《中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》(第一章 最優(yōu)化的邏輯結(jié)構(gòu))

1、 中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教案第一章最優(yōu)化的邏輯結(jié)構(gòu)一、引言經(jīng)濟(jì)學(xué)是理解世界的一種方式。經(jīng)濟(jì)學(xué)方法的一種重要內(nèi)容是，從行為結(jié)果反推行為動(dòng)機(jī)。人類經(jīng)濟(jì)行為的動(dòng)機(jī)可以概括為理性。經(jīng)濟(jì)學(xué)意義上的理性，從人的行為來(lái)看，表現(xiàn)為在可選擇的范圍內(nèi)，決策者權(quán)衡各種選擇，選取一個(gè)最大者。最優(yōu)化(Optimization)稱為表述人類理性的一種方式。均衡概念將個(gè)體理性(最優(yōu)化)與社會(huì)群體理性統(tǒng)一起來(lái)，將個(gè)人行為、社會(huì)行為及人類歷史，納入到一個(gè)可操作的框架之內(nèi)。最優(yōu)化決策及其結(jié)果(即均衡)稱為人們理解、描述世界的一種工具，他們作為描述人類行為及其經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的工具，僅僅是以經(jīng)濟(jì)學(xué)視角解釋世界的一種方式，而不是全部。二、最優(yōu)化問(wèn)題

2、最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型在側(cè)重個(gè)體的成本收益分析的新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)中，最優(yōu)化是用來(lái)描述個(gè)體決策行為的主要手段。最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：maxf(x)或minf(x)s.t.xeGs.t.xGG其中：f(x)為目標(biāo)函數(shù)；x為決策變量；G為可行集，表示個(gè)體在決策時(shí)所受到的約束，約束可以是等式，也可以是不等式。maxf(x)S.t.gj(x)0j=1,2,，mm0引入?yún)?shù)，最優(yōu)化問(wèn)題可以表示為：maxf(x，a)S.t.gi(x，a)f(x),VxGGx*=x*(a)二argf(x,a)2、均衡與最優(yōu)解經(jīng)濟(jì)學(xué)以均衡概念理解社會(huì)現(xiàn)象，以均衡的移動(dòng)來(lái)描述社會(huì)演變過(guò)程。均衡有三個(gè)方面的內(nèi)容：存在性穩(wěn)定性唯一性相關(guān)

3、概念：凸性凸集：對(duì)于一個(gè)集合S,Vx1,x2GS，如果有Xxi+(1九)x2GS,九G0,1，則稱集合S為凸集。凹函數(shù)：對(duì)于xi,x2GS和九G0,1,如果f九x1+(1九)x2Xf(x1)+(1九)f(x2),則稱f(x)是凹concave)函數(shù)，如果取不等號(hào)則為嚴(yán)格凹函數(shù)。圖象上看，兩邊點(diǎn)連線的弦在曲線的下面。擬凹函數(shù)：對(duì)于x1,x2GS和九G0,1,如果f(x1)f(x2)nf九x1+(1X)x2f(x2)，則稱函數(shù)f(x)是擬凹的(quasi-concave),如果取不等號(hào)則為嚴(yán)格擬凹函數(shù)。命題：如果一函數(shù)是擬凹的，則其輪廓線是凸的。證明：VXG0，1，x1，x2GS，有f(x1)f(

4、x2)nfXx1+(1X)x2f(x2)f(x2)二c=甘(x1)+(1X)f(x2)fXx1+(1X)x2Xf(x1)+(1X)f(x2)表明擬凹函數(shù)有凸的輪廓線。所以：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)為擬凹函數(shù)。3、最優(yōu)解的存在性極值定理(韋氏定理，Weierstrass)：如果目標(biāo)函數(shù)f(x)在一個(gè)有界閉集S上連續(xù)，這該函數(shù)在S上存在最大值或最小值。4、最優(yōu)解的唯一性如果目標(biāo)函數(shù)f（x）是嚴(yán)格擬凹的，則存在唯一的最優(yōu)解。證明：設(shè)X*GG為最優(yōu)解，xwG且xzx*為另一解，有f（x*）二f（x）。因?yàn)镚是凸集，有X=x*+（1九）xgG，九g0,1。如果f（x）是嚴(yán)格擬凹的，則有f（x）=

5、f心*+（1九）xkf（x*）+（1X）f（x）=f（x*），九G0,1與x*是最優(yōu)解的定義矛盾，故不存在另一個(gè)最優(yōu)解x。5、最優(yōu)解的性質(zhì)（1）全局解和局部解（2）邊界解和內(nèi)部解內(nèi)部點(diǎn)：對(duì)于xGS，有3O（x，）匸S，則稱x為集合S的內(nèi)點(diǎn)。邊界點(diǎn)：對(duì)于xGS，O（x，）既有集合S中的點(diǎn)，又有不屬集合S對(duì)點(diǎn)，則稱x為集合S的邊界點(diǎn)。（三）最優(yōu)解的求解1、無(wú)約束問(wèn)題maxf(x)x二x(x，1x，x)2n解：令z二f（x）一階條件（必要條件）：f（x）二0，i二1,2,，n（偏導(dǎo)數(shù)形式）i或dz=0，dx不同時(shí)為零，i=1,2,，n（微分形式）i0（正定）0（半正定）二階條件（充分條件）：d2z*

6、0（半負(fù)定）0（負(fù)定）d2z為負(fù)定是目標(biāo)函數(shù)取得極大值得充分條件，d2z為正定是目標(biāo)函數(shù)取得極小值得(zzz11121nzzz21222nYdx)1dx2充分條件。d2z=(dx,dx，dx)12nVzzz八n1n2nnzzz1112Inzzzd2z負(fù)定的充要條件是H=21222n海塞Hessian行列式)的順次主子式負(fù)正zzzn1n2nn相間，即zzzzzz11121n11zz1112130,zzz21222n111zz2122232122zzz313233zzzn1n2nn0注意：d2z半負(fù)定o函數(shù)f(x)為凹函數(shù)，表明如果f(x)為凹函數(shù)，則穩(wěn)定點(diǎn)為一個(gè)絕對(duì)極大值；d2z負(fù)定=函數(shù)f(x

7、)為嚴(yán)格凹函數(shù)，表明如果f(x)為嚴(yán)格凹函數(shù)，則穩(wěn)定點(diǎn)為唯一的絕對(duì)極大值；結(jié)論：只要一階條件滿足，函數(shù)凹性或嚴(yán)格凹形即可取代二階條件，成為絕對(duì)極值得充分條件。2、等式約束問(wèn)題：拉格朗日函數(shù)法(Lagrangesmethod)(1)1個(gè)等式約束的情況maxf(x)，x二x(x，x，x)x2ns.t.g(x)二c解：令z二f(x)構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，把有約束的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的極值問(wèn)題L(x,九)二f(x)+Xc-g(x)一階條件：L-f(x)g(x)，i-1,2,niiiL九二c-g(x)二階條件:函數(shù)z二f(x)，滿足g(x)二c，其二階條件仍然取決于d2z的符號(hào)，因?yàn)閐2z是一個(gè)變量為

8、dx，dx，dx的約束二次型，滿足關(guān)系12ndg二gdx+gdxHFgdx二01122nn給定加邊海塞行列式12 g_1H=g2zzz11121nzzz21222nzzzn1n2nnd2z負(fù)定的充分條件是H的順次主子式負(fù)正相間，即H0,H023n00ggggg123120,gzzzH=gzzH11112132111123gzzzgzz221222322122gzzz33132330，m個(gè)等式約束的情況maxf(x)s.t.gj(x)二0,j=1,2,，m，mo，帶入上式有：（MUlp-MUlp）dI1122如果上式為正，表明套利成功，消費(fèi)者將多買物品1，少買物品2，直到MUlp-MUlpo，帶

9、入上式有：（MUlp-MUlp）dI22111如果上式為正，表明套利成功，消費(fèi)者將多買物品2，少買物品1，直到MUlp-MUlp0ix為n維向量，即x二x(x,x，x)12n在有決策變量非負(fù)約束的最優(yōu)化問(wèn)題中，其極大值的必要條件應(yīng)修正為：如果x*0，則f(x*)二0ii如果x*=0，則f(x*)0iii-1,2,，n把上述兩種情形統(tǒng)一起來(lái)，可得：f(x*)0，x*-f(x*)-0，i-1,2,，niiii式稱為補(bǔ)充松弛條件。minf(x)s.t.x0ix為n維向量，即x-x(x，x，x)12n在有決策變量非負(fù)約束的最優(yōu)化問(wèn)題中，其極小值的必要條件應(yīng)修正為：如果x*0，則f(x*)-0ii如果x

10、*-0，則f(x*)0iii-1，2，n把上述兩種情形統(tǒng)一起來(lái)，可得：f(x*)0，x*0，x*-f(x*)-0，i-1,2,，niiii式稱為補(bǔ)充松弛條件。(2)凹規(guī)劃maxf(x)s.t.gj(x)0j-1,2,，mx0 x為n維向量，nm，函數(shù)f(x)、gj(x)均為凹函數(shù)。 解：令L(x,九)=f(x)+乙九gj(x)jj=1則凹規(guī)劃達(dá)到極大值的一階條件為：庫(kù)恩塔克條件(Kuhn-Tucker)TOC o 1-5 h zQLmQL=f(x*)+乙九*gj(x*)0，x*=0，i=1,2,，n(3) HYPERLINK l bookmark100 QxijiiiQx*ij=1i=gj(x

11、*)0，X*0，X*gj(x*)=0，j=1,2,，m(4)Q九jj可見(jiàn)，(3)是(x,X)在x0情形下關(guān)于x的極大值，即是(x*,X)的補(bǔ)充松弛條件。同樣，(4)是(x,X)在X0情形下關(guān)于X的極小值，即是L(x,X*)的補(bǔ)充松弛條件。三、比較靜態(tài)分析比較靜態(tài)分析是研究在均衡狀態(tài)(最優(yōu)解)下,一個(gè)外部參數(shù)對(duì)均衡(最優(yōu)解)到影響。它假定其他因素不變,分析一個(gè)參數(shù)的變動(dòng)帶來(lái)的均衡的移動(dòng),從而來(lái)描述人的行為1、拉格朗日乘子的經(jīng)濟(jì)含義maxf(x)s.t.gj(x)=cj=1,2,，mjx為一個(gè)n維向量df(x)當(dāng)x=x*時(shí)，有：X=idci對(duì)該問(wèn)題,可以把目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為效用、產(chǎn)出、利潤(rùn)等,約束條件

12、代表了資源的限制如果某一種要素限制有一微小增加，其他保持不變，X表示這一要素在最優(yōu)時(shí)的影子價(jià)格,i即廠商在最優(yōu)決策時(shí),愿意為這種要素的增加付出的最大價(jià)格。例：消費(fèi)者最優(yōu)決策問(wèn)題maxU(x,x)12s.t.px+px=I1122UUX1=2pp12當(dāng)U=U*時(shí)：dU=Udx+Udx1122=Xpdx+Xpdx1122=X(pdx+pdx)1122=XdIdUX=dI，可以看作消費(fèi)者選擇達(dá)到最優(yōu)時(shí)，收入I的一種價(jià)格（成本），這種以U=U那效用計(jì)算的、在最優(yōu)解時(shí)收入I的一種價(jià)格，稱為“影子價(jià)格”對(duì)存在不等式約束的問(wèn)題，也可以用上述方法將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)約束的問(wèn)題，其中約束為嚴(yán)格不等式，則其相應(yīng)當(dāng)影子

13、價(jià)格（乘數(shù)九）等于0表明選擇是不受約束的，不需要j支付機(jī)會(huì)成本，否則九工0。例：有最優(yōu)化問(wèn)題maxU(x,M)s.t.M=Mpx0 xx其中：x為消費(fèi)者對(duì)某種商品的消費(fèi)量，p為該商品的價(jià)格，M為消費(fèi)者的財(cái)富,M為消費(fèi)前的財(cái)富存量，x受市場(chǎng)供給總量X的限制。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（x,M,九）二U（x,M）+九（M-px-M）+肌X-x）dLdU則：=hp卩0，x0,dLx-dLdU設(shè)x0，則式變?yōu)椋河喭咭灰悔?0dUdx=Xp+B由、式得：p二dMdxdUdM.dU_dxdUdxdU麗Xp+Pp+X，x=x*時(shí)，稱為消費(fèi)者對(duì)商品進(jìn)行選擇的影子價(jià)格。則P=0,表明對(duì)該商品的數(shù)量限TOC o 1-5

14、h zdMP HYPERLINK l bookmark204 從式看，如果影子價(jià)格p=p+=P, HYPERLINK l bookmark192 dxXi0i0,dMP門制不起作用；如果影子價(jià)格P二P+；P，則P0,表明對(duì)該商品的數(shù)量限制dx九起作用。上述結(jié)論可以用來(lái)說(shuō)明計(jì)劃經(jīng)濟(jì)中的商品短缺。當(dāng)商品的計(jì)劃價(jià)格（P）與消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格（P）一致時(shí)，反映了商品真實(shí)的稀缺狀況；當(dāng)商品的計(jì)劃價(jià)格（P）低于消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格（P）時(shí)，消費(fèi)者對(duì)商品的需求大于供給，出現(xiàn)商品短缺。2、比較靜態(tài)分析的一般模型隱函數(shù)定理：給定方程組Fi（x,x，x；a,a，a）=0TOC o 1-5 h z12n12mF2

15、（x,x，x；a,a，a）=012n12mFn（x，x，x；a，a，a）=012n12m對(duì)所有的變量x和a，函數(shù)Fi,.,Fn均具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果在點(diǎn)（x,x,x；a,a，,a）滿足上述方程組，且下面的雅可比行列式非零，即i020n0i020m0FiFi-.Fi12nF2F2.F212nFnFnFni2n則存在一個(gè)點(diǎn)（xi0,x20,xn；TOC o 1-5 h zai0,S,am0）的m維鄰域，在此鄰域內(nèi)，變量xi，2,xn是變量ai，9,化的函數(shù)，即有:x二fi(a,a，a)ii2mx二f2(a,a，,a)2i2mx二fn（a,a，a）ni2m且函數(shù)x二fi（a,a，,a）連續(xù)，對(duì)所有的

16、變量a,a，,a具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。ii2mi2m克萊姆法則：給定方程組ax+ax+ax二diiii22inni ax+axdax二d2112222nn2ax+axdax二dn11n22方程組的解為aad-a111211naada212222naadan1n2nnnnnnn_1（由rd）1d2d丿n代替第j列）比較靜態(tài)分析的一般模型無(wú)約束的最優(yōu)化問(wèn)題可以表示為maxf（x，a）x_（x,x，x）,a_（a,a,，a）12n12m給出一階條件：f（x,x,，x；a,a,，a）=0112n12mf（x,x，x；a,a，a）=0212n12mf（x,x,，x；a,a，a）=0n12n12m如果雅可比行列

17、式非零：11121nfffJ_21222n豐0fffn1n2nn則由隱函數(shù)定理，可得：x_hi（a,a，a）,i_1,2,，ni12m_hi來(lái)表示。jQx每個(gè)參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解到影響均可以用偏導(dǎo)數(shù)LQa討論參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響,先求全微分,再按克萊姆法則求解。對(duì)一階條件進(jìn)行全微分：f（x,x,，x；a,a,，a）=0112n12mf（x,x，x；a,a，a）=0212n12mf（x,x,，x；a,a，a）=0n12n12m有：fdx+fdxHFfdx+fda+fdaHFfda二01111221nn1n+111n+221n+mmfdx+fdx+fdx+fda+fda+fda二02112222nn

18、2nH112nH222nHmmnnnnn+11nn+22fdx+fdx+fdx+fda+fda+fda=0nn+mmn11n22寫(xiě)成矩陣形式為：_fda_fda_fda1n+111n+221n+mm_fda_fda_fda2n+112n+222n+mm_fda_fda_fdann+11nn+22nn+mm根據(jù)比較靜態(tài)的含義，即假定其他條件不變，daj豐0，dak=0，k豐j，k=口，mdxJjdaJ，其中J.|為雅可比行列式J|的第i列由ij_f1n+j2n+j代替而成的行列式。由克萊姆法則得：_fnn+j11121n從上式可以看出，雅可比行列式J=21222n剛好就是海塞行列式。n1n2nn3、包絡(luò)定理內(nèi)容：對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題maxf（x，a）s.t.gj（x，a）=0j=1,2,，mx為n維向量，a為l維參數(shù)，m1表示經(jīng)營(yíng)者負(fù)盈不負(fù)虧，用兩個(gè)企業(yè)來(lái)表示市場(chǎng)kk的這種惡性競(jìng)爭(zhēng)狀況。存在如下最