定積分的概念課件

1、引 言 從歷史上說(shuō),定積分的概念產(chǎn)生于計(jì)算平面上封閉曲線圍成區(qū)域的面積.為了計(jì)算計(jì)算這類區(qū)域的面積，最后把問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算具有特定結(jié)構(gòu)的和式的極限.人們?cè)趯?shí)踐中逐漸認(rèn)識(shí)到這種特定結(jié)構(gòu)的和式的極限,不僅是計(jì)算區(qū)域面積的數(shù)學(xué)工具,而且也是計(jì)算其它許多實(shí)際問(wèn)題(如變力作功、水的壓力、立體體積等）的數(shù)學(xué)工具.因此,無(wú)論在理論上或?qū)嵺`中,定積分這種特定結(jié)構(gòu)的和式的極限具有普遍意義.于是它成為數(shù)學(xué)分析的重要組成部分. 本章就從解決曲邊梯形面積計(jì)算入手,給出定積分的概念,討論定積分的性質(zhì)和計(jì)算等問(wèn)題.Chapt 8. 定積分背景來(lái)源面積的計(jì)算在初等幾何中，我們只會(huì)計(jì)算由直線段和圓弧圍成的平面區(qū)域的面積.長(zhǎng)方形

2、 長(zhǎng)寬 ab 正方形 邊長(zhǎng)邊長(zhǎng) aa 平行四邊形 底高 ah 三角形 底高2 ah2 梯形 （上底下底）高2 （ab）h2圓，扇形等 如何計(jì)算由任意形狀的閉曲線所圍成的平面區(qū)域的面積？這是一個(gè)一般的幾何問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題只有用極限的方法才能得到圓滿的解決. 一條封閉曲線圍成的平面區(qū)域，常?？捎孟嗷ゴ怪钡膬山M平行線將它分成若干部分，總的說(shuō)來(lái)，他們可以看作以下三類區(qū)域：(1)是矩形(已知的)，(2)是曲邊三角形(曲邊梯形的特殊情況)，(3)是曲邊梯形。所以，只要會(huì)計(jì)算曲邊梯形的面積就可以了.曲邊梯形面積的計(jì)算問(wèn)題就產(chǎn)生了定積分abxyo實(shí)例1: （求曲邊梯形的面積）一、問(wèn)題的提出8.1 定積分的概念圖

3、形.我們?nèi)绾吻笄吿菪蔚拿娣eA=？ 圓面積是用一系列邊數(shù)無(wú)限增多的內(nèi)接（或外切）正多邊形面積的極限來(lái)定義的.在初等數(shù)學(xué)里， 現(xiàn)在我們?nèi)杂妙愃频霓k法來(lái)定義曲邊梯形的面積. 這里我們借助矩形的面積來(lái)定義曲邊梯形的面積。abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積 越接近曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）基本思想(以直代曲)具體做法(如下)1.分割分法任意（化整為零）在區(qū)間a,b內(nèi)任意插入(n-1)個(gè)分點(diǎn),稱為區(qū)間a,b的一個(gè)分法(分割)，記為T.分法T將區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，這些垂線與曲線f(x)相交，相應(yīng)地把大曲邊梯形分為 n

4、個(gè)小曲邊梯形，其面積分別記為Ai ( i=1, 2, , n )把一個(gè)大曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形 2.代替（化曲為直）在每個(gè)小區(qū)間 xi-1, xi 上任取一點(diǎn)i ，于是，以為底， 為高的小矩形面積 應(yīng)為小曲邊梯形面積的近似值，即取法任意用小矩形的面積替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積，3.求和（積零為整）將n個(gè)矩形面積加起來(lái)，應(yīng)該是大曲邊梯形面積近似值.曲邊梯形面積A的近似值為： 將a,b逐次分下去，使小區(qū)間的長(zhǎng)越來(lái)越小，則不論 怎樣選取，n個(gè)矩形面積之和應(yīng)該越來(lái)越趨近于曲邊梯形的面積.不難看到，在任何有限的過(guò)程中，n個(gè)矩形面積之和總是曲邊梯形面積的近似值，只有在無(wú)限過(guò)程中，應(yīng)用極限方法才能轉(zhuǎn)化為

5、曲邊梯形的面積.求n個(gè)小矩形面積之和.4.取極限（化直為曲）于是， 就相當(dāng)于分割無(wú)限加細(xì)，讓每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都無(wú)限趨近于零即n個(gè)小區(qū)間之長(zhǎng)的最大者.如果當(dāng) 時(shí)，n個(gè)矩形面積之和 存在極限，設(shè)則稱A是曲邊梯形面積.由此可見(jiàn)，曲邊梯形面積A是一個(gè)特定結(jié)構(gòu)和式的極限.這個(gè)定義給出了計(jì)算曲邊梯形面積的方法.不過(guò)按此定義計(jì)算曲邊梯形的面積，要進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算.在后面一節(jié)中，將進(jìn)一步討論這個(gè)和式極限的計(jì)算方法.由近似值過(guò)渡到精確值 求曲邊梯形的面積體現(xiàn)了化曲為直、化直為曲的辯證思想。這個(gè)計(jì)算過(guò)程，就是一個(gè)先微分后積分的過(guò)程。也就是說(shuō)，把曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形，在每個(gè)小曲邊梯形中，把曲邊看成直邊，用這些

6、小“矩形”面積的和近似地表示原來(lái)大曲邊梯形的面積，從而實(shí)現(xiàn)了局部的曲轉(zhuǎn)化為局部的直，即“以直代曲”。 然后，再把分割無(wú)限加細(xì)，通過(guò)取極限，就使小矩形面積的和，轉(zhuǎn)化為原來(lái)大曲邊梯形的面積。這樣局部的直又反過(guò)來(lái)轉(zhuǎn)化為整體的曲。這種曲轉(zhuǎn)化為直，直轉(zhuǎn)化為曲，以及由此所反映出來(lái)的化整為零、積零為整的思想方法，是微積分乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法。實(shí)例2: （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值以恒代變(1)分割部分路程值某時(shí)刻速度(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)代替路

7、程的近似值從上面例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的路程，盡管他們的實(shí)際意義完全不同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來(lái)看，他們的分析結(jié)構(gòu)完全相同，它們都?xì)w結(jié)為對(duì)問(wèn)題的某些量進(jìn)行“分割、 近似 求和、 取極限”，或者說(shuō)都?xì)w結(jié)為形如 的具有特定結(jié)構(gòu)和式極限問(wèn)題。我們把這些問(wèn)題從具體的問(wèn)題中抽象出來(lái)，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來(lái)就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個(gè)定義： 二、定積分的定義定義: 設(shè)函數(shù) f (x) 在 a, b 上有定義,在 a, b內(nèi)任意插入(n-1)分點(diǎn) 使T = x0, x1, , xn = 1, 2, , n 將 a, b 分成 n個(gè)小區(qū)間i= xi-1, xi i=

8、1, 2, , n 這些分點(diǎn)構(gòu)成a, b 的一個(gè)分法(分割)，記為T, x1, , xn-1 ,分法任意各小區(qū)間的長(zhǎng)度依此記為xi= xi- xi-1 ,(i=1,2, ，n)在 上任取點(diǎn)i i , i=1, 2, , n ，作和稱此和式為 f (x) 在 a, b 上的一個(gè)積分和，也稱為黎曼（Riemann）和.(Rienann和)注：顯然函數(shù) f (x) 在 a, b 的積分和 與分法(割)T 有關(guān)，也與一組= (i i , i=1, , n )的取法有關(guān).取法任意 記如果不論對(duì)a,b怎樣的分法(分割)；也不論在小區(qū)間 上，點(diǎn) 怎樣的取法，只要 時(shí)，積分和 存在確定的有限極限則稱函數(shù) f

9、(x) 在 a, b 上(黎曼)可積；數(shù) I 稱為 f 在 a, b 上的定積分. 亦稱黎曼積分,記為且數(shù)與分法T無(wú)關(guān)，也與 在 的取法無(wú)關(guān). 在定積分符號(hào)中，各部分的名稱如下：(Rienann積分)注意：規(guī)定當(dāng) a= b 時(shí), 規(guī)定當(dāng) a b 時(shí), 函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b的定積分的定義要求ab且ab,定積分沒(méi)有意義，為了運(yùn)算的需要，時(shí)必定同時(shí)有(3)一般不能用 因?yàn)?來(lái)代替 時(shí)未必有 但 唯一重要的是分割的細(xì)度 極限的存在， 與分割T的形式無(wú)關(guān)，與 的選擇也無(wú)關(guān)； 當(dāng) 足夠小時(shí)， 總能使積分和與某一確定的數(shù)I無(wú)限接近.把定積分定義的 說(shuō)法和函數(shù)極限的 說(shuō)法相對(duì)照， 便會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者有相似的陳述

10、方式， 因此我們也常用極限符號(hào)來(lái)表達(dá)定積分， (4) 積分和的極限與函數(shù)的極限有很大的區(qū)別 積分和的極限與函數(shù)的極限之間其實(shí)有著很大的區(qū)別： 然而， 在函數(shù)極限 中，對(duì)每一個(gè)變量x來(lái)說(shuō)， f(x)的值是唯一確定的；由于積分和與函數(shù)f(X),分法T, 取法有關(guān)。而對(duì)于積分和的極限而言，它不是分法T的函數(shù)，每一個(gè) 并不唯一對(duì)應(yīng)積分和的一個(gè)值.它的要求條件很強(qiáng)，即必須是“任意分法”和“任意取法”下，各種各樣的積分和都無(wú)限趨近于同一個(gè)有限常數(shù)，才能說(shuō)定積分存在。這使得積分和的極限要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多.與 的差別 是 的全體原函數(shù) 是函數(shù) 是一個(gè)和式的極限 是一個(gè)確定的常數(shù) (5) 不定積分和定積

11、分是積分學(xué)中的兩大基本問(wèn)題.定積分則是某種特殊和式的極限，求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算， 1.曲線 y = f (x) 0，直線 x = a， x = b， 所圍成的曲邊梯形面積可用定積分表示為根據(jù)定積分的定義，可以看出，前面所舉的兩個(gè)實(shí)例，都是定積分.2.物體運(yùn)動(dòng)的路程s是速度函數(shù)v(t)在時(shí)間間隔 的定積分，即 黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世紀(jì)富有創(chuàng)造性的德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn) 。與區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)；B.與區(qū)間無(wú)關(guān)與被積函數(shù)有關(guān) C.與積分變量用何字母表示有關(guān)；D.與被積函數(shù)的形式無(wú)關(guān) 在

12、 上連續(xù)，則定積分 的值4.(B)中，積分上限是 積分下限是 積分區(qū)間是 2.(A) 及x軸所圍成的曲邊梯形 的面積，用定積分表示為 與直線 由曲線(B)舉例 2-2-2,20A3.定積分(A)三、函數(shù)可積的必要條件證明：（用反證法）假設(shè)函數(shù)f(x)在a,b無(wú)界對(duì)于a,b的任意分割T，必至少有一個(gè)小區(qū)間，不妨設(shè)在 函數(shù)f(x)無(wú)界.即積分和無(wú)界，從而，積分和不存在極限，這與函數(shù)f(x)在a,b可積矛盾.注： 函數(shù)f(x)在a,b有界僅是函數(shù)f(x)在a,b可積的必要條件，不是充分條件.即，有的函數(shù)雖然有界，但也不可積.例如：狄利克雷(Dirichlet )函數(shù)，X是0,1的有理函數(shù)X是0,1的

13、無(wú)理函數(shù)D(x)在0,1內(nèi)有界，但它在0,1不可積.若能構(gòu)造出兩個(gè)不同方式的積分和，使它們的極限不相同，則該函數(shù)在所論區(qū)間上是不可積的.分析：證明： 對(duì)于0,1的任意分法T,因?yàn)樵?,1的有理函數(shù)與無(wú)理函數(shù)是處處稠密的，所以，在每個(gè)小區(qū)間上既存在有理函數(shù)又存在無(wú)理函數(shù). 若每個(gè) 取為無(wú)理函數(shù)，則積分和 若每個(gè) 取為無(wú)理函數(shù)，則積分和于是，當(dāng) 時(shí)，積分和不存在極限，即D(x)在0,1不可積.D(x)在0,1不可積.1、當(dāng) f (x) 0，定積分的幾何意義就是曲線 y = f (x)直線 x = a， x = b， y = 0 所圍成的曲邊梯形的面積bAoxyay=f (x)S四、定積分的幾何意義

14、2、當(dāng)函數(shù) f (x) 0 ， xa, b 時(shí)定積分幾何意義就是位于 x 軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù). 即oxyaby=f (x)S幾何意義：ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值ab五、小結(jié)定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3.定積分的幾何意義例 利用定義計(jì)算定積分解人物簡(jiǎn)介 黎曼（18261866） Riemann，Georg Friedrich Bernhard德國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家 。1826年9月17日生于漢諾威布列斯倫茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加 。1846年入格丁根大學(xué)讀神學(xué)與哲學(xué)，后來(lái)轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)， 在大學(xué)期間有兩年去柏林大學(xué)就讀 ， 受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影響。1849年回格丁根。1851 年獲博士學(xué)位 。1854 年成為格丁根大學(xué)的講師，1859年接替狄利克雷成為教授。 1851 年論證 了復(fù)變 函數(shù) 可導(dǎo)的 必要充分 條件（ 即柯西-黎曼方程） 。借助狄利克雷原理闡述了黎曼映射定理 ，成為函數(shù)的幾何理論的基礎(chǔ)。1853年定義了黎曼積分并研究了三角級(jí)數(shù)收