高中數(shù)學(xué)選修5習(xí)題、章末測(cè)試題等復(fù)習(xí)資料內(nèi)含多套整理試題資料

1、最新人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5測(cè)試題全套及答案第一講不等式和絕對(duì)值不等式一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的）,則An b等于（、31 設(shè)集合 A = x|y = log2(4-2x-x2) , B=，x 1x+ 1A . x|- Kx/5- 1x|-3x2x|- 1x1正x3 或正一10可轉(zhuǎn)化為 x2+ 2x 40,解得1 mx1 + p,A= x|-1- yf5x 1可轉(zhuǎn)化為 0, x+ 1x+1解得1x42, .,.B=x|1x2, - A A B = x 1.答案： Ax+ 12.不等式 1的解集為()x- I7A .

2、x|0 x1B , x|0 x1C. x|- 1x0D. x|x0解析：方法一：特值法：顯然x=1是不等式的解，故選 D方法二：不等式等價(jià)于|x+ 1|x- 1|,即(x+1)2(x1)2,解得 x*b|-b,a?+b24ab3b之，（D ab+ 2 ab TOC o 1-5 h z 恒成立的序號(hào)為（）A -B,C.D.解析：言雋=4,即相故不正確，排除A、B; ,ab + W2近2,即正確. j ua ua D答案： D1 1.已知a0, b0,貝U &+6+2m5的取小值是()A . 24解析:B, 27251 12. ab, b0, .-.-+-=,當(dāng)且僅當(dāng)a baba = b時(shí)取等號(hào),

3、故；+(+20B的最小值為4,故選C.2師R焉+2師段/忘2旃=4當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 1且焉 =2犧時(shí)成立，能取等號(hào),答案： C.設(shè)|a|v 1, |b| 2. |a+b|+|a-b|2. |a+b|+|a-b|=2D.不可能比較大小解析： 當(dāng)(a+b)(a b) 0 時(shí)，|a+b|+ |a- b|= |(a+b)+ (a-b)|= 2|a|2,當(dāng)(a+b)(ab)0 時(shí)，|a+b|+ |a- b|= |(a+b)- (a-b)|= 2|b|1, b1.若 ax= by = 3, a+b=2j,則-+ ；的最大值為()3A. 2Bg-C. 1D.2解析： - ax= by= 3， x= log

4、a3, y= 10gb3,.1.11.1.一 + 一= ；-+；= 10g3a+ log 3bx y loga3 10gb3a+ b= log3ablog3V 4 = log33=1,故選 C.答案： C0a2|log + a(1 a)|log(1 a乂1+a)|log0 + a)(1 a)+ 10g(1 a)(1 + a)|log(1 + a)(1 a)| 110ga)(1 + a)|解析： 令a =，代入可排除B、C、D.答案： A TOC o 1-5 h z 8,若實(shí)數(shù)a, b滿足a+b=2,則3a + 3b的最小值是（）A . 18B. 6C. 2小D.43解析：3a+ 3b 2淄專=

5、2j3E =2串=6.答案： B9.已知|a|w|b|, m二|a|一%, n= 1a|： %,則m, n之間的大小關(guān)系是（）|a- b| |a+ b|A . m nB . m|a|十|b|n =力=1, m w 1 w n.|a+b|a|+|b|答案： D10.某工廠年產(chǎn)值第二年比第一年增長(zhǎng)的百分率為pi,第三年比第二年增長(zhǎng)的百分率為P2,第四年比第三年增長(zhǎng)的百分率為P3,則年平均增長(zhǎng)率 P的最大值為（）3/ P1 + p2+ p3A. pp2P3B. QC P1P2P3D zC + aO;PzO + P3)解析： . (1 + p)3= (1 + P1)(1 + P2)(1 + P3),

6、3 1 P11 p2 1P3 TOC o 1-5 h z -1 + P= (1 + p1 1(1 + P2j1 + P3 尸3,P1 P2 P3pw 3.答案： B11.若 a, b, c0,且 a2+2ab + 2ac+4bc=12,貝U a+b + c 的最小值是()A. 26B. 32D.73解析：a2+2ab + 2ac+4bc=a(a + 2c) + 2b(a+ 2c)= (a+2c)(a+2b)v -(a+2c(a+2b)-221.(a+b + c)212,又 a, b, c0,a+ b+ c 2 3.答案： A12.當(dāng)0 x4. tan x.、一一 1 一 .一這里tan x0,

7、且tan x=g時(shí)取等3.勺、1 + cos 2x+ 8sin2 x 5 3cos 2x方法f(x)=-=-(02x0.答案： C、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上.已知/a3, T=x|ax3, x 23 或 x 25 或 x5 或 x 1.又T=x|axa+ 8 , SU T=R,ra5. 一 3a 1. 1 1 1 1 Q 一-1 0 I 2 3 4 5 收4答案： 3a 1 ,求函數(shù) y=(x+5tx+2屁最小值為.x+ 1解析： x - 1,x+ 10,(x+ 5 fx+ 2 L (x+ 1 廣 4fx+1 . 1y=x+1x+1= (x+1)

8、 +5 + x；412 4147 +5=9.當(dāng)且僅當(dāng)x+1= -,即x=1時(shí)，等號(hào)成立.x+ 1 .V的最小值是9.答案： 9.某商品進(jìn)貨價(jià)每件 50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格（每件x元）在50 xW80時(shí)，每天售出的件數(shù)510-x40解析：,若想每天獲得的利潤(rùn)最多，銷售價(jià)格每件應(yīng)定為元.設(shè)銷售價(jià)格定為每件 x元（50 xw 80）,每天獲得利潤(rùn) y元，則:一5 一10 fx50) y=(x50)p=R!105t105t設(shè) x-50=t,貝U 0t30, y= (t+ 10 2= t2+20t+100 _ 5_ 5=0 = 2 500.t+華+20 20 + 20當(dāng)且僅當(dāng) t=10,即 x=6

9、0 時(shí)，ymax= 2 500.答案： 60三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）. (12 分)已知 30vxv 42,16 y 24,求 x+y, x- 2y,；的取值范圍. 解析：30 x 42,16 y 24,-46x+y 66. 16y24,一 48V - 2y v - 32,18V x- 2y10.30 x42,i i- - - - 24 y 16. 5.x 21 一 - 一4 y 8 .a . b(12 分)已知 a, b, x, yCR + , x, y 為變重，a, b 為吊數(shù)，且 a+b=10, +-= 1, x+y 的取小

10、值為18,求a, b.解析：x+ y=(x+y) 率x y=a + b+ bx+ay a+ b+ 2 Jab y x=(m+ 通)2,當(dāng)且僅當(dāng)拯=ay時(shí)取等號(hào). y x又(x+y)min=(4+ 5)2=18,即 a + b + 21ab =18又 a + b= 10a = 2a = 8由可得 或t . b=8b=2（12 分）解不等式 x+1|+|x|2.解析：方法一：利用分類討論的思想方法.3當(dāng) x 一 1 時(shí)，一 x 1 x2,斛仔一 2xW 1 ；當(dāng)一1x0 時(shí)，x+ 1 x2,解得一1x0 時(shí)，x+1+x2,解得 0Wx2.fr 因此，原不等式的解集為僅|2x 0 )=彳 一 1 (

11、一 1 w x0 -2x-3 x- 1 .作函數(shù)f（x）的圖象（如圖）,知當(dāng) f(x)0 時(shí)，一|x1,故原不等式的解集為31 I|X|-|X| t方法三：利用數(shù)形結(jié)合的思想方法.由絕對(duì)值的幾何意義知，X+ 1|表示數(shù)軸上點(diǎn) P(x)到點(diǎn)A(1)的距離，|x|表示數(shù)軸上點(diǎn) P(x)到點(diǎn)0(0)的距離.由條件知，這兩個(gè)距離之和小于2.作數(shù)軸(如圖)，知原不等式的解集為 、31兇一|x33x 3x 42 2 x|= 3當(dāng)且僅當(dāng)3x方法四：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.原不等式？ 0wx+1|v| |x|,. 僅+1)2 化一|x|)2,且 |x|,即 04|x|3-|x,且 |x|v |. 16x2(3

12、 |x)2,且*.31斛得一| x|.故原不等式的解集為* - 9, x0)的最值. x解析： 由已知x0,4函數(shù)y=3x+F的最小值為 xd(m)正比于車速 v(km/h)的平方與s(m),且車速為50 km/h時(shí)車距恰為33 9.|1. (1|分)在某交通擁擠地段，交通部門規(guī)定，在此地段內(nèi)的車距車身長(zhǎng)s(m)的積，且最小車距不得少于半個(gè)車身長(zhǎng)，假定車身長(zhǎng)均為車身長(zhǎng)s,問交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使此地段的車流量Q最大?解析： 由題意，知車身長(zhǎng) s為常量，車距d為變量.且d=kv2s,把 v=50, d=s代入，得 k= o 1nn,把 d = 1s代入 2 5002d = Tr v

13、2s,彳導(dǎo)v=25啦.所以 2 500f 2s(022 * * 25 2 .1 000v Q =d+s1 000v3(0v25 2.1 s1 +2 500 )當(dāng)025 2時(shí),Q2 =1 000V_v2 =一s 1 + 2 500 s1 000士 1 000 c 1 vs 2v 2 50025 000即v= 50時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng) v = 50時(shí)，Q取得最大值 Qzn或000.因?yàn)镼2Q1, s所以車速規(guī)定為 50km/h時(shí)，該地段的車流量 Q最大.fx x0If(x) (x0)故當(dāng)02 時(shí)，解不等式 1Wx2 4W2,得y5wxw46；綜合上述可知原不等式的解集為x|啦WxW 小或y/5V X

14、0-F(x)= -ax2-4 (x0)，mn0 ,則 n0, 1. m n0, 1- m2n2,F(m)+ F(n)= am2+ 4 an2 4=a(m2 n2),所以：當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(m) + F(n)能大于0,當(dāng)a2,則下列不等式一定成立的是 ()c cB . lg alg bD.1 1C.bC解析:從已知不等式入手：色小?ab(cw0),其中a, b可異號(hào)或其中一個(gè)為 0,由此否定 A、B、C,應(yīng)選D.答案:c 什12右 ab1-0,則下列結(jié)論不正確的是2B. ab2D. |a|+|b|a+b|解析:1 b0因?yàn)?10?a b、a0 且 b0b- a0ab ? ba0.20, b0, y0

15、 , x+ y= 1,5+山的最大值是（）A. 1B.V223C.-D.-解析： x0, y0,1 = x+ y 2xy,1，2vxy，所以 0a1 ,所以 10g2a0.1a b0 所以12a b2所以2a b4, a ba而 ab ab 2 = 4，所以 10g2a + log 2b0, b0,貝U ab”是 “a1b” 成立的()a bA .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .即不充分也不必要條件解析：a- 1- b + 1= a-b + ab =(a- b)|l + .a bab. ab,. a0, b0,ab?(b)i0? ；b可得ab”是a 1b 9成立的充要條件.

16、a b答案： C9.設(shè)a0, b0,則以下不等式中不恒成立的是 ()A. (a+b)(+b i!4B. a3+ b32ab2C, a? + b?+2 2a+2bD.|a b | Ta-/b解析： 因?yàn)?a + b)%；聲 277ab 2、Job = 4,所以 A 正確.a3+b32ab2? (ab)(a2+abb2) 0,但 a, b 大小不確定，所以 B 錯(cuò)誤.(a2+b2+ 2)- (2a+2b)=(a-1)2+ (b-1)20,所以 C 正確.4|a- b|afa Vb? /|a b| +Vb Va? bja- b 產(chǎn)0,所以 D 正確.答案： Ba2 b210.設(shè) a, bCR+,且

17、awb, P=1十=，Q=a+b,則()b aPQP010,ab PQ.答案： A.若函數(shù)f(x), g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足 f(x)g(x)= ex,則有()A. f(2)f(3)g(0)B. g(0)f(3)f(2)C. f(2)g(0)f(3)D - g(0)f(2)2 x當(dāng)a = 1時(shí)2強(qiáng)=1. 8但當(dāng)a=2時(shí)，2必=4,當(dāng)然有2x +1所以是充分不必要條件.答案： A二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上).設(shè) a=y13-質(zhì),b=J6 J5, c= V7-乖,則 a, b, c 的大小順序是 . 解析：用分析法比較，ab?5

18、+乖&+優(yōu)？ 8+2干58 + 2版，同理可比較得 bc.答案： abc.已知三個(gè)不等式：ab0; (2) cad.a b以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，為 (2)切入，去尋覓它與(1)的聯(lián)系.解析：運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行推理，從較復(fù)雜的分式不等式-cd? c-d0 a b a b a bc bc ad? ab 0? ab (bc ad)0.答案： (1)、(3)? (2); (1)、(2)? (3); (2)、(3)? (1).若 f(n)=n2+ 1 -n, g(n)=n-n2-1, 48) = ，則 f(n), g(n), (f)(n)的大小順序?yàn)?解析： 因?yàn)?f(n) = Jn2+

19、 1 - n=,nn2+1 + ng(n)=-g =*21 + n.又因?yàn)?n21+n2n n2+1 + n,所以 f(n) &n)(j)(n)f(n)完成反證法整體的全過(guò)程.題目：設(shè)a1, 82,，a7是1,2,3,，7的一個(gè)排列，求證：乘積p= (a1一 1)(a22)-一(a77)為偶數(shù).證明：反設(shè)p為奇數(shù)，則 均為奇數(shù).因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)=.=0.但奇數(shù)w偶數(shù)，這一矛盾說(shuō)明p為偶數(shù).解析： 反設(shè)p為奇數(shù)，則(a1-1), (a2 2),，(a77)均為奇數(shù).因?yàn)閿?shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)=(a1 1)+ (a2 2)+ + (a7 7)= (a+ a2+ +a7

20、) (1 + 2+3+ + 7)=0.但奇數(shù)w偶數(shù)，這一矛盾說(shuō)明 p為偶數(shù).答案：(a1一1), (a2 2),，(a7- 7)1)+02)+ + (a77)(a+a2+ a7)(1 + 2+3+ 7)三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)(12 分)若 abc,求證：a2b+b2c+c2aa2c+b2a+c2b.證明： abc, a b0 , b c0, a c0,于是：a2b+b2c+c2a(a2c+ b2a+c2b)=(a2b a2c) + (b2c b2a) + (c2a c2b)=a2(b c) + b2(c a) + c2(a b)

21、=a2(b c) b2(b c)+ c2(a b) b2(a b)=(b-c)(a2- b2)+ (a-b)(c2-b2)=(b c)(a b)(a+ b)+ (a b)(c b)(c+ b)=(b c)(a b)a+ b (c+ b)=(b c)(a b)(a c)0,1- a= .又因?yàn)?a2+b2=1, c2+d2=1.b+ b2 c+ c2a 午c 1-1 20由于上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘,W嶇福8ca b c，一 .，1 ，一，一當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c=1時(shí)取等號(hào). 3（12 分）求證：43+481+幣0.證明： 用分析法證明,8+ 31 + ,10?8+3+2 241 +

22、10 + 2 10?2 242 10? 24 10.最后一個(gè)不等式是成立的，故原不等式成立.2.求證 |ac+ bd|0,且x+y2,則土丁和1廣中至少有一個(gè)小于證明：反設(shè)2且生2,xyx, y0,1 + y 2x,1 + x2y 兩邊相加，貝U2+ (x+y)2(x+ y),可得 x+ y2 矛盾，口上已中至少有一個(gè)小于 2.x y(12 分)已知 a, b, c, d 都是實(shí)數(shù)，且 a2+ b2= 1, c2+ d2= 1,證明：證法一(綜合法)因?yàn)閍, b, c, d都是實(shí)數(shù)，所以a2+c2 b2+d2|ac+ bd| |ac|+ |bd|2 +2a2 b2 c2 d2所以 |ac+ b

23、d| 1.證法二(比較法)顯然有|ac+bd|wi? 1 ac+ bd 1.ac+ bd ( 1).1,1=ac+ bd+ + ga2+b2 c2+d2=ac+ bdd122=a+c2+ b+d1 02 ac+ bd 1.再證明ac+ bd 1.11,.1 1 (ac+ bd) = Q + Q (ac+ bd)a2+b2 c2+d22 + -2 ac bdja c/b-d2 接 2ac+ bd 1.綜上得 |ac+ bd| 1.證法三（分析法）要證|ac+bd|W1.只需證明（ac+ bd）2 1. TOC o 1-5 h z 即只需證明a2c2+2abcd+b2d2w 1.由于a2+b2 =

24、 1, c2+d2=1,因此式等價(jià)于a2c2 + 2abcd+ b2d20.因?yàn)閍, b, c, d都是實(shí)數(shù)，所以式成立，即式成立，原命題得證.a1=3, b1（14分）數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為0,數(shù)列、為等比數(shù)列，且 =1,數(shù)列ban是公比為64的等比數(shù)列，b2及=64.（1）求 an, bn； TOC o 1-5 h z （2）求證：2 + 2+ 1=1 卜1*-七,(a+ b)2, 所以a+bC-2書,2洞,故選A.答案： A.若 x2+x2+x2= 1, y2+y2+. 2. 3解析：由(x1y1+x2y2+ xnyn)2W(x2+x2+x2)(y2+y2+y2)

25、=1,故選 B.答案： B3.學(xué)校要開運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要買價(jià)格不同的獎(jiǎng)品 40件、50件、20件，現(xiàn)在選擇商店中單價(jià)為 5元、3元、2元的獎(jiǎng)品，則至少要花（）A. 300 元B. 360 元C. 320 元D. 340 元解析：由排序原理知，反序和最小為320,故選C.答案： C.已知a, b, c為非零實(shí)數(shù)，則（a2+b2+c2）g +、：和最小值為（）91218解析:由(a2+ b2+ c2) , $+ 112 c= (1 + 1 + 1)2=9,，所求最小值為9,故選B.答案： B TOC o 1-5 h z .設(shè) a, b, c0, a2+b2+c2=3,則 ab+bc+ca 的最大值為()

26、A. 0B. 133C. 3D.青3解析：由排序不等式 a2+b2 + c2ab+ bc+ac,所以ab+ bc+ ca 3.故應(yīng)選 C.答案： C TOC o 1-5 h z 6.表達(dá)式x1 y2 + y,1 x2的最大值是（）A. 2B. 1C. 2D.-23解析： 因?yàn)?x,1 y2 +yy1 x2 1,故選 B.答案： B7,已知不等式（x+ y） 1+ 1 ia對(duì)任意正實(shí)數(shù)x, y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）42D. 16解析： 由（x+y）衛(wèi) + ：異（1 + 1）2= 4,因此不等式（x+y）（x+ 丫）$ + ； Fa對(duì)任意正實(shí)數(shù)x, y恒成立, 即aW4,故應(yīng)選B.答案：

27、B8.設(shè)a, b, c為正數(shù)，a+ b+4c= 1,則/+/+2爪的最大值是（B. 3,3D.2A. 5C. 2/3解析：1 = a + b+4c=(1)2+(加)2+(2也)2=1(狙)2+($)2+(2也)2 ( j+12+12) 3c 1(乖 + /b+2m)w，3.(乖+/+2啊V3,即所求為 后答案： B.若 abcd, x= (a+ b)(c+ d), y= (a+c)(b+d),z= (a+d)(b+c),則x, y, z的大小順序?yàn)?)A. xzyB. yzxC. xyzD. zyd且bc,則(a+ b)(c+ d)(a+ c)(b + d),得 xb 且 cd,則(a + c

28、)(b + d)(a + d)(b + c),得yz,故選C.答案： C TOC o 1-5 h z .若0va1va2,0v b1 b2且a + a2=b+b2= 1,則下列代數(shù)式中值最大的是()A . a1b + a2b2B. aa2+b1b21C. a1 b2 + a2 b1D2解析：利用特值法，令 a = 0.4, a2=0.6, b1 = 0.3, b2= 0.7計(jì)算后作答；或根據(jù)排序原理，順序和最大.答案： A.已知a, b, c, d均為實(shí)數(shù)，且a + b+c+d = 4, a2+b2+c2+d2 =差，則a的最大值為()3A . 16B. 10C. 4D. 2解析： 構(gòu)造平面

29、兀：x+y+ z+(a 4)=0,球 O: x2+ y2+ z2= 16 a2,3則點(diǎn)(b, c, d)必為平面 兀與球。的公共點(diǎn)，從而341ss、/?二2即 a2-2a0,解得 0WaW2,故實(shí)數(shù)a的最大值是2.答案： D. x, y, z是非負(fù)實(shí)數(shù)，9x2 + 12y2 + 5z2 = 9,則函數(shù)u= 3x+6y+5z的最大值是()B. 10C. 14D. 15解析：u2= (3x+ 6y+ 5z)2& (3x)2 + (2V3y)2+ ()2 12 +(73)2 +(W)2= 9X9= 81, 1. u3 + 5+ 4+4+2= 12.33答案： 12.已知a, b是給定的正數(shù)，則 a2

30、+ 3-的最小值是 sin a cos a解析：事+ -bsin a cos a=(sin2 葉 cos2 )22+ 與-(a + b)2 in a cos ay答案：(a+b)2x, y, z,則 x, y,z所滿足.已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2我的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為 的關(guān)系式為 , X2+ y2+ z2的最小值是 .解析：利用三角形面積相等，得2x2V3(x+y+z)=x(2V3)2,即 x+ y+ z= 3;由(1 + 1 + 1)(x2+ y2+ z2) (x+ y+ z)2= 9,則 x2+y2+z23.答案：x+y+z= 3 3a的取值.若不等式|a-1|x+2y+ 2z

31、,對(duì)滿足x2+y2+z2= 1的一切實(shí)數(shù)x, y, z恒成立，則實(shí)數(shù) 范圍是.解析：由柯西不等式可得（l2+ 22+ 22）（x2+y2+z2）（x+2y+2z）：所以x+2y+2z的最大值為3,故有 |a1|3,. a4 或 a4或aw2三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 ）（12 分）已知 a?+b2=1, x?+y2=i.求證：ax+by （ax+ by）1 （ax+ by）222222又 a b+ a b + a a+ ab +ab 3a b + 2ab .則 3a3+2b33a2b+2ab220. （12 分）已知 x, y, zC

32、R,且 x+y+z= 3,求 x?+y?+z?的最小值.解析：方法一：注意到x, y, z R,且x+y+z=3為定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）02+l2+12）僅 1+y 1+z1）2 = 9,從而當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取“=”號(hào)，所以X2+ /+ z2的最小值為3.方法二：可考慮利用基本不等式“a2+b22ab”進(jìn)行求解，由 x2+ y2+ z2= （x+ y+ z）2- （2xy+ 2xz+ 2yz）,1-1 |ax+ by| ax+ by,所以不等式得證.（12 分）設(shè) x?+2y2= 1,求 kx+2y 的最值.解析： 由 |x+2y|=|1 x+ yj2 y|b0,

33、求證：3a +2b 3a b+2ab .證明： ab0,.aaabb0, a? a?b?0,由順序和 亂序和，得3 ,3 ,3 , . 3 , 3、 2222 ,.2a + a + a + b + b a b+ a b+ a a+ ab +ab .所以x2+ y2+ z2的最小值為3.21. （12分）設(shè)a, b, c為正數(shù)，且不全相等，求證:2229，一.a+b b+ c c+ a a+b+c證明： 構(gòu)造兩組數(shù)yja + b,b+ c, c+ a;,7匚，7三,則由柯西不等式得aja+ b /b + c cjc+ a(a+b+b+c+c+a)指+上廣(1 + 1 + 1)2,即 2(a+b+

34、c)島+吉+會(huì)9.于是W +9.a+b b+c c+a a+b+ca+bb+c c+a a+b+c由柯西不等式知,中有等號(hào)成立？1_a+bb+ cc+ a? a+ b= b+ c= c+ a? a= b= c.因題設(shè)a, b, c不全相等,故中等號(hào)不成立，于2229- +- .a+b b+c c+a a+b+c22. (14 分)設(shè) x1，x2,xnC R +,且 x + x2+22xn=1,求證：+1 +x11 + x2x2、1法1+xnn+1證明： 因?yàn)閤1 +x2+xn=1,所以 n+1 = (1+x)+(1 + x2)+ (1+xn).+2 x21x22 上1 +x2+x21 + xn

35、 (n +1)2xn1 +xn(1 + x)+ (1 + x2) + (1 + xn)2. (x1 + x2+ + xn) = 1 ,22所以+1 + x11 + x22 xn1 + xnn+ 1第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的） 111.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+ 211 1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式 ()B.1 11+o22 31 , 1C. 1 + 2+33D.1,1,11+2+3+41, n取的第一個(gè)自然數(shù)為，一 一. 11 一，2,左端分母最大的項(xiàng)為2 = 3故選B.答案： B2,用數(shù)學(xué)歸納法

36、證明12 + 32+ 52+ (2n1)2 = %(4n21)的過(guò)程中，由 n = k遞推到n=k+1時(shí),3等式左邊增加的項(xiàng)為()(2k)2(2k+3)2C. (2k+ 1)2D. (2k+2)2解析： 把 k+1 代入(2n1)2 得(2k+21)2即(2k+ 1)2,選 C.答案： C3.設(shè)凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n+1邊形的對(duì)角線的條數(shù)，加上多的哪個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對(duì)角線的條數(shù)須+1)為()A . f(n) + n+ 1B.f(n) + nC. f(n) +n1解析： 凸n+1邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于凸D.f(n) + n 2n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對(duì)角線白勺

37、條數(shù)(n2)條，再加上原來(lái)有一邊成為對(duì)角線，共有 f(n) + n1條對(duì)角線，故選 C.答案： C2653711024觀察下列各等式：二十二=2,二十二=2,乙十=2,于7+F =2,依照以 TOC o 1-5 h z 上各式成立的規(guī)律，得一般性的等式為()n8 n2A/ - 4 |8- n - 4B.浦+仁君=2n+1 n+ 52D, n+1-4 n+5-4解析：觀察歸納知選A.答案： A5,欲用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于足夠大的自然數(shù)n,總有2nn3,那么驗(yàn)證不等式成立所取的第一個(gè)n的最小值應(yīng)該是()B. 9C. 10解析:D. n10,且 nC N +由210= 1 024103知，故應(yīng)選C.

38、6.用數(shù)學(xué)歸納法證明:n n+1 n+ 2l+aMnCN*, 22）時(shí)，由到1,不等式左端的答案： C變化是（）一 1 一A .增加丁丁一項(xiàng)2 k+ 1B.增加2k+1 2(k+1)兩項(xiàng) TOC o 1-5 h z 1 一 11 一C.增加元力和上7四項(xiàng)，同時(shí)減少k一項(xiàng)2 k十 12k十 I kD.以上都不對(duì)1111而 f(k+1) =解析： 因 f(k)=k+kZ7+2+十二？ k k1 k2 kk+ +,k+1k+2 k+k k+k+1 k+k+2111故 f(k+1) f(k)=+-1,故選 C.2k+12k+2k答案： C7 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 34n+1+521（nC N+）能被8整

39、除時(shí)，若n= k時(shí)，命題成立，欲證當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立，對(duì)于S4+D+jak+A1可變形為（）56 X 34k+1 + 25(34k+1 + 52k+1)34X 34k+1 + 52X 52kC.34k+“2k+125(34k+1+52k+1)解析：由 34(k+1) + 1 + 52(k+1)+1=81 X 34k+1+25X 52k+1 + 25X 34k+ 1 25 X 34k+1= 56X34k+1+25(34k+1 + 52k+1),故選 A.答案： A8.用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n + 1)(n +2)(n+ n)=2n 1 3 5 (2n- 1)(nC N*)” 時(shí)，從 n=k至U

40、 n = k+ 1 等式的左邊需增乘代數(shù)式為（）2k+ 1k+ 12k+ 3D7 k+ 12k 12k 2-k7解析： 左邊當(dāng)n=k時(shí)最后一項(xiàng)為2k.左邊當(dāng)n=k+1時(shí)最后一項(xiàng)為2k+2,又第一項(xiàng)變?yōu)?k+2,，需乘答案： C9,數(shù)列an中，已知a1=1,當(dāng)n2時(shí)，an- an i = 2n- 1,依次計(jì)算a2, as,包后，猜想an的表達(dá)式是（）2A . 3n 2B. nC. 3n 1D. 4n-3解析： 計(jì)算出 a= 1, a2= 4, as = 9, a4= 16.可猜an=n2故應(yīng)選B.答案： B4十口210.用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + 2 +3+門2=，2，則當(dāng)n= k+1時(shí)左端應(yīng)在n=

41、k的基礎(chǔ)上加上（）A . k22(k+1)2(k+1)+ (k+ 1 22(k2+1) + (k2+2)+ - + (k+1)2解析： :當(dāng)n=k時(shí)，左端=1 + 1 + 2+3+ k2,當(dāng) n = k+1 時(shí)，左端=1+2+3+ - +k2+(k2+1)+(k2 + 2) + - - + (k+ 1)2.故當(dāng)n= k+1時(shí)，左端應(yīng)在 n=k的基礎(chǔ)上加上(k2+1) + (k2+2) + (k+1)2,故應(yīng)選 D.答案： D.用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 由2+ nn+1（nC N*）”的第二步證 n=k+ 1時(shí)（n= 1已驗(yàn)證，n=k已假設(shè)成 立）這樣證明： 迎+ 1 j+ （k+ 1尸 #2+ 3k

42、+ 22n+ 1(n3);(2)2 + 4+6+- + 2n = n2+n+2(n 1);凸n邊形內(nèi)角和為f(n)= (n-1) Ttn(3);(4)凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f(n) =血64).n=其中滿足“假設(shè) n = k(kCN+, kn)時(shí)命題成立，則當(dāng) n= k+1時(shí)命題也成立.”但不滿足“當(dāng) n0(n0是題中給定的n的初始值)時(shí)命題成立”的命題序號(hào)是解析： 當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)經(jīng)驗(yàn)證(2)(3)(4)均不成立，(1)不符合題意，對(duì)于(4)假設(shè)n= k(k N + , kno) 時(shí)命題成立，則當(dāng) n=k+1時(shí)命題不成立.所以(2)(3)正確.答案：(2)(3) TOC o 1-5 h z 三、

43、解答題(本大題共6小題，共74分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟). (12分)用數(shù)學(xué)法歸納證明：1.1,.11,1.1+ + = + +1 X 2 3X4(2n1)2n n+1 n+2n+n1證明： (1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=7y = 1，1X2 2,1 右邊=2，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)，等式成立，即+ +1 X 2 3X4(2k1 )2k TOC o 1-5 h z . 1+ + 77, k+1 k+22k則當(dāng)n= k+1時(shí),111+ +1 X 2 3X4(2k1 )2k (2k+10k+2), 1 ,1=+ + +k+1 k+22k (2k+10k+ 2)111

44、11= k7+kT+ , + 2；+(2k+1-2k+ 2，i+ 不1 , iLk+2+k+3+ + 2k+ 2k+ 1 + 2k+ 2+ +k+1 +1 k+1 +2即當(dāng)n= k+1時(shí)命題成立.由(1)(2)知，對(duì)任意nC N+原命題成立.(12分)證明凸n邊形的對(duì)角線條數(shù):、1，7,、f(n) = n(n 3)(n4).1證明： 當(dāng)n=4時(shí)，f(4) = X4X (4 3) = 2.四邊形有兩條對(duì)角線，命題成乂.1假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)，命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(k) = k(k 3)(k4),當(dāng)n= k+ 1時(shí)，凸k+1邊形是在k邊形的基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)Ak+3

45、增加的對(duì)角線條數(shù)是頂點(diǎn)Ak+1與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k邊形的一邊AAk,增加的對(duì)角線條數(shù)為(k+1) 3+1 = k1,.11 2f(k+1) = 2k(k- 3)+ k- 1 =(k k-2)1= 2(k+ 1)(k-2)1= 2(k+1)(k+1)-3.故門=卜+1時(shí)，命題也成立.故可知，對(duì)任何 nCN + , n4命題成立.(12 分)求證：(1 + 1)9 + 1；1+ 5卜+1M2n+1.證明：利用貝努利不等式(1 + x)n1 + nx(n C N + , n 2, x - 1, xw0)的一個(gè)特例 i+ 2k 1 j1 +12 2k-1此處n = 2,k分別取1,2,3,，n時(shí)

46、,n個(gè)不等式左右兩邊相乘，得(1+1),+3 )G+3人借系.即0+1) r+1+5卜卜+2717 1亞+1成立.(12 分)是否存在常數(shù) a, b, c使等式(n212) + 2(n222)+ n(n2 n2) = an4+bn2+c對(duì)一切正整 數(shù)n成立？證明你的結(jié)論.解析： 存在.分別有用n= 1,2,3代入，解方程組露:13?!：b4,1a+ 9b+c= 18 c= 0下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n= 1時(shí)，由上式可知等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)等式成立，則當(dāng) n=k+ 1時(shí),左邊=(k+1)212 + 2(k+1)222 + k(k+1)2k2+(k+1) (k +1)2(k+

47、1)2= (k2 12)+2(k2 22)+ + k(k2- k2) + (2k 1) + 2(2k+ 1) + k(2k+ 1)=k4+ ,；卜2+ (2k+ 1) kk； 1)= %k + 1)4 ：(k+ 1)2.由(1)(2)得等式對(duì)一切的nC N+均成立.(14 分)對(duì)于數(shù)列an,若 a1 = a+1(a0,且 aw1), an+1 = a1一： aan求a2, as, a4,并猜想an的表達(dá)式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.11斛析： (1) :a1= a + 一，an+1 = a1一一, aan a2= a1 一= a Ha111a十 一 aa2+1a4+a2+ 1aa2 +

48、1 a a2+ 1 _1a3=a1- -a2aa2+ 112+ 1a6+a4+a2+ 1 a a4+ a2+ 1 -，h 口a8+a6+a4+a2+1同理可將 a4= a(a6+a4+a2+1)轉(zhuǎn)相 a2n+a2+ a2+1 狷心 an = a(a*2+a2n-4+ + 1：a22 1a2-a2n+2-1a2n1 =a a2n-1 .a a2-1(2)當(dāng)n= 1時(shí)，右邊=a4 - 1a a2- 1a +11片4A=a1，等式成乂.a假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(kC N*),等式成立，即a22 1ak=a(a2k_ 1)則當(dāng) n=k+ 1 時(shí),ak+1 = a1 aka2+ 1aa2k_ 1 )a2k+2-

49、 1a2+ 1 a221 a2 a2k 1=a a2k+2-1a2k+ 2-1= a(a2F)1 j這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,r 一 r 一.，a , .*根據(jù)可知，對(duì)于一切n N ,a2n+2T -an = a a2n_ 1 成乂一、選擇題（本大題共12小題，每小題 題目要求的）.已知：a+b0, bb a b C. a bba 解析： a+ b0 a b, b a .b0b - a b b a 答案： C. a+ cb+ d是ab 且 cd”的（A .必要不充分條件C.充分必要條件 解析： 答案：全冊(cè)質(zhì)量檢測(cè)5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合B. a ab

50、 bD. a bab）B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件ad 且 cd,選 A.易得ab且cd時(shí)必有a + cb+d.若a+cb + d時(shí)，則可能有Aa0, b0,且 a+b= 2,則()A .1r ,1A . ab2C, a2+b22D. a2+b2w3解析： 由 a0, b0,且 a+b=2,.,4=(a+b)2=a2+b2 + 2abw 2(a2+ b2),.a2+b2R2.選 C.答案： C4,若不等式|2x3|4與不等式x2+px+q0的解集相同，則 p： q等于()A . 12 ： 7B. 7 ： 12C. ( 12) ： 7D. (-3) ： 4解析： |2x-3|4?

51、2x- 34 或 2x-37或. 7 1_0 x0對(duì)一切xC |成立，則a的最小值為（）5- 2 O - A c解析： -.X +ax+ 10 xe（o. I又.一 夕十1）勺最大值為一x21- amin= - |.答案： C6.如果 P= Vl7, Q=1+Vl5, R=,+ 那么有（）A . PQRB, RPQC. QRPD, RQP解析： P2=17, Q2= 16+2/15,R2= 12+2/35,j. q2-P2= 2-715-10,r2p2 = 2 樨5o,P最小.q2r2= 2標(biāo)+42 傳，又（2 屜+4產(chǎn)=16+60+ 1615=76+16/752 匹+4,Q2R2, Qn+i

52、答案： D7.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意x0和正整數(shù)n,都有時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值rio應(yīng)為（）n0=2C. no = 1,2D.以上答案均不正確解析:n0= 1 時(shí),x+ -1+1成立，再用數(shù)學(xué)歸納法證明. x答案:8.函數(shù)y=log2，+x3+ 5 （x1）的最小值為（）C. 4解析:x1 ,x- 10,= log28=3,x0, 一 . .1，.一，當(dāng)且僅當(dāng)x1：時(shí)等號(hào)成立,又.x=2時(shí)，y有最小值3,選B.答案： B” |x1|2” 是 x3 的()A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析： |x- 1|2? -2x- 12?1x

53、3.1x3? x3,反之不成立.從而得出“|x1|2是艾0 , 1. qp.答案： B11.已知實(shí)數(shù) x, y 滿足 x2+y2=1,則（1xy）（1+*丫）有（）B.最小值4和最大值1D.最小值1A ,最小值1和最大值1C,最小值I和最大值4 解析：1 = x2+ y2 |2xy|,，一 1 |xy|2，2(1 xy) (1 + xy) = 1 (xy), 1-Wy%3且 1 x2y2W1.答案： B112.在數(shù)列an中，a1 = -,且Sn=n(2n-1)an,通過(guò)求a2, 83, 84,猜想an的表達(dá)式為(31A，n 1 n+ 11c-2n 1 2n+ 11解析： 經(jīng)過(guò)a = 1可算出3

54、1B.2n 2n+ 11D.- -(2n+ 1 0n+2)a2=Q，a3=,所以選C.答案： C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.若不等式|x1|a成立的充分條件是 0 x4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解析：|x- 1|a? 1 ax4 .故 a3.答案： 3, +oo ).如果 x0 , y0, x+ y+xy=2,貝U x+y 的最小值為 .解析： 由 x+y+ xy=2 得 2 (x+ y)=xy,2(x+y)w 亨,2，即(x+y)2+ 4(x+y)-80,x+yW 223或 x+ y2t3 2,又x0, y0,.(x+y)min=2/3

55、-2答案： 2,32.若 f(n)=,n2+ 1 - n, g(n) = 2n-, nCN + ,則 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系為 .解析：f(n)= Rn2+ 1 n = , 2 1 f(n).已知 f(n)= 1+； + !+=(n C N ),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)n時(shí)，f(2k+1)- f(2k) = TOC o 1-5 h z 2 3n2一一 一 1 11解析：；f(n) = 1 + 2+3+ +nf(2k)= 1+1 + 1+ +* 2 32k+11,1, 11,1,1f(2-什+了+汴k+1 k 111f(2 )-f(2)=2V7+k2+ + 廠，一 111答案：2T7+

56、27T7+ 27T1三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 17. (12 分)設(shè)函數(shù) f(x) = |x-4|+|x-1|.求f(x)的最小值；(2)若f(x)4)=，3 (1x4 而一2x (x 1 )作出y= f(x)的圖象，如圖所示.i : TOC o 1-5 h z R* *I i 2 “ 1t則(1)f(x)的最小值為3.(2)若 f(x)W5,則 2x-5 5,4x5.35, 1. 1x4.由 5-2x5, 1. 0 x 1，x的取值范圍為0,5.18. （12分）已知0a9.證明： -.(3a-1)20,2 9a 6a + 1

57、0 1 + 3a 9a(1 a). 0a1,廠9,1 a即1 a+4a a(1 a j(12 分)若 0a2,0b2,0c1, (2-b)c1, (2-c)a1,2a 91,那么同理（24=一117. + 一 3+7 n2-b）+c1,中1.由+得 33,上式顯然是錯(cuò)誤的, .該假設(shè)不成立. (2 a)b, (2b)c, (2c)a 不能向日寸大于1.（12分）若n是不小于2的正整數(shù)，試證:411111272+3-4+力-2；T.1 1 1證明：1卞+丁”+2 3 42n- 1 2n小，1,1, 11,1, 1=(1 + 尹3+一+五)2(萬(wàn)+4+一+屈=7 + -+ + 玄， n +1 n+

58、22n所以求證式等價(jià)于7n+ 1 + n+ 2,1 .2+ 2nn ,2n：二I- -= T :(n+1 (n+ 2+2n 3n+1又由柯西不等式，有1111, f(n)= 1+1+1+ 1 23 n- n 2求證：f(2n)-2-.證明：用數(shù)學(xué)歸納法. TOC o 1-5 h z 當(dāng)n= 2時(shí)，f(22)= 1 + 1 + 1+1=2!弩，所以命題成立. 234 122設(shè)n= k(k2)時(shí)，命題成立，即f(2k),2,那么當(dāng)n= k+ 1時(shí)，f(2k+1)= 1+m+:+k1 +22 322 十 1,1卜+ 21m11 k+211上+廣-+尸+大k2k個(gè)k+22k k+3 k+1 +22 +

59、2k+1- 2 2，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立，根據(jù)及，由數(shù)學(xué)歸納法知，原命題對(duì)任何大于1的正整數(shù)n都成(14 分)已知數(shù)列an滿足 a = 2, an+ = 21 + ；f an(nC N +),(1)求a2, a3,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) Cn=F,求證：c+C2+c3+ + Cn. anIU解析： (1).a1=2,12-、an+1 - 2 ( + n J an(n N ), - a2= 2 1 +1a1=16,又an+1(n+12c an=2 孑，n N ,野為等比數(shù)列.an= n 2 .(2)Cn = = n, an n 2 C1 + C2+ C3+ + Cn._ _I-

60、 _ _2 I-3 I , , , In1 2 2 23 2 n 2+重 十2n1,1, 1 , 12 8 24 41 %n 3 TOC o 1-5 h z 211理-2=3+41- 212 1 24213+4 F=3+亞1-2_67_670 96X7 _ 7_ 一而96O1的自變量x的取值范圍是（）A.（- 8,-2 U 0,4B.（-巴-2 U0,1C.（- s,-2 U1,4D.-2,0 U1,4【解析】選A.當(dāng)x1時(shí)，由（x+1） 2n1 得 xW-2 或 0Wx1 時(shí)，由 4-|x-1| 1 得 1 WxW4.綜合上述，使f（x） 1的自變量x的取值范圍是（-巴-2 U 0,4.（2