機械能守恒定律　

1、笫五章機械能守恒（一） 功 動能定理（二） 保守力做功與勢能（三）機械能和機械能守恒定律（四）兩體碰撞與兩體問題目錄1一、功（一） 功 動能定律定義：力對質(zhì)點所做的功等于力在質(zhì)點位移方向的分量 與位移大小的乘積.功是力對空間的累積作用 單位:1焦耳(J)=1牛頓（N）.米（m）量綱：ML2T-2AB元功第五章機械能守恒2說明：（1）在直角坐標(biāo)系中：第五章機械能守恒（2）幾個力同時作用在物體上時，所作的功：3合力對質(zhì)點所作的功，等于每個分力所作的功的代數(shù)和。（4）功率：單位:焦耳/秒(瓦特) 量綱：ML2T-3力在單位時間內(nèi)所做的功第五章機械能守恒（3）功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù).41m5N例

2、題5.1 如圖所示，一繩索跨過無摩擦的滑輪系在質(zhì)量為1.0kg的物體上，起初物體靜止在無摩擦的水平面上。若用5.0N的恒力作用在繩索的另一端，使物體向右作加速運動.當(dāng)系在物體上的繩索從與水平成變?yōu)?時,力對物體作功為多少?己知滑輪與水平面間的距離為1m.第五章機械能守恒5解: 建立坐標(biāo)系(如圖)x0F1m5N第五章機械能守恒6二、質(zhì)點動能定理 元功:質(zhì)點由A到B這一過程中，力作總功為：ABm-質(zhì)點的動能第五章機械能守恒-質(zhì)點動能定理令則7例題5.2 如圖，初始時，繩子垂在桌外的長度為b,設(shè)繩子總長度為L,求繩全部離開光滑桌面時的瞬時速率.解：方法一：利用動能定理建立作坐標(biāo)系，重力所作元功為：由

3、動能定理得：M,L bxot=0,v=0第五章機械能守恒8方法二：利用牛頓定律由牛頓定律得兩種方法結(jié)果相同M,Lbxot=0,v=0第五章機械能守恒9例題5.3 假定地球的密度是均勻的，并沿地球的直徑鉆一個洞，質(zhì)點從很高的位置 h 落入洞中，求質(zhì)點通過地心的速度。 由動能定理：解：矢徑方向如圖所示，設(shè)通過 地心的速度為OmhR第五章機械能守恒10又質(zhì)點在地球內(nèi)、外受力不同第五章機械能守恒11三、質(zhì)點系動能定理-質(zhì)點系動能定理對所有質(zhì)點求和： 設(shè)一個系統(tǒng)內(nèi)有n個質(zhì)點，作用于笫 i 個質(zhì)點的力所作的功為 ，由質(zhì)點動能定理第五章機械能守恒12（2） 是每個質(zhì)點所受外力（內(nèi)力）作功之和，而不是合力功之

4、和.說明：（3）質(zhì)點系內(nèi)力的功： 研究兩質(zhì)點、間作用力與反作用力元功之和 即一對內(nèi)力所作的功僅決定于力和質(zhì)點間相對位移的標(biāo)積.（1）質(zhì)點系所受的力分外力和內(nèi)力，則內(nèi)力作的總功一般不為零第五章機械能守恒13例題5.4 如圖，質(zhì)量為M的卡車載一質(zhì)量為m的木箱，以速率v沿平直路面行駛。因故突然緊急剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動，卡車滑行一定距離后靜止，木箱在卡車上相對于卡車滑行了l 距離,卡車滑行了 L 距離。求 L 和 l 。巳知木箱與卡車間的滑動摩擦系數(shù)為 ，卡車輪與地面的滑動摩擦系數(shù)為LmgMgNFmg第五章機械能守恒14 卡車和木箱受力如圖.只有二者間摩擦力 和地面對車的摩擦力 F 做功，三力之受力

5、質(zhì)點位移各為 . 根據(jù)質(zhì)點動能定理得解得解：解法一（用質(zhì)點動能定理求解）第五章機械能守恒卡車： （1）木箱： （2）15解法二（用質(zhì)點系動能定理求解） 視卡車與木箱為一質(zhì)點系.外力F 做功 ，內(nèi)力做功等于力與相對位移的標(biāo)積，即根據(jù)質(zhì)點系動能定理，有又視木箱為質(zhì)點，得上面(2)式.(2)(3)聯(lián)立得與上法相同結(jié)果.第五章機械能守恒（3）16（二） 保守力做功與勢能一、幾種常見的力作功1、重力作功 重力作功只與質(zhì)點的起始和終止位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。xaby第五章機械能守恒17移動位移元 ，F(xiàn)可近似認(rèn)為不變，故由圖知：于是： 2、萬有引力作功如圖，M不動，m由a 經(jīng)任一路徑到bMarmbF

6、第五章機械能守恒18在彈性限度內(nèi)，彈性力所作的功只由彈簧的起始和終了位置決定，而與形變的過程無關(guān)。3、彈性力作功如圖，O點為平衡位置，拉長到P點時，伸長量為x：萬有引力作功只取決于質(zhì)點的起始和終了位置，與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。第五章機械能守恒0 xKmP19保守力：作功只與物體的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān) 的力。二、保守力與非保守力分析三種力作功的特點反映保守力作功特點的數(shù)學(xué)表達(dá)式：bcdaFF物體沿不同路徑從a 到 b，保守力作功第五章機械能守恒該類力產(chǎn)生的力場為保守力場。20保守力沿任意閉合路徑作功為零。bcda沿閉合路徑運動一周，保守力作功：保守力的一些判據(jù)：(1)對于一維運動，凡是位置x單

7、值函數(shù)的力都是保守力,如彈性力 f = f (x) = k(xx0) 是 x 的單值函數(shù)，故它是保守力；(2)對于一維以上的運動，大小和方向都與位置無關(guān)的力，如重力 f = mg, 是保守力;(3)有心力是保守力，例如萬有引力、庫侖力都是保守力。第五章機械能守恒21 稱為耗散力（如滑動摩擦力， 將機械能轉(zhuǎn)化為熱能）非保守力： （如爆炸力），將其他形態(tài)的能 （如化學(xué)能、電磁能）轉(zhuǎn)化為機械能.所作的功不僅與始、末位置有關(guān)，而且與具體路徑有關(guān)，或沿任一閉合路徑一周作功不為零的力。非保守力可分兩類：第五章機械能守恒22三、勢 能證：在保守力場中，選擇一個標(biāo)量函數(shù)：如圖，先任取一點rC ，令：對空間任意

8、點，定義： rArCrB第五章機械能守恒定理 對于保守力場，可以定義一個標(biāo)量函數(shù) ，使保守力做的功為其中， 表示質(zhì)點從空間點 運動到點 時保守力所做的功。 稱為勢能（或勢函數(shù)、位能）。23 由于是保守力場，故 唯一確定，與運動的路徑無關(guān)，于是對于空間中的任意點，我們定義的的值確定并且唯一。 下面證明 就是勢能 對于空間中任意兩點 和 ，按照我們對 的定義，有： 由定義：第五章機械能守恒24 將上面(1)與(2)兩式相減，注意到保守力作功與路徑無關(guān)，可得： 故 就是勢能。證畢 反之，存在勢能的力一定是保守力。 注：由證明可見，勢能具有一個任意常數(shù) 一般我們規(guī)定點（無窮遠(yuǎn)處）的勢能為零。 第五章機

9、械能守恒25 (2)勢能是相對性的。為確定質(zhì)點系在任一給定位置的勢能值，必須選定某一位置為參考位置（勢能零點），規(guī)定該點的勢能為零.而勢能零點可根據(jù)問題的需要任意選擇；(3)勢能是屬于系統(tǒng)的。實質(zhì)上勢能是相互作用能；說明(1)勢能是狀態(tài)（位置坐標(biāo)）的函數(shù)，即： (4)自然界中的大部分能量是以引力勢能的形式存在。1. 勢能 的計算 由定理可得：即某點的勢能等于保守力從該點沿任意路徑到勢能零點的積分值第五章機械能守恒26即：保守力對物體作的功等于物體勢能增量負(fù)值。重力勢能2 三種勢能：保守力作功可用勢能差表示：引力勢能彈性勢能第五章機械能守恒273 勢能曲線當(dāng)坐標(biāo)系和勢能零點一經(jīng)確定，勢能僅是坐標(biāo)

10、的函數(shù)勢能隨坐標(biāo)變化的曲線稱為勢能曲線。如圖:mghVhrV第五章機械能守恒VrV28勢能曲線的用途： 保守力與勢能的關(guān)系：(1) 由勢能曲線求保守力第五章機械能守恒29mghVhrVVr第五章機械能守恒VFF-mgFF重力及其勢能萬有引力及其勢能彈性力及其勢能雙原子分子及其勢能30平衡位置：就是物體所受作用力為零的位置。(2) 求平衡位置及判斷平衡的穩(wěn)定性：平衡的穩(wěn)定性：取決于偏離平衡位置時，物體所受力方向：第五章機械能守恒xOVx0 xOVx0 xOVx1 x0 x2(a)穩(wěn)定平衡(),力始終指向平衡位置；(b)不穩(wěn)定平衡( ),離開平衡位置,力背離平衡位置方向；(c)亞穩(wěn)平衡;(d)隨遇

11、平衡（x1x2 , ）。xOVx0 x031第五章機械能守恒利用勢能曲線求平衡位置：FxOkxVx例如：彈性勢能二維三維情況：特例馬鞍形勢能曲面中心O處的質(zhì)點在x方向不穩(wěn)定平衡，y方向為穩(wěn)定平衡(3) 決定質(zhì)點的運動范圍V0 x1 x2V雙原子分子勢能曲線32一、質(zhì)點系的功能原理（三） 機械能守恒定律根據(jù)質(zhì)點系動能定理功能原理 質(zhì)點系機械能的增量，等于外力與非保守內(nèi)力對質(zhì)點系作功之和。機械能：E=Ek+V第五章機械能守恒與質(zhì)點系動能定理的關(guān)系？33二、機械能守恒定律 當(dāng)作用于質(zhì)點系的外力和內(nèi)非保守力作功為零時，系統(tǒng)機械能守恒。當(dāng)根據(jù)功能原理：或或可寫為：第五章機械能守恒34第五章機械能守恒說明

12、：（1）功能原理和 機械能守恒定律只在慣性系中成立；非慣性系中要引入慣性力；（2）在不同的參考系中，力所做的功，體系的動能和體系的機械能可能不同；（3）一個體系在一個參考系中機械能守恒，但在另一個參考系中并不一定成立;i.功與參考系有關(guān): 內(nèi)力做功與參考系無關(guān); 外力做功與參考系有關(guān).ii.體系的動能與參考系有關(guān);iii. 體系的勢能與參考系無關(guān).（4）功是一個過程量, 能量是一個狀態(tài)量.35三、柯尼希（Konig）定理 相對一定慣性參照系，質(zhì)點系的動能為所有質(zhì)點的動能之和 設(shè) 為質(zhì)點系的質(zhì)心速度， 為笫i個質(zhì)點相對質(zhì)心系的速度，則有代入上式得第五章機械能守恒36于是質(zhì)心動能體系相對質(zhì)心系動能

13、柯尼希定理體系動能等于質(zhì)心動能和體系相對質(zhì)心系 的動能之和.第五章機械能守恒其中笫三項中37第五章機械能守恒四、一般質(zhì)心系中的功能原理ac=0，質(zhì)心系為慣性系；ac0，質(zhì)心系（平動參考系）為非慣性系，此時慣性力所做的總功為：即質(zhì)心系雖為非慣性系時，可不考慮慣性力所做的功！38五、三種宇宙速度笫一宇宙速度人造衛(wèi)星笫二宇宙速度（或稱逃逸速度）人造行星（太陽系） 飛行物沖出地球引力范圍而圍繞太陽運動，成為人造行星。脫離地球引力的最低水平速度被稱為笫二宇宙速度.飛行物在地球引力作用下，環(huán)繞地球表面運行，成為人造衛(wèi)星.分別考慮 r 處和無窮遠(yuǎn)處的機械能第五章機械能守恒39應(yīng)當(dāng)滿足機械能守恒，即 ，于是取

14、其等于零，得逃逸速度第五章機械能守恒產(chǎn)生“黑洞”的條件令笫二宇宙速度取其等于光速c，則對質(zhì)量為M的天體，要成為“黑洞”，其半徑需為以太陽為例：Ms=1.99x1030kg，40笫三宇宙速度人造行星(銀河系)飛行物沖出太陽的引力范圍而成為銀河系中的人造行星. 根據(jù)笫二宇宙速度的同樣原理，得到以太陽為參考系的笫三宇宙速度第五章機械能守恒其中太陽質(zhì)量 （地球質(zhì)量） ，太陽-地球平均距離 （地球半徑）故41 這是從日心系看飛行器沖出的速度，自然其中包含了地球繞太陽的公轉(zhuǎn)速度 ，兩者相減 這是地球-飛行器質(zhì)心參考系看來，飛行器沖出地球引力范圍時，應(yīng)有的速度。再追溯到地面附近 h 高度，發(fā)射速度 應(yīng)當(dāng)滿足

15、機械能守恒，即第五章機械能守恒注意到 ，故SunEarth42最后得出笫三宇宙速度 綜上所述，三種宇宙速度均立足于地球上空預(yù)定高度，物體在水平方向上的三個特征速度：第五章機械能守恒當(dāng) ，發(fā)射體環(huán)繞太陽作橢圓軌道運行；當(dāng) ，發(fā)射體環(huán)繞地球作橢園軌道運行；當(dāng) ，發(fā)射體將沿雙曲線軌道離開太陽系.43（四） 兩體碰撞與兩體問題 所謂碰撞，是指兩質(zhì)點相互接近，運動狀態(tài)發(fā)生迅速變化的現(xiàn)象。碰撞的特征是極短的時間和強烈的相互作用。一、正碰對心碰撞說明： e=0 完全非彈性碰撞 0e1 非彈性碰撞(如采用不同材料時) e=1 完全彈性碰撞碰撞定律恢復(fù)系數(shù)碰撞前兩球速度均沿兩球中心連線滿足：動量守恒定律第五章機

16、械能守恒44當(dāng)兩物體發(fā)生對心碰撞時，由以上兩方程解得討論：碰撞過程中損失的動能為由此可知，對于完全彈性碰撞，e=1，動能守恒； 對于完全非彈性碰撞，e=0，動能損失最大.第五章機械能守恒45第五章機械能守恒高能粒子加速器資用能: 真正參與粒子反應(yīng)的能量，質(zhì)心動能不參與反應(yīng)目的：用來研究微觀粒子的結(jié)構(gòu)、相互作用和反應(yīng)機制？情況i情況i:資用能情況i:資用能情況ii :高能粒子對撞例如: 1987年,北京正負(fù)電子對撞機:資用能2x2.2GeV 若單束加速:1.9x104GeV46 質(zhì)心系中的正碰撞 上面討論的是在實驗室系（L系）中正碰撞。而在質(zhì)心系（C系）中，由于對質(zhì)心的動量之和永遠(yuǎn)為零，故在質(zhì)心

17、系中描寫碰撞，表達(dá)形式簡單，物理意義清晰。在L系中，質(zhì)心速度為 在C系中，設(shè)碰撞前后兩質(zhì)點的速度分別為 和 則由這兩方程可得第五章機械能守恒47在C系中，碰撞損失的動能為思考：如何把質(zhì)心系的碰撞結(jié)論化回實驗室坐標(biāo)系?二、彈性斜碰 碰撞前兩球的速度 不在兩球中心連線上的碰撞叫斜碰.一般情況下，斜碰為三維問題.若 ，則變?yōu)槎S問題.提示：第五章機械能守恒48 如圖，取 的方向為x軸，則上面笫一式化為在完全彈性碰撞中，動量和能量都守恒，有 式中 稱為散射角.另外，碰撞結(jié)果還與碰撞前兩小球中心在y方向上的距離b有關(guān).b稱為瞄準(zhǔn)距離.b=0時即為正碰. 通常，應(yīng)用實驗方法測出上面四個未知數(shù)中的一個，才能

18、求出其余三個未知數(shù).b第五章機械能守恒49例題5.5 如圖，質(zhì)量為M的物塊A在離平板為h的高度處自由下落.落在質(zhì)量也為M的平板B上.已知輕質(zhì)彈簧的倔強系數(shù)為k，物體與平板作完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧的最大壓縮量.解：本題可分為三個物理過程物塊A下落物塊A與平板B發(fā)生碰撞碰撞后彈簧被壓縮機械能守恒h第五章機械能守恒50彈簧被最大壓縮時 如圖，取彈簧不承載平板的平衡位置為坐標(biāo)原點O.則平板B放上后位移為 ，物塊A碰撞后位移為 ，則根據(jù)機械能守恒式，得而xh第五章機械能守恒O51將、式代入式，整理后得因 ，故應(yīng)將負(fù)根舍去.得碰撞后彈簧最大壓縮量為解之得第五章機械能守恒52第五章機械能守恒例題5.6

19、 彈弓效應(yīng) 如圖，土星的質(zhì)量為5.67x1026kg，以相對于太陽的軌道速率9.6km.s-1運行；一空間探測器質(zhì)量為150kg，以相對于太陽10.4km.s-1的速率迎向土星飛行。由于土星的引力，探測器繞過土星沿和原來速度相反的方向離去，求它離開土星的速度。v10v1v20解：將其看成無接觸碰撞，其中e=1，m1可忽略，則探測器繞過土星后由于引力作用速率增大，這種效應(yīng)稱 為彈弓效應(yīng)。53第五章機械能守恒三、兩體問題處理方法m1 rC1 rC2 m2r1 rC r2O如圖，考慮質(zhì)量分別為 m1 和 m2 的兩個質(zhì)點的孤立體系，質(zhì)點間的作用力是保守力，由兩質(zhì)點的相對位置決定。取一慣性系，位矢和速度分別為 ，質(zhì)心的質(zhì)量、位矢分別為 mC 和 rC，則有： 在該慣性系中，動力學(xué)方程為： 處理方法一（S參考系法）54第五章機械能守恒考慮 m1 相對于 m2 的運動。選擇與 m2 （通常選取質(zhì)量較大的物體）相對靜止的參考系，m2 位于原點，稱該參考系為S系（非慣性系）。在S系中，m1 的位置為r，速度為v：也可以通過引入慣性力來列出運動的牛頓方程由令 ，則 該方程與牛頓定律類似，即利用約化質(zhì)量，即可把兩體問題化成單體