生活中優(yōu)化問題舉例

1、生活中的優(yōu)化問題舉例1 生活中經(jīng)常會遇到求什么條件下可使用料最省，利潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題.其中不少問題可以運用導數(shù)這一有力工具加以解決.2復習：如何用導數(shù)來求函數(shù)的最值？ 一般地，若函數(shù)y=f (x)在a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則求f (x) 的最值的步驟是：（1）求y=f (x)在a，b內(nèi)的極值(極大值與極小值)；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值f (a)、f (b) 比較， 其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值. 特別地，如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則這個極值一定是最值。3規(guī)格（L）21.2

2、50.6價格（元）5.14.52.5問題情景一：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？4 1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)-1.07p解：每個瓶的容積為:每瓶飲料的利潤：5解：設每瓶飲料的利潤為y，則r(

3、0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)f (r)在(2，6上只有一個極值點由上表可知，f (2)=-1.07p為利潤的最小值-1.07p 1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？6解：設每瓶飲料的利潤為y，則當r(0，2)時，而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值答：當瓶子半徑為6cm時，每瓶飲料的利潤最大，當瓶子半徑為2cm時，每瓶飲料的利潤最小. 1、 某制造商制造并出售球形

4、瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？7解決優(yōu)化問題的方法之一： 通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學模型，再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導數(shù)往往是一個有力的工具，其基本思路如以下流程圖所示優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案8問題情景二：汽油使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量 w (單位:L)與汽車的速度 v (單位:km/h) 之間有一定的關系，汽車的消

5、耗量 w 是汽車速度 v 的函數(shù). 根據(jù)實際生活，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快， 汽油的消耗量越大?（2）當汽車的行駛路程一定時，是車速快省油還是 車速慢的時候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就說汽油的使用效率越高（即越省油）。 若用G來表示每千米平均的汽油消耗量，則這里的w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程如何計算每千米路 程的汽油消耗量？9 2、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率 g（即每小時的汽油消耗量， 單位: L / h）與汽車行駛的平均速度v（單位: km）之間，有如圖的函數(shù)關系 g = f (v) ，那么如何根據(jù)這個圖象中的數(shù)據(jù)來解

6、決汽油的使用效率最高的問題呢？v(km/h)g (L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量 ，這里 w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程w=gt，s=vtP(v，g) 的幾何意 義是什么？如圖所示， 表示經(jīng)過原點與曲線上的點 P(v，g)的直線的斜率k所以由右圖可知，當直線OP為曲線的切線時，即斜率k取最小值時，汽油使用效率最高10 3、經(jīng)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：若已知甲、乙兩地相距100千米。 （I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油為 升; （II）若速度為

7、x千米/小時，則汽車從甲地到乙地需行駛 小時，記耗油量為h(x)升，其解析式為: . (III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？17.5 11 3、經(jīng)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：若已知甲、乙兩地相距100千米。 (III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：設當汽車以x km/h的速度行駛時，從甲地到乙地的耗油量為h(x) L，則1213練習：已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為若要使平均成本最低，則每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：設平均成本為y元，每天生

8、產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每天應生產(chǎn)1000件產(chǎn)品14練習：已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為變題：若受到設備的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品，則要使平均成本最低，每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？解：設平均成本為y元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則15練習：已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為變題：若受到產(chǎn)能的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品，則要使平均成本最低，每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？函數(shù)在(0，1000)上是減函數(shù)故每天應生產(chǎn)800件產(chǎn)品16基本不等式法： “一正、二定、三相等、四最值”；導數(shù)法： 一定義域、二導數(shù)符號、三單調(diào)性、四最值”。17小結(jié)： 在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到求在什么條件下可使用料最省，利潤

9、最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題. 在解決優(yōu)化問題的過程中，關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)；要認真審題，盡量克服文字多、背景生疏、意義晦澀等問題，準確把握數(shù)量關系。在計算過程中要注意各種數(shù)學方法的靈活運用,特別是導數(shù)的運用。181、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？解：設每瓶飲料的利潤為y，則當r(0，2)時，而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值答：當瓶子半徑為6cm時，每瓶飲料

10、的利潤最大，當瓶子半徑為2cm時，每瓶飲料的利潤最小.19變題2：若產(chǎn)品以每件500元售出，要使得利潤最大，每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？練習：已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為203、統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量 y (L)關于行駛速度 x (km/h)的函數(shù)解析式可以表示為：若甲、乙兩地相距100 km，則當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：設當汽車以x km/h的速度行駛時，從甲地到乙地的耗油量為h(x) L，則211、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲

11、料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？解：設每瓶飲料的利潤為y，則r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)-1.07p221、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？當r(0，2)時， ，f (r)是減函數(shù)當r(2，6時， ，f (r)是增函數(shù)23242、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率 g（即每小時的汽油消耗量， 單