§1.5 矩陣的初等變換

1、1.5 矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形二、初等矩陣三、利用初等變換求逆矩陣四、矩陣方程1一、矩陣的初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形1.定義 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1) 交換兩行 (交換 i , j 兩行, 記作 ri rj ).(2) 用一個(gè)非零常數(shù)乘以某行 (用數(shù) k 0乘以第 i 行, 記作 ri k ).(3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行, 記作 ri+krj ).把定義中的“行”換成“列”, 即得矩陣的初等列變換的定義(所用記號(hào)是把“r ”換成“c”)22. 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換初等變換的逆變換仍為

2、初等變換, 且變換類型相同(1) ri rj 的逆變換是 ri rj(2) ri k 的逆變換是 (或記作 ri k ). (3) ri+krj 的逆變換是 ri+(k)rj(或記作 ri krj ). 33. 1) 若矩陣A經(jīng)有限次初等行 變換變成矩陣B, 就稱矩陣A與B行 等價(jià), 記作(列)(列)2) 若矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B, 就稱矩陣A與B等價(jià), 記作 A B.等價(jià)關(guān)系具有性質(zhì)：(1) 自反身性: A A .(2) 對(duì)稱性: 若 A B, 則 B A.(3) 傳遞性: 若 A B, B C,則A C.4 定理1.2 任一矩陣Amn , 總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它化為行階梯

3、形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣. 定理1.3 任一矩陣Amn , 等價(jià)于矩陣 , 其中 Er是 r 階單位矩陣( 約定r=0時(shí), E0為零矩陣). 稱為矩陣 A 的標(biāo)準(zhǔn)形.特點(diǎn): 左上角是一個(gè)單位矩陣, 其余元素全為0.5例1 將矩陣 化為行階梯形、行最簡(jiǎn)形及標(biāo)準(zhǔn)形. 矩陣化標(biāo)準(zhǔn)形步驟：先 用初等行變換化為行最簡(jiǎn)形,再用初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.6例 將矩陣 化為標(biāo)準(zhǔn)形. 說明: n 階可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是 n 階單位矩陣E.71.定義 對(duì)單位矩陣 E 施行一次初等變換后得到的方陣稱為初等矩陣.2. 三種初等矩陣:二、初等矩陣 E(i, j ), E( i( k ) , E( i,j( k ).3. 初等矩陣

4、的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣.4. 初等矩陣均可逆, 且有:82. 三種初等矩陣(1) 對(duì)調(diào)單位陣E第 i , j 兩行 得初等方陣 E(i, j ). 第 i 行 第 j 行(列)9(2) 以數(shù) k0 乘單位陣E的第i行 得初等陣 E( i( k ) . 第 i 行(列)10(3) 以數(shù) k0 乘E的第 j 行加到第 i 行得初等陣 E( i,j( k ). 第 i 行 第 j 行 以數(shù) k0 乘E的第i 列加到第 j 列11例2 以下矩陣是否是初等矩陣?125. 初等矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè) A 是 m n 矩陣, 對(duì) A 施行一次初等行變換, 相當(dāng)于用相應(yīng)的 m 階初等矩陣左乘 A ; 對(duì) A 施

5、行一次初等列變換, 相當(dāng)于用相應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘 A .13用 m 階初等方陣 Em(i, j )左乘 Amn=(aij), 得: 第 i 行 第 j 行相當(dāng)于把 A的第 i 行與第 j 行交換 ( ri rj ).14類似地: 用 n 階初等方陣 En(i, j )右乘 A=(aij), 得: 第 i 列 第 j列相當(dāng)于把 A的第 i 列與第 j 列交換 ( ci cj ).15例3 求解16例 若 求 A.解175. 初等矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1.1 設(shè) A 是 m n 矩陣, 對(duì) A 施行一次初等行變換, 相當(dāng)于用相應(yīng)的 m 階初等矩陣左乘 A ; 對(duì) A 施行一次初等列變換, 相當(dāng)于用相

6、應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘 A .性質(zhì)1.2 n 階方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等方陣18性質(zhì)1.2證明(充分性)(必要性)19矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本運(yùn)算, 應(yīng)用廣泛, 其一個(gè)最基本的性質(zhì)是:定理1.4 設(shè)矩陣 A 與 B 均為 mn 矩陣:的充要條件是存在m階可逆矩陣P, 使 PA=B.的充要條件是存在n階可逆矩陣Q, 使 AQ=B.3) AB的充要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q, 使 PAQ=B. 20 推論1 對(duì)于任意的矩mn 矩陣陣 A ,存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q, 使 推論2 設(shè) A, B 均為 n 階方陣, 若 AB=E或BA=E, 則 A, B

7、均為可逆矩陣, 且它們互為逆矩陣. 推論2意義 證明 A為B 的逆矩陣, 只需驗(yàn)證 AB=E 或 BA=E 中一式成立即可. 21推論2證明存在 n 階可逆陣P和Q, 使由此可斷定 r = n, (否則 P 的最后一行全為零, 與 P 可逆矛盾.) 從而有故 A 可逆. 由 AB=E, 兩邊左乘 A1, 得 B=A1, 故 B 也可逆, 且 A, B 互為逆矩陣. 22例423 推論1 對(duì)于任意的矩mn 矩陣陣 A ,存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q, 使 推論2 設(shè) A, B 均為 n 階方陣, 若 AB=E或BA=E, 則 A, B 均為可逆矩陣, 且它們互為逆矩陣. 推論3 方陣A可逆

8、的充分必要條件是 推論3表明: 可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是單位矩陣.并且可以不通過初等列變換，而僅僅通過有限次初等行變換就可把可逆矩陣化為單位矩陣 24三、利用初等變換求逆矩陣設(shè)方陣 A 可逆, 則 A1 可逆, 且有A1A=E, 例525解26說明: 求 A 的逆矩陣也可用初等列變換. 27四、矩陣方程由矩陣組成的含有未知矩陣的等式稱為矩陣方程.設(shè)矩陣 A, B, C 為已知矩陣, X 是待求矩陣,1) AX=B2) XA=B3) AXB= C標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程: A1 存在解 X=A1B. A1 存在解 X=BA1. A1, B1 存在解 X=A1CB1. 其他形式的矩陣方程化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程求解.28例6 求解下列矩陣方程29解將方程記為 AX=B, A可逆, 且有30解將方程記為 XA=B, A可逆, 且有31例7 設(shè)求滿足 AXB=C 的矩陣 X .此種題型解題步驟:先說明A, B可逆,并求出 A1, B1.然后計(jì)算 X= A1CB1 .32例8 設(shè)矩陣