均勻設(shè)計(jì)及其應(yīng)用課件

1、Uniform Design and its Application均勻設(shè)計(jì)及其應(yīng)用沐浴在改革開(kāi)發(fā)的陽(yáng)光下，神州大地生機(jī)盎然，新生事物層出不窮。在科教興國(guó)建設(shè)社會(huì)主義的過(guò)程中，人們所熟悉的那些傳統(tǒng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法（如對(duì)比試驗(yàn)設(shè)計(jì)、全面試驗(yàn)設(shè)計(jì)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)等），已不能充分滿足快節(jié)奏高效率的要求。新時(shí)期呼喚新思維，新方法。中國(guó)科學(xué)家巧妙的將“數(shù)論方法”和“統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)”相結(jié)合，發(fā)明了一種全新的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，這就是均勻設(shè)計(jì)法。均勻設(shè)計(jì)法誕生于年。由中國(guó)著名數(shù)學(xué)家方開(kāi)泰教授和王元院士合作共同發(fā)明。前 言 正交設(shè)計(jì)可使試驗(yàn)點(diǎn)“均勻分散、整齊可比”，為保證“整齊可比性”，使試驗(yàn)設(shè)計(jì)的均勻性受到了一定限制，

2、使試驗(yàn)點(diǎn)的代表性還不夠強(qiáng)，試驗(yàn)次數(shù)不能充分地少。 均勻設(shè)計(jì)是另一種部分實(shí)施的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。它可以用較少的試驗(yàn)次數(shù)，安排多因素、多水平的析因試 驗(yàn)，是在均勻性的度量下最好的析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。它可以使試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)充分地均勻分散，不僅可大大減少試驗(yàn)點(diǎn)，而且仍能得到反映試驗(yàn)體系主要特征的試驗(yàn)結(jié)果。均勻設(shè)計(jì)方法 下面通過(guò)制藥工業(yè)中的一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。例1.1 ：阿魏酸的制備根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，確定以阿魏酸產(chǎn)量作為試驗(yàn)指標(biāo)Y。 阿魏酸是某些藥品的主要成分，在制備過(guò)程中，我們想提高阿魏酸產(chǎn)量。全面交叉試驗(yàn)要N=73=343次，太多了。建議使用均勻設(shè)計(jì)。查閱均勻設(shè)計(jì)表。 經(jīng)過(guò)資料查閱，分析研究，

3、選出影響阿魏酸產(chǎn)量的試驗(yàn)因素，確定試驗(yàn)因素水平為：原料配比：1.0-3.4吡啶總量：10-28反應(yīng)時(shí)間：0.5-3.5確定每個(gè)因素相應(yīng)的水平數(shù)為7。如何安排試驗(yàn)?“方開(kāi)泰，均勻設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)表，科學(xué)出版社(1994)”之附表 1網(wǎng)絡(luò)地址:http:/.hk/UniformDesing也可以瀏覽如下網(wǎng)頁(yè)：第1步： 列出試驗(yàn)因素水平表表 1.1.1 試驗(yàn)因素水平表第2步: 選擇相應(yīng)的均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)表格式見(jiàn)下，其含義為：Un(qs)均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)因素水平數(shù)因素?cái)?shù)例如:表 1.1.2:表 1.1.3: 每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表都有一個(gè)使用表，它將建議我們?nèi)绾芜x擇適當(dāng)?shù)牧邪才旁囼?yàn)因素，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，這樣可

4、以減少“試驗(yàn)偏差”。其中偏差為均勻性的度量值，數(shù)值小的設(shè)計(jì)表示均勻性好。例如 U7 (74)的使用表為：表 1.1.4:表1.1.2:第3步: 應(yīng)用選擇的 UD-表安排試驗(yàn)，設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案1. 將 x1, x2和 x3放入均勻設(shè)計(jì)表的1,和3列；x1 x2 x3 2用x1的個(gè)水平（值）替代第一列的1到 7；1.02.63.03.43. 對(duì)第二列，第三列做同樣的替代；13 1.519 3.025 1.010 2.516 0.522 2.028 3.54. 按設(shè)計(jì)的方案進(jìn)行試驗(yàn)，得到個(gè)結(jié)果，將其放入最后一列。表 1.1.5: 試驗(yàn)方案第 4步: 用回歸模型匹配數(shù)據(jù)首先，考慮線性回歸

5、模型:這個(gè)結(jié)果與人們的經(jīng)驗(yàn)不符。使用回歸分析中變量篩選的方法，比如向后法，得到推薦的模型為：然后，我們嘗試用二次回歸模型來(lái)匹配這些數(shù)據(jù)：使用向前的變量選擇法，我們發(fā)現(xiàn)適宜的模型：14表 1.1.6: 方差分析（ANOVA） 表狀態(tài)是正常的，所以模型(1.1.4)是可接受的。圖1.1.1:模型中的三項(xiàng)，在 5%的水平下都是顯著的。圖 1.1.2a 匹配圖圖 1.1.2b 正態(tài) Q-Q 圖圖 1.1.2c偏回歸圖16第5步: 優(yōu)化 - 尋找最佳的因素水平組合表1.1.5的設(shè)計(jì)是73=343個(gè)全面試驗(yàn)的部分實(shí)施, 其中最好的試驗(yàn)點(diǎn)是值為Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人們想找到滿足下

6、式的x1*和 x3* ：這里求取max的區(qū)域?yàn)椋簒1x3的回歸系數(shù)是正的，x3的回歸系數(shù)也是正的, x1* = 3.4。在x3* = 2.7575達(dá)到最大值 。 圖 1.1.3 等值線圖 (x1*,x3*)在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575處估計(jì)響應(yīng)的最大值是 51.85% 。它比個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的最好值48.2%還大。18討論:因素 x2 沒(méi)有給響應(yīng)Y予顯著的貢獻(xiàn)，我們可以選x2為其中點(diǎn)x2 = 19 ml. 求出的x1* = 3.4 在邊界上, 我們需要擴(kuò)大x1的試驗(yàn)上限。在x1 = 3.4和 x3 = 2.7575的鄰域,追加一些試驗(yàn)是必要的。在第步，一些優(yōu)化算法是很有用的?；旌闲?/p>

7、水平的均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)中各因素若有不同水平數(shù)，比如，其水平數(shù)分別為q1，qk。這時(shí)應(yīng)使用相應(yīng)的混合均勻設(shè)計(jì)表。見(jiàn)“方開(kāi)泰,均勻設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)表,科學(xué)出版(1994).”之附表2每個(gè)混合水平表有一個(gè)記號(hào)，含義為：Un(q1 qk )均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)各定量因素之水平數(shù)定量因素的最大數(shù)下表是一個(gè)混合水平均勻設(shè)計(jì)表:此均勻設(shè)計(jì)表試驗(yàn)總數(shù)為 12，用它可以安排水平數(shù)為、的因素各一個(gè)。 U12(624)此表也是混合水平均勻設(shè)計(jì)表。23它的試驗(yàn)數(shù)為 12?？梢园才哦€(gè)6水平因素和一個(gè)4水平因素的設(shè)計(jì)?；旌弦蛩卦囼?yàn)設(shè)計(jì)考慮4個(gè)因素： 平均施肥量X，分為12個(gè)水平 （70,74,78,82,86,90,94,98,

8、102,106,110,114）； 種子播種前浸種時(shí)間T，分為6個(gè)水平（1,2,3,4,5,6）； 土壤類型B，分4種B1，B2，B3，B4； 種子品種A，分3個(gè)A1，A2，A3；對(duì)某農(nóng)作物產(chǎn)量的影響?？梢钥闯銮皟蓚€(gè)為定量因素，后兩個(gè)為定性因素。例2 .1:在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中如何進(jìn)行試驗(yàn)安排？混合型因素混合型水平的均勻設(shè)計(jì)一般情況下試驗(yàn)中既有定量型連續(xù)變化因素，又有定性型狀態(tài)變化因素。假設(shè)有k個(gè)定量因素X1,Xk；這k個(gè)因素可化為k個(gè)連續(xù)變量， 其水平數(shù)分別為q1，qk。又有t個(gè)定性因素G1,Gt，這t個(gè)定性因素分別有d1，dt個(gè)狀態(tài)?？梢允褂谩皵M水平法”，或用優(yōu)化方法計(jì)算，求出相應(yīng)的均勻設(shè)計(jì)表?；?/p>

9、合因素混合水平表有如下的記號(hào)和含義：Un(q1 qk d1 dt )均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)各定性因素之水平數(shù)定性因素的最大數(shù)各定量因素之水平數(shù)定量因素的最大數(shù) U12(12643 2 ) 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2

10、 2 例：次試驗(yàn)?？梢园才艂€(gè)水平數(shù)為12、6的定量因素，以及總數(shù)為的一個(gè)水平為4、兩個(gè)水平為3和兩個(gè)水平為2的定性因素的設(shè)計(jì)。 U12(12643 )表2.1.1選混合均勻設(shè)計(jì)表2.1.1安排此試驗(yàn)第1列安排平均施肥量X，分為12個(gè)水平；第2列安排種子播種前浸種時(shí)間T，分為6個(gè)水平；第3列安排土壤類型B，分4種B1，B2，B3，B4；第4列安排種子品種A，分3個(gè)A1，A2，A3。試驗(yàn)安排及結(jié)果如表2.1.2為了進(jìn)行分析，我們引進(jìn)5個(gè)偽變量。它們的記號(hào)和取值如下：它們和 、 一起進(jìn)行回歸分析。B因素的A因素的回歸方程如下:+=不顯著。需進(jìn)一步考慮高階回歸項(xiàng)。若我們考慮除主效應(yīng)外，再多考慮一個(gè)2次

11、效應(yīng)和一個(gè)交互效應(yīng)。這時(shí)回歸方程化為解得回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)及其和值為：+=解得非常顯著回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)及其和值為：方程為:其中1.含變量x 的兩項(xiàng)與其它是分離的（即可加的），最大值點(diǎn)在 x=100.127 。2.含變量z41 z42 的兩項(xiàng)與其它是分離的，最大值點(diǎn)在 z41=0 z42=0，即品種3為好。3.含變量 z31 z32 z33 的四項(xiàng)與其它是分離的，最大值點(diǎn)可能在 z31=1 z32=0 z33=0 類型為1，=6或 z31=0 z32=1 z33=0 類型為2，=6比較后知道為后者。所以得到最佳狀態(tài)組合為施肥量X=100.127，浸種時(shí)間T=6，土壤類型B取2，種子品種

12、A取3，此時(shí)最大值估計(jì)為一、表的選擇,因素及水平的安排若試驗(yàn)中有k個(gè)定量因素和t個(gè)定性因素時(shí)，我們從混合型均勻設(shè)計(jì)表中選出帶有s=k+t列的Un(q1qkd1dt)表。這里要求nk+d+1,其中d=(d1+dt -t). 為了給誤差留下自由度，其中的n最好不取等號(hào)。 表中前k列對(duì)應(yīng)k個(gè)連續(xù)變量， 表中后t列可安排定性因素。 安排n個(gè)試驗(yàn)，得到n個(gè)結(jié)果y1，y2，yn。下面綜述應(yīng)注意的事項(xiàng)：為了分析，首先要將定性因素之狀態(tài)，依照偽變量法，將第i個(gè)因素分別化成(di-1)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的n維偽變量Zi1,Zi2,，Zi(di-1)。將這總共d=(d1+dt-t)個(gè)偽變量與相應(yīng)的k個(gè)連續(xù)變量X1，Xk一

13、起進(jìn)行建模分析。為了保證主效應(yīng)不蛻化，要對(duì)混合型均勻設(shè)計(jì)表進(jìn)行挑選。二、試驗(yàn)結(jié)果的回歸建模分析如果不理想,則首先考察它們的一階回歸模型： 再考慮一些交互效應(yīng)，和一些連續(xù)變量的高次效應(yīng)。顯然最多可考慮的附加效應(yīng)數(shù)為m個(gè)，這里 mn-(k+d-2)值得指出的是，由于Zij *Zij=Zij ,因此無(wú)需考慮偽變量的高階效應(yīng),只考慮連續(xù)變量的高次效應(yīng)即可. 又因?yàn)閆ij1*Zij2=0,j1j2時(shí),因此也無(wú)需考慮同一狀態(tài)因素內(nèi)的偽變量間的交互效應(yīng)。只有i1i2時(shí),才有可能使Zi1j1*Zi2j20，即不同狀態(tài)因素間的交互效應(yīng)可能要考慮.。此外，不要忘記考慮連續(xù)變量與偽變量的交互效應(yīng)。至于 三個(gè)以上的狀

14、態(tài)因素間 的交互效應(yīng)項(xiàng)Zi1j1*Zi2j2*Zi3j30的可能性就更少了?；炝吓浞皆囼?yàn)許多產(chǎn)品都是混合多種成分在一起形成的。面粉水糖蔬菜汁 椰子汁鹽發(fā)酵粉乳酸鈣 咖啡粉香料色素咖啡面包怎樣確定各種成分的比例呢？經(jīng)驗(yàn)試驗(yàn)混料試驗(yàn)混料配方均勻設(shè)計(jì)43有 s 個(gè)因素: X1, , Xs 滿足 Xi 0, i = 1, , s 和 X1 + + Xs = 1. 試驗(yàn)區(qū)域?yàn)閱渭冃蜹s = (x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 + + xs = 1. 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) (Scheffe, 1958).單純形重心設(shè)計(jì)(Scheffe, 1963).軸設(shè)計(jì)(Cornell, 1

15、975)人們提出了許多混料設(shè)計(jì)方法，如例如, 成分?jǐn)?shù) s = 3單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)單純形重心設(shè)計(jì)d軸設(shè)計(jì)這些設(shè)計(jì)的全面評(píng)價(jià)請(qǐng)參考：Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York.45混料均勻設(shè)計(jì)上述設(shè)計(jì)的弱點(diǎn)：許多點(diǎn)在Ts 的邊界上；給用戶設(shè)計(jì)的選擇不多?；炝暇鶆蛟O(shè)計(jì)是要尋找在Ts上均勻散布的試驗(yàn)點(diǎn)。問(wèn)題: 怎樣設(shè)計(jì)這些試驗(yàn)點(diǎn)呢？變換方法46給定s-1維單位立方體C s-1上的均勻設(shè)計(jì)，且用Ck = (ck1, ,

16、ck,s-1), k = 1, ,n 表示。則進(jìn)行下列必要的 變換：(3.1.1)xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n 是 Ts.上的均勻設(shè)計(jì)。47 變換方法例3.1 構(gòu)造T3 上帶有11 個(gè)(配方)試驗(yàn)點(diǎn)的均勻設(shè)計(jì)。 假設(shè)我們選用 U11(112) 和相關(guān)的 Ck, k = 1, ,11:48變換公式 (4.1) 現(xiàn)在成為: (3.1.2)用這個(gè)變換公式, 正方形0,12上的均勻設(shè)計(jì) Ck = (ck1, ck2), k = 1, ,11 導(dǎo)出T3上的均勻設(shè)計(jì) Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ,11 如下:49區(qū)域 T3 是一個(gè)邊長(zhǎng)為 的等邊三角形

17、,用 V2 表示。111T3x1x2x3T3可以證明：V2 上的任何點(diǎn) (z1, z2) 到V2的三條邊之距離d1, d2和d3,滿足 d1+d2+d3 = 1. d1d2d3因此， V2 上任何點(diǎn) (z1, z2) 都對(duì)應(yīng)一個(gè)T3 上的點(diǎn) (x1, x2, x3)， 如果我們像這樣在V2上建立一個(gè)新坐標(biāo)系統(tǒng)的話。x1x2x350給定點(diǎn)(x1, x2, x3)，計(jì)算點(diǎn)(z1, z2)的公式是：圖 3.1.2ac1c2圖 3.1 .2b51- 4-均勻設(shè)計(jì)軟件52介紹 均勻設(shè)計(jì)軟件均勻設(shè)計(jì)軟件有中、英文兩個(gè)版本。該軟件中列舉了許多均勻的設(shè)計(jì)表，并給出了數(shù)據(jù)分析方法。5354程序設(shè)計(jì)者杜明亮和方法

18、指導(dǎo)者方開(kāi)泰教授在一起均勻設(shè)計(jì)軟件可用于 *與試驗(yàn)設(shè)計(jì)相關(guān)的大學(xué)本科或研究生課程 *自然科學(xué)研究的試驗(yàn)設(shè)計(jì) *工業(yè)試驗(yàn)和國(guó)防科研*系統(tǒng)工程、仿真試驗(yàn)（一）設(shè)計(jì)均勻設(shè)計(jì)表 -用好格子點(diǎn)法生成 -用拉丁方生成 -用優(yōu)化方法生成帶擬水平的均勻設(shè)計(jì)表帶約束的配方設(shè)計(jì)無(wú)約束的配方設(shè)計(jì)（二）數(shù)據(jù)分析建模 -簡(jiǎn)單線性模型 -二次模型 -自選模型選擇變量 -前進(jìn)法 -逐步回歸法 -最優(yōu)子集法 -自選變量統(tǒng)計(jì)診斷 -殘差點(diǎn)圖、正態(tài)Q-Q點(diǎn)圖 -偏回歸點(diǎn)圖 -擬合比較圖 -等高線圖 -三維圖綜合分析 -多響應(yīng)模型分析 -優(yōu)化 -預(yù)報(bào) -相關(guān)系數(shù) -各類診斷點(diǎn)圖小結(jié)我們介紹了有關(guān)均勻設(shè)計(jì)的一些知識(shí)：均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造和用法；介紹了有關(guān)均勻設(shè)計(jì)軟件的一些內(nèi)容。 我們強(qiáng)調(diào)的是正確使用均勻設(shè)計(jì)表。即：能確定試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，能找出影響因素及其變化范圍，合理確定水平數(shù)及其值，正確安