(chǎn)生和湮滅等進(jìn)一步的問題。其中自發(fā)輻射問題，Einstein曾依據(jù)熱力學(xué)平衡的一般觀念，半唯象但卻普適地處理了自發(fā)輻射和受激輻射之間的關(guān)系，見本節(jié)4。2, 受激原子的量子躍遷按半量子理論，原子和電磁場所組成的體系的Hamilton量為這里，是原子核的庫侖場，、屬于原子中電子。經(jīng)典的外加電磁場的矢勢為。選擇矢勢滿足庫侖規(guī)范，上述Hamilton量成為 (11.42)如果電磁場不十分強(qiáng)，可如Zeeman效應(yīng)中所作的那樣，將中的項(xiàng)略去。由于電子位置矢徑變化只局限于原子尺度之內(nèi)，因此當(dāng)電磁場波長遠(yuǎn)大于原子尺度時(shí)，就

36、意味著：在電子運(yùn)動(dòng)的空間范圍內(nèi)，電磁場可以看成是空間均勻的（只隨時(shí)間振蕩），也即這便是常說的“電偶極近似”。在此近似下可取。于是 （11.43）這就是不十分強(qiáng)的電磁場在偶極近似下對(duì)原子中電子的擾動(dòng)算符。 與此相應(yīng)，此電磁場的場強(qiáng)為這里，還有再考慮到，此電磁場的能流密度為設(shè)為此電磁場對(duì)時(shí)間的平均能量密度，可得 現(xiàn)在，假設(shè)電子躍遷前后所處初末態(tài)為和，能量為和，并記。注意Coulomb場中有，于是有等式將此式代入（11.43）式，得到在初末態(tài)之間的矩陣元為這里是電子的電偶極矩算符。由周期微擾敘述可知，對(duì)于吸收光子激發(fā)躍遷的情況()，只需取第二項(xiàng)，即將此式模平方，利用表示式消去經(jīng)典場振幅模平方，即得

37、（11.44）假定原子中的指向是無規(guī)的，可取方向?yàn)檩S，即得方向余弦的平方平均為。于是有 （11.45）將此式代入周期微擾公式(11.33)，最后得到在輻射場擾動(dòng)和電偶極近似下，吸收輻射所產(chǎn)生的躍遷速率為 （11.46）以上計(jì)算是針對(duì)電磁場頻譜為單色的情況。如果電磁場頻譜是連續(xù)的，將理解為電磁場在附近單位頻率間隔內(nèi)的平均能量密度，則總的躍遷速率將為 (11.47)3，電偶極輻射上面的受激躍遷將伴隨著光子的發(fā)射與吸收。所輻射的光子稱為電偶極輻射?，F(xiàn)對(duì)上面結(jié)果作一些討論。i, 和入射光的頻譜有關(guān)，并正比于其中有關(guān)的能量密度。ii,電偶極擾動(dòng)下，分立態(tài)之間的躍遷選擇定則可以推導(dǎo)如下：由于并注意到這里中

38、的連帶Legendre多項(xiàng)式采用了Ferrer定義。 可得三個(gè)分量不全都為零的條件為 (11.48)這便是電偶極躍遷的選擇定則。iii,角動(dòng)量守恒和輻射光子的極化狀態(tài)問題電子運(yùn)動(dòng)：分量位相 電子運(yùn)動(dòng)：分量位相為零時(shí)，分量位相已為， 已到， 分量位相才到零，左手旋轉(zhuǎn)。與此相應(yīng)，沿方 右手旋轉(zhuǎn)。與此相應(yīng)，沿方向發(fā)射的光子為右手螺旋。在 向發(fā)射的光子為左手螺旋。-面內(nèi)觀察它則為垂直軸 在-面內(nèi)觀察它也為垂直的線偏光。 軸的線偏光。 設(shè)原子沿軸方向發(fā)出一個(gè)角動(dòng)量為的光子：這時(shí)光子的極化狀態(tài)為右手螺旋（正螺度）。由于中心場和電偶極近似，角動(dòng)量守恒，電子相應(yīng)自態(tài)態(tài)躍遷時(shí)，它的應(yīng)減少一個(gè)，即（），由ii,

39、中的表達(dá)式可知：電子的分量為零，和分量中含的項(xiàng)的矩陣元不為零，并且它們之間有如下關(guān)系： (11.49)說明電子的電偶極矩矩陣元為繞軸左手旋轉(zhuǎn)，如圖，即電子在躍遷中減少。偶極輻射的其他特征在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中都有敘述，這里不再贅述。如果是另附有方向磁場的Zeeman效應(yīng)場合，原子將向軸取向（相應(yīng)地，前面對(duì)無規(guī)取向的平均應(yīng)予取消），電子能級(jí)發(fā)生分裂，的躍遷對(duì)應(yīng)于比正常譜線頻率略高的分裂譜線。這時(shí)從磁場方向觀察這條譜線將為正螺度的圓偏振光（光學(xué)中的左旋光）。設(shè)原子沿軸方向發(fā)出一個(gè)角動(dòng)量為的光子：這時(shí)光子的極化狀態(tài)為左手螺旋（負(fù)螺度）。與此相應(yīng)，電子自態(tài)態(tài)躍遷時(shí)，增加一個(gè)，即應(yīng)有()。這時(shí)， 的分量為零，

40、和分量中只有含的項(xiàng)不為零，它們之間關(guān)系為 （11.50）說明電子躍遷時(shí)矩陣元為繞軸右手螺旋，如圖。如果在Zeeman效應(yīng)的場合，的躍遷相應(yīng)于頻率略低于正常譜線的分裂譜線，沿磁場方向觀察它將為負(fù)螺度的圓偏振光（光學(xué)中的右旋光）。對(duì)于的發(fā)射光子的情況，只有不為零，由于輻射場的橫向性質(zhì)，沿軸方向?qū)⒂^察不到這種輻射，而在-平面內(nèi)觀察光子將沿軸作線偏振。這個(gè)光子不帶走角動(dòng)量，因?yàn)殡娮幼詰B(tài)向態(tài)躍遷時(shí)、的期望值均未改變(前兩者仍為零，后者仍為)。顯然這對(duì)應(yīng)于Zeeman效應(yīng)中的線偏振光譜線。4自發(fā)輻射 考慮大量同類原子與輻射場相互作用并達(dá)到熱平衡，平衡溫度為，假設(shè)原子的任意兩個(gè)能級(jí)為，處在態(tài)上的原子數(shù)分別為

41、。首先，計(jì)算輻射場的能量密度分布?？紤]輻射場中邊長為的立方體。利用在邊界的駐波條件可得容許駐波的波數(shù)，為波數(shù)是分立的，整波波數(shù)最小間距是。于是，在中頻率范圍內(nèi)電磁場駐波振動(dòng)模數(shù)目為。這里乘2是由于每個(gè)振動(dòng)模都有兩個(gè)相互垂直的極化狀態(tài)。注意，于是輻射場單位體積內(nèi)頻率在的駐波振子數(shù)密度自由度數(shù)目密度等于 (11.51)接著，如中Planck所做的，在能量子這一重大假設(shè)下，根據(jù)M-B分布律，求出給定溫度下能量子的平均能量 (11.52)將它乘到(11.51)上，即得黑體輻射能量密度的Planck公式（的（1.3）式）， (11.53) 現(xiàn)在，考慮原子數(shù)目的熱平衡分布問題。Einstein認(rèn)為，向上躍遷的受激輻射躍遷（）原子數(shù)應(yīng)該與輻射場相關(guān)的能量密度成正比；而向下躍遷的（）原子數(shù)內(nèi)，一部分是受輻射場擾動(dòng)后的受激輻射、另一部分則是自發(fā)輻射。前者與成正比；后者只與原子自身性質(zhì)有關(guān)，與外場無關(guān)。由于假設(shè)達(dá)到熱平衡，可以寫出內(nèi)關(guān)于能量數(shù)值的細(xì)致