6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)

1、6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)第一章6垂直關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡單問題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理思考在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿.一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么？答案平行.梳理性質(zhì)定理平行文字語言如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線_符號(hào)語言ab圖形語言知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)

2、墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直.文字語言如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在 垂直于它們 的直線 于另一個(gè)平面符號(hào)語言，l， ， a圖形語言梳理性質(zhì)定理垂直一個(gè)平面內(nèi)交線aal思考辨析 判斷正誤1.若平面平面，任取直線l，則必有l(wèi).( )2.已知兩個(gè)平面垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.( )題型探究例1如圖所示，在正方體A1B1C1D1ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交.求證：EFBD1.類型一線面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用證明證明如圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABC

3、D，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.反思與感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn).(2)利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直. (5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.跟蹤訓(xùn)練1如圖，l，PA，PB，垂足分

4、別為A，B，a，aAB.求證：al.證明證明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al.類型二面面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例2如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求證：BCAB.證明證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作ADPB于點(diǎn)D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，PA，AD平面PAB，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判

5、定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直；(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是DAB60且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為邊AD的中點(diǎn).求證：(1)BG平面PAD；證明證明四邊形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，又G為AD的中點(diǎn)，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD，BG平面PAD

6、.(2)ADPB.證明證明由(1)可知BGAD，由題意知PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.類型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用命題角度1線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化例3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；證明證明PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA平面ABCD.(2)BE平面PAD；證明ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為

7、平行四邊形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.證明(3)平面BEF平面PCD.證明證明在平行四邊形ABED中，ABAD，四邊形ABED為矩形，BECD.PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD，CD平面PAD，CDPD.又E，F(xiàn)分別為CD和PC的中點(diǎn)，EFPD，CDEF.EFBEE，EF，BE平面BEF，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.反思與感悟在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過其

8、中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求證：平面ABD平面ACD.證明證明平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，在平面ABC內(nèi)，作AEBC于點(diǎn)E，如圖，則AE平面BCD.又CD平面BCD，AECD.又BCCD，AEBCE，AE，BC平面ABC，CD平面ABC，又AB平面ABC，ABCD.又ABAC，ACCDC，AC，CD平面ACD.AB平面ACD.又AB平面ABD，平面ABD平面ACD.命題角度2垂直中的探索性問題例4已知在三棱錐ABCD中，BCD90

9、，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且 (01).(1)求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC；證明證明BCD90，BCCD.AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC. ，EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF平面ABC.故不論為何值，總有平面BEF平面ABC.(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面BEF平面ACD?解答解由(1)得EF平面ABC，BE平面ABC，EFBE.要使平面BEF平面ACD，只需BEAC.BCD90，BCCD1，又AB平面BCD，ADB60，反思與感悟解決開放性問題一般先從結(jié)論入手，分析得到該結(jié)論所需的條件或與其等

10、價(jià)的條件，此類型題考查空間想象能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；證明證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，ADD1C.AD，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1.AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說明理由.解答解連接AD1，AE，設(shè)AD1A1D

11、M，BDAEN，連接MN，平面AD1E平面A1BDMN，需使MND1E.又M是AD1的中點(diǎn)，N是AE的中點(diǎn)，又易知ABNEDN，ABDE，即E是DC的中點(diǎn).綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.達(dá)標(biāo)檢測答案1.給出下列說法：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線垂直.其中正確說法的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3123452.平面平面，直線a，則A.a B.aC.a與相交 D.以上都有可能12345答案解析因?yàn)閍平面，平面平面，所以直線a與垂直、相交、平行都有可能.解析233.已知直線l平面，直線m平面.有下面四個(gè)說法：lm；lm；lm；lm.其中正確的兩個(gè)說法是A. B. C. D.451答案解析l，m，lm，故正確；lm，l，m，又m，故正確.解析4.如圖，在三棱錐PABC中，側(cè)面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，則PB_.答案23451解析側(cè)面PAC底面ABC，交線為AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，解析5.如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，求證：平面SCD平面SBC.證明23451證明因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平