高二數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何學(xué)案

1、個人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途空間向量解立體幾何一、空間直角坐標系的建立及點的坐標表示空間直角坐標系中的坐標：如圖給定空間直角坐標系和向量W，設(shè)單位正交基底）為坐標向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組日，使兇，有序?qū)崝?shù)組I三I叫作向量H在空間直角坐標系三I中的坐 、式I標，記作兇 .在空間直角坐標系H I I 中，對空間任一點R,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ,山，使 I x I ,有序?qū)崝?shù)組目叫作向量在空間直角坐標系口 中的坐標，記作,國叫橫坐標，日叫縱坐標，j叫豎坐標.b5E2RGbCAP二、空間向量的直角坐標運算律 TOC o 1-5 h z 1）若 HH ,則W,0，回，2）若 丘匚I

2、,則_ .一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點 的坐標減去起點的坐標。3） X 三、空間向量直角坐標的數(shù)量積1、設(shè)臼是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量lj 叫作向量a的數(shù)量積，記作 囚，即回= - 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0。plEanqFDPw2、模長公式3、兩點間的距離公式：若或.4、夾角： k .注： I 一 1 是兩個非零向量）；1 。5、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：1 一 . X . 1.6、運算律 1；|；四、直線的方向向量及平面的法向量1、直線的方向向量：我們把直線 三上的向量可以及與m共線的向量叫做直 線工的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量 目的有

3、向線段所在直線垂直于平面 0c , 則稱這個向量垂直于平面 口 ,記作 山，如果 山，那么向量目叫做平面 %的法向量。DXDiTa9E3d注：若臼，則稱直線二為平面臼的法線；平面的法向量就是法線的方向向量。給定平面的法向量及平面上一點的坐標，可以確定一個平面。3、在空間求平面的法向量的方法：1）直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。2）待定系數(shù)法：建立空間直接坐標系設(shè)平面的法向量為在平面內(nèi)找兩個不共線的向量H 和 人 口AB兇建立方程組：/”“E /解方程組，取其中的一組解即可。/五、證明1、證明兩直線平行已知兩直線日和可，一,則 心口 存在唯一的實數(shù)因使2、證明直線和平面平行個

4、人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途1）已知直線 1 且三點不共線，則 臼/日存在有序?qū)崝?shù)對國使 ）_ 12）已知直線 -1 和平面日的法向量回，則日/3、證明兩個平面平行已知兩個不重合平面 國,法向量分別為W，則回/國4、證明兩直線垂直已知直線回。 一 ,則一=5、證明直線和平面垂直已知直線 一,且A、B習(xí)，面回的法向量為臼，則6、證明兩個平面垂直已知兩個平面叵，兩個平面的法向量分別為 叵，則六、計算角與距離1、求兩異面直線所成的角已知兩異面直線 叵1 ,- - H ,則異面直線所成的角 回為：日例1.2008安徽文）如圖，在四棱錐 g 中，底面皿 四邊長為1 的菱形，臼 ，-, g

5、,兇為回的中點。求異面直線AB與M所成角的大小目；RTCrpUDGiT解：作 于點P,如圖，分別以AB,AP,AO所在直線為 三軸建立坐標 I,2、求直線和平面所成的角已知A,B為直線包上任意兩點，B為平面臼的法向量，則日和平面臼所 成的角包為：1）當(dāng) x 時 I x I2）當(dāng)xf 時 | x I例2.如圖3,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，,側(cè)棱AA1=2 D, E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是 曰 的重心 G 求 A1B與平面 TOC o 1-5 h z AB所成角的大小。5PCzVD7HxA、解：以C為坐標原點，CA所在直線為x軸，CB所

6、在直線為y軸，國所在直線為z軸，建X I立直角坐標系，設(shè),則日，日，日，日圖3目 ， 目 ，點E在平面ABD上的射影是二的重心G臼平面ABD 二三1 ,解得皿。I x| ,兇，日 平面ABD 二四 為平面ABD勺一個法向量?；鼗嘏c日所成角的大小為日為與平面AB所成的角為匕三,即叵個人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí),勿作商業(yè)用途評析:因規(guī)定直線與平面所成角叵,兩向量所成角NI所以用此法向量求出的線面角應(yīng)滿足一般地，設(shè)n是平面M的法向量,AB是平面M的一條斜線，A為斜足,則AB與平面 M所成的角為:3、求二面角1）已知二面角 一 角的平面角國的大小為：2）已知二面角 3分別為面 目 的法向量，則二面角

7、的平面VA1B DMfe平面BDMft兩條相交直線，CDL平面BDM通過觀察二面角銳角還是鈍角，再由法向量的成的角求之。（2通過觀察法向量的方向，判斷法向量所成的角與二面角的平面角相 等還是互補。4、求兩條異面直線的距離已知兩條異面直線凹,回是與兩直線都垂直的向量，則兩條異面直線的距離例3. 04高考四川卷）如圖，直三棱柱 ABCC-A1B1C1中，/ ACB=90 ,AC=1, CB,側(cè)棱AA1 = 1,側(cè)面AA1B1B勺兩條對角線交點為 D, B1C1的中點為M 求證：jLBHrnAlLg例4.正四棱錐 間的距離A f B.|答案選C;解讀:的高）c . 3建立如圖D.|所示的直角,則異面

8、直線和回之1)CD1平面BDM2)求面B1BDW面CB兩成二面角的大小。分析：要證CDL平面BDM只需證明直線 CD與平面BDM內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角?？紤]幾何法或向量法求解。解：以C為原點建立坐標系。則坐標系，則X令向量個人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí), 軸勿作商業(yè)用途且 為 X異面直線皿和國之間的距離為：叵I則兇兇,=0,命題得證。2、在正方體E1B1=A1B1, D1F1= D1C1中,E1 , F1分別在xHAQX74J0X5、求點到面的距離已知平面兇和點A,B且 ri ,兇為平面兇的法向量，則點A到平面凹的距離 H例5.如圖5,已

9、知是各條棱長均等于習(xí)的正三棱柱，回是側(cè)棱目的中點.點回到平面三的距離）A 兇B. 國 C . 臼D. 回求BE1與DF1所成的角的大小。解：設(shè)正方體棱長為 4,以 底，建立如圖所示空間坐標系3、在正方體A1B1,C1D1為正交基中，F(xiàn)分別是BC的中點，點E在D1C1上，且.D1C1試求直線E1F與平面D1AO成角白大小LDAYtRyKfE答案選A;解讀： 目為正方形， Ml ,又平面目平面目，三面回，是平面目的一個法向量, 設(shè)點可到平面叵的距離為回，則| = x 口 =|七、訓(xùn)練題1、如圖，已知直三棱柱 I 中，解：設(shè)正方體棱長為1,以建立如圖所示坐標系D-xyz三為D1A評面的法向量，日X

10、1為單位正交基居E1C.所以直線E1F與平面D1ACf成角的正弦值為 田x4、在正方體一 . 中，求二面角I - 的大小IBC=1,囚 ，M 是目的中點。求證：I證明：說明上圖中，上底面字母為日。建立以C為坐標原點的空間直角坐標系以 CA為YB解：設(shè)正方體棱長為1,以 二1正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz 法一），法二）求出平面 山與平面日 的法向量個人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí),等于二面角的平面角5、已知E,F分別是正方體一x I的棱BC和CD的中點，求:勿作商業(yè)用途為單位正交A1D與EF所成角是回1） A1D EF所成角的大??；2） A1F與平面B1EB所成角的大小;3）二面角 I

11、一 的大小。解：設(shè)正方體棱長為1,以底，建立如圖所示坐標系D-xyz1）I 所以二面角的大小為.7、如圖，在四棱錐 -j 中，底面山四邊長為1的菱形，三,.一J , q , *為的中點，目 為舊的 中點I ）求異面直線AB與MDff成角的大??；n）求點B到平面OCD勺距離。解：作 g 于點P,如圖，分別以AB,AP,AO所在直線 為日軸建立坐標系 I）設(shè)口與口所成的角為0,士與同所成角的大小為22)I x I ,| = |3),. x I二面角鼻的正弦值為因6、如圖，正四棱柱I 中， -I故.又,所以山平面山條件結(jié)論線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系1、空間基本元素：直線與平面之間位置關(guān)系的小結(jié)

12、。如下圖:點w在上且 LJ .i）證明：回平面目；n）求二面角1 解：以 可為坐標原點，射線 因為日軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系目.依題設(shè)，n）設(shè)向量 一1 是平面回的法向量，則日，0.故 I力 ,91 .令國，則日，山，n）設(shè)點B到平面OCD勺距離為可，則可為因在向量上的投影的絕對值，由 _J ，得二J.所以點b到平面OCM距離為直線、平面、簡單多面體個人收集整理資料,線線平行如果a / b, b / c ,那么 all c如果a II a,a臼B ,B C % =b , 那么a/ b如果% / B ,% C 丫 =a ,B C 丫 =b , 那么a / b如果aX a,bXa ,那么

13、 a / b線面平行如果a b b, at1%, b Ei % ,那么 all a如果%/B,a 3 a ,那么%/B面面平行如果a 回 口 , b回 口 , c臼B , d回B , a / c,b / d,aCb=P,那么 / B如果a 回口,b 回 a ,a A b=P,a II B ,b/ B ,那么% / B如果% / B ,B / 丫，那 么口 丫如果aX a,a,B ,那么 / B條件結(jié)論線線垂直線面垂直面面垂直平行關(guān)系線線垂直二垂線定埋 及逆定埋如果a %,如果三個平面兩兩垂如果a/ b, ac,那么bs a ,月B么a b直，那么它 4佼線兩兩 垂直bc線面垂直如果ab,ac,

14、b日 ,c 回 口 , bCc=P,那么a a如果ocX3,%CB =b,aa ,ab,那么a B如果aX a,b / a ,那么bX a面面垂直定義 二面 角等于 900)如果a a,as(3 ,那么3 X oc勿作商業(yè)用途2、空間元素位置關(guān)系的度量僅供交流學(xué)習(xí),1)角：異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角，都化歸為平 面幾何中兩條相交直線所成的角。異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補形法等。直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理法，棱 的垂面法及面積射影法。個人收集整理資料,注：異面直線

15、所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次是 回， I x I.直線的傾斜角、回到n的角、與目的夾角的范圍依次是.Zzz6ZB2Ltk 0 1, 0 0 2僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途面外接圓半徑OA底面內(nèi)切圓半徑OM底面正多邊形半邊長 OM構(gòu) 成的三棱錐，該三棱錐四個面均為直角三角形。5、直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面 體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對角面、平行于底的截面的幾 何體性質(zhì).dvzfvkwMI1如長方體中：對角線長 1,棱長總和為鼻,全 表） 面 積 為 一 I , 結(jié) 合一=一可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式

16、） 一; rqyn14ZNXI注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角相等 面上射影為角的平分線.（2）異面直線上兩點間距離公式設(shè)異面直線a, b所成角為 8,則EF2=m2+n2+d 2 2mncos04、棱柱、棱錐是常見的多面體。在正棱柱中特別要用側(cè)面與底面垂可斜線在平運底上在底面內(nèi)回頂點在底上射影為底面內(nèi)心.EmxvxOtOco如正四面體和正方體中:6、多面體是由若干個多邊形圍成的幾何體.棱柱和棱錐是特殊的多直的性質(zhì)解題，在正棱錐中，要熟記由高 PO斜高PM側(cè)棱PA,底面體.如三棱錐中：側(cè)棱長相等 側(cè)棱與底面所成角相等）回頂點在 底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直 兩對對棱垂直）回頂

17、點在底 上射影為底面垂心，斜高長相等 側(cè)面與底面所成相等）且頂點在個人收集整理資料，正多面體的每個面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個頂點為其一端都 有相同數(shù)目的棱.7、球是一種常見的簡單幾何體.球的位置由球心確定，球的大小僅 取決于半徑的大小.球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點.球 面是到球心的距離等于定長 半徑）的點的集合.球的截面是圓面，其中 過球心的截面叫做大圓面.球面上兩點間的距離，是過這兩點的大圓在這 兩點間的劣弧長，計算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋 求球面上兩點間的弦長”，因為此弦長既是球面上兩點間的弦長，又是大 圓上兩點間的弦長.SixE2yXPq5注：“經(jīng)

18、度是小小半徑所成角，緯度是大小半徑的夾 角”.球體積公式 田，球表面積公式 乂 .排列組合、二項式定理以及概率1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心2、排列數(shù)與組合數(shù)都是計算完成事件方法個數(shù)的公式，排列數(shù)是研 究排列 既取又排）個數(shù)的公式，組合數(shù)是研究組合 只取不排）個數(shù)的公 式，是否有序是它們之間的本質(zhì)區(qū)別。6ewMyirQFL排列數(shù)公式：=,當(dāng)m=n時，J,其中 m n N+ me n,規(guī)定 0!=1組合數(shù)公式：|僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途組合數(shù)性質(zhì)：1一=一,規(guī)定臼，其中 m, n N+n3、處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律兩種思路：直接法，間接法兩種途徑：元素分析法，位置分析法3 ）對排列組合的混合題，一般先選再排，即先組合再排列。弄清要 完成什么樣的事