2022年時間序列的協(xié)整和誤差修正模型

1、3.2 協(xié)整與誤差修正模型Cointegration and Error Correction Model一、長期均衡與協(xié)整分析二、協(xié)整檢驗三、誤差修正模型2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)一、長期均衡與協(xié)整分析Equilibrium and Cointegration2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)1、問題的提出經(jīng)典回歸模型（classical regression model）是建立在平穩(wěn)數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的，對于非平穩(wěn)變量，不能使用經(jīng)典回歸模型，否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題。由于許多經(jīng)濟變量是非平穩(wěn)的，這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的（c

2、ointegration)，則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子, 從經(jīng)濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，它們之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué) 經(jīng)濟理論指出，某些經(jīng)濟變量間確實存在著長期均衡關(guān)系，這種均衡關(guān)系意味著經(jīng)濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調(diào)整以使其重新回到均衡狀態(tài)。 假設(shè)X與Y間的長期“均衡關(guān)系”由式描述 2、長期均衡該均衡關(guān)系意味著:給定X的一個值，Y相應(yīng)的均衡值也隨之確定為0+1X。 2022/7/25計

3、量經(jīng)濟學(xué)在t-1期末，存在下述三種情形之一：Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ；Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在時期t，假設(shè)X有一個變化量Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關(guān)系，即上述第一種情況，則Y的相應(yīng)變化量為:vt=t-t-1 2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則t期末Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化大一些；反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，則t期末Y的變化往往會小于第一種情形下的Yt ?？梢?，如果Yt=0+1Xt+t正確地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的“均衡關(guān)系”，則意味著Y對

4、其均衡點的偏離從本質(zhì)上說是“臨時性”的。一個重要的假設(shè)就是:隨機擾動項t必須是平穩(wěn)序列。如果t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導(dǎo)致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)式Y(jié)t=0+1Xt+t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibrium error），它是變量X與Y的一個線性組合： 如果X與Y間的長期均衡關(guān)系正確，該式表述的非均衡誤差應(yīng)是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。稱變量X與Y是協(xié)整的（cointegrated）。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)3、協(xié)

5、整如果序列X1t,X2t,Xkt都是d階單整，存在向量=(1,2,k)，使得Zt=XT I(d-b)， 其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，則認為序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)階協(xié)整，記為XtCI(d,b)，為協(xié)整向量（cointegrated vector）。如果兩個變量都是單整變量，只有當(dāng)它們的單整階數(shù)相同時，才可能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不可能協(xié)整。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué) 3個以上的變量，如果具有不同的單整階數(shù)，有可能經(jīng)過線性組合構(gòu)成低階單整變量。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系，它的經(jīng)濟意義在于：兩個變量，雖然它們具

6、有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系。例如，中國CPC和GDPPC，它們各自都是2階單整，如果它們是(2,2)階協(xié)整，說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系，從計量經(jīng)濟學(xué)模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數(shù)模型是合理的。 盡管兩個時間序列是非平穩(wěn)的，也可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué) 從這里，我們已經(jīng)初步認識到：檢驗變量之間的協(xié)整關(guān)系，在建立計量經(jīng)濟學(xué)模型中是非常重要的。 而且，從變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系出發(fā)選擇模型的變量，其數(shù)據(jù)基礎(chǔ)是牢固的，其統(tǒng)計性質(zhì)是優(yōu)良的。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)二、協(xié)

7、整檢驗EG檢驗2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué) 1、兩變量的Engle-Granger檢驗 為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協(xié)整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。 第一步，用OLS方法估計方程 Yt=0+1Xt+t并計算非均衡誤差，得到： 稱為協(xié)整回歸(cointegrating)或靜態(tài)回歸(static regression)。 2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)非均衡誤差的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項，而非真正的非均衡誤差。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量是向下偏倚的，這

8、樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的機會比實際情形大。于是對et平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值。 2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)例8.3.1 利用1978-2006年中國居民總量消費Y與總量可支配收入X的數(shù)據(jù)，檢驗它們?nèi)?shù)的序列l(wèi)nY與lnX間的協(xié)整關(guān)系。分別對lnY與lnX進行單位根檢驗，結(jié)論：它們均是I(1)序列 。進行協(xié)整回歸。對協(xié)整回歸的殘差序列進行單位根檢驗，結(jié)論：殘差序列是平穩(wěn)的。由此判斷中國居民總量消費的對數(shù)序列l(wèi)nY與總可支配收入的對數(shù)序列l(wèi)nX是（1,1）階協(xié)整的

9、。驗證了該兩變量的對數(shù)序列間存在長期穩(wěn)定的“均衡”關(guān)系。 2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)2、多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗擴展的E-G檢驗 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗要比雙變量復(fù)雜一些，主要在于協(xié)整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合。 假設(shè)有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關(guān)系：非均衡誤差項t應(yīng)是I(0)序列： 2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué) 然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系： 則非均衡誤差項v1t、v2t一定是穩(wěn)定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的。例如 由于vt象t一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此vt 式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合。 （1, -

10、0,-1,-2,-3）是對應(yīng)于t 式的協(xié)整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是對應(yīng)于vt式的協(xié)整向量。 一定是I(0)序列。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)檢驗程序：對于多變量的協(xié)整檢驗過程，基本與雙變量情形相同，即需檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩(wěn)定的線性組合。在檢驗是否存在穩(wěn)定的線性組合時，需通過設(shè)置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩(wěn)。如果不平穩(wěn)，則需更換被解釋變量，進行同樣的OLS估計及相應(yīng)的殘差項檢驗。當(dāng)所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩(wěn)的殘差項序列，則認為這些變量間不存在（d,d）階協(xié)整。2022/7/25計量經(jīng)

11、濟學(xué) 檢驗殘差項是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數(shù)的影響。 MacKinnon(1991)通過模擬試驗得到的不同變量協(xié)整檢驗的臨界值。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)3、重要討論：協(xié)整方程等價于均衡方程？2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)協(xié)整方程具有統(tǒng)計意義，而均衡方程具有經(jīng)濟意義。時間序列之間在經(jīng)濟上存在均衡關(guān)系，在統(tǒng)計上一定存在協(xié)整關(guān)系；反之，在統(tǒng)計上存在協(xié)整關(guān)系的時間序列之間，在經(jīng)濟上并不一定存在均衡關(guān)系。協(xié)整關(guān)系是均衡關(guān)系的必要條件，而不是充分條件。 例如：農(nóng)場居民人均消費和城鎮(zhèn)居民人均收入之間存在協(xié)

12、整關(guān)系，但是它們在經(jīng)濟上并不存在均衡關(guān)系。例如：經(jīng)濟增長率和通貨膨脹率之間存在協(xié)整關(guān)系，但是它們在經(jīng)濟上并不存在均衡關(guān)系。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)均衡方程中應(yīng)該包含均衡系統(tǒng)中的所有時間序列，而協(xié)整方程中可以只包含其中的一部分時間序列。例如：在GDP使用系統(tǒng)中包括GDP使用額、消費額、資本形成額、凈出口額。均衡關(guān)系存在于4個序列之間，而協(xié)整關(guān)系可以存在于任意2個、3個序列之間。協(xié)整方程的隨機擾動項是平穩(wěn)的，而均衡方程的隨機擾動項必須是白噪聲。結(jié)論：不能由協(xié)整導(dǎo)出均衡，只能用協(xié)整檢驗均衡。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)四、誤差修正模型Error Correction Model, ECM2022

13、/7/25計量經(jīng)濟學(xué)1、一般差分模型的問題對于非穩(wěn)定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。模型只表達了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭示它們間的長期關(guān)系。關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略。誤差項t不存在序列相關(guān)， t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關(guān)的。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)2、誤差修正模型是一種具有特定形式的計量經(jīng)濟學(xué)模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。由于現(xiàn)實經(jīng)濟中很少處在均衡點上，假設(shè)具有（1, 1）階分布滯后形式 2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)Y的變化決定于X的變化以

14、及前一時期的非均衡程度。一階誤差修正模型(first-order error correction model)的形式：若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負，使得Yt減少；若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解0+1X ，ecm為負，則(-ecm)為正，使得Yt增大。體現(xiàn)了長期非均衡誤差對短期變化的控制。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)復(fù)雜的ECM形式，例如：高階、多變量2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)誤差修正模型的優(yōu)點：如： a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題； b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題； c）誤差

15、修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視； d）由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選?。坏鹊?。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)3、誤差修正模型的建立Granger 表述定理（Granger representaion theorem） Engle 與 Granger 1987年提出 如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述。模型中沒有明確指出Y與X的滯后項數(shù)，可以是多階滯后；由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中允許采用X的非滯后差分項Xt 。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)建立誤差修正模型：首先對經(jīng)濟系統(tǒng)進行觀察和分析，提出長期均衡關(guān)系假設(shè)。然后對變量進行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即檢驗長期均衡關(guān)系假設(shè)，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項。最后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。2022/7/25計量經(jīng)濟學(xué)Engle-Granger兩步法 第一步，進行協(xié)整回歸（OLS法），檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系，估計協(xié)整向量（