某科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix61課件

1、第 6 章 矩陣的Kronecker積和Hadamard積The Kronecker Product and Hadamard Product概述： 主要內(nèi)容：介紹Kronecker積和Hadamard積討論 K-積，H-積的運(yùn)算性質(zhì)、之間的關(guān)系 K-積與矩陣乘積的關(guān)系 K-積，H-積的矩陣性質(zhì) K-積的矩陣等價(jià)與相似關(guān)系應(yīng)用：求解矩陣方程 向量化算子重點(diǎn)：K-積及其應(yīng)用 6.1 Kronecker積和Hadamard積的定義定義6.1（P. 136） 設(shè)矩陣 A=aijmn和 B=bijst ，則A和B的 Kronecker被定義為 AB： AB=aijBmsnt 設(shè)A =aijmn和 B=

2、bijmn為同階矩陣，則A和B的Hadamard被定義為 AB： AB= aijbijm n 6.1 K-積和H-積的定義例題1 設(shè) ，計(jì)算 AB，BA，I2B，AB，I2A例題1 設(shè) ，計(jì)算 AB，BA，I2B，AB，I2A分塊對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣 6.1 K-積和H-積的定義例題2 設(shè)分塊矩陣A = (Ast)，則 AB = (Ast B)特別地，若A = (A1, A2, , An)，則 AB = (A1B, A2B, AnB)例題3 快速Walsh(Hadamard)變換 yN = HNxN， 其中于是有 6.1 K-積和H-積的定義例題2 設(shè)分塊矩陣A = (Ast)，則 AB = (A

3、st B)特別地，若A = (A1, A2, , An)，則 AB = (A1B, A2B, AnB)例題3 快速Walsh(Hadamard)變換 yN = HNxN， 其中于是有 6.1 K-積和H-積的定義K-積，H-積的基本結(jié)果： A和B中有一個(gè)為零矩陣，則 AB=0，AB=0 II=I，II=I 若A為對(duì)角矩陣，則AB為分塊對(duì)角矩陣，AB為對(duì)角矩陣。K-積的基本性質(zhì) 定理6.1（P. 138）設(shè)以下矩陣使計(jì)算有意義，則(kA)B = A(kB)A(B + C) = AB + AC(AB)C = A(BC)(AB)H = AH BHAB BAH-積的基本性質(zhì)： 設(shè)A，B為同階矩陣，則

4、AB = BA (kA)B = A(kB) A(B + C) = AB + AC (AB)C = A(BC) (AB)H = AH BHKronecker和Hadamard的關(guān)系： 定理6.3（P. 139） AB 可由AB的元素構(gòu)成。K-積與矩陣乘法 定理6.2（P. 138）設(shè)矩陣A，B，C，D使得下列運(yùn)算有意義，則有 (AB) (CD) = (AC) (BD) 意義：建立Kronecker積和矩陣乘法的相互轉(zhuǎn)換。 特別情形：設(shè) AFmm ，B Fnn，則 AB = (ImA)(BIn) = (AIm)(InB) = (ImB) (AIn) = (AIn) (ImB) (AB) k = A

5、k Bk(A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2)(A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)6.2 Kronecker積和Hadamard積的性質(zhì)Kronecker積的矩陣性質(zhì)定理6.4 （P. 140）設(shè)矩陣使下列運(yùn)算有意義，則當(dāng)A，B分別為可逆矩陣時(shí)，AB和BA均為可逆矩陣，而且有 (AB)1 = A1 B1當(dāng)方陣AFmm，BFnn時(shí)，方陣ABFmnmn的行列式為 |AB| = |BA| = |A|n |B|m若A，B是Hermite矩陣，則AB 和BA均是Hermite矩陣若A，B是酉矩陣，則AB和BA均是酉矩陣。Krone

6、cker與矩陣等價(jià)、相似關(guān)系定理6.5（P. 141）設(shè)矩陣A，B，為等價(jià)矩陣，則(AI)等價(jià)于(BI)設(shè)方陣A相似與JA，方陣B相似于JB，則(AB) 相似于(JAJB) K-積特征值和特征向量定理6.6（P . 142）設(shè)AFmm 的特征值、特征向量分別是i，xi，B Fnn的特征值、特征向量分別是 j ， yj，則(AB) 的特征值是ij 。特征向量是(xiyj) 。(AIn) +(ImB) 的特征值是i + j ，特征向量是(xiyj) Kronecker和，記為AB Kronecker與矩陣等價(jià)、相似關(guān)系推論 若A，B正定（半正定），則AB和AB均正定（半正定）； 若A相似于JA，B

7、相似于JB，則 AB 相似于 JAJB，AB 相似于 JAJB。更一般的結(jié)果：定理6.7（P. 142） 的特征值為Kronecker積的矩陣函數(shù)性質(zhì)定理6.8（P. 143）設(shè)是f(z)解析函數(shù)，f(A)有意義，則 f(IA) = If(A) f(AI) = f(A)I特例： 定理的證明思路：利用定理5.12，矩陣函數(shù)可由多項(xiàng)式表示。也可以直接用極限性質(zhì)證明。SN(IA) = ISN(A)SN(AI) = SN(A)I例題1 設(shè) AFmn，BFst ，證明 rank (A B) = rank (A) rank (B)例題2（P . 144） ，設(shè) ， 求(AB)的特征值和特征向量 求(AI)

8、 +(IB)的特征值和特征向量 例題3：證明對(duì)任何方陣A, B, 有Hadamard積的性質(zhì)定理6.9（Schur積定理）設(shè)A、B為同階方陣。若A和B半正定（正定），則AB亦半正定（正定）。證明思路：利用定理3.6，有推出 AB可表示為6. 3 矩陣的向量化算子和K-積向量化算子Vec: Fmn Fmn定義（P . 143）設(shè) A = aijmn , 則 Vec(A) = (a11 a21 am1； a12 a22 am2 ； a1n a2n amn)T 性質(zhì)：（P. 146）Vec是線性算子，并保持線性關(guān)系不變： Vec (k1A+k2B) = k1Vec (A) + k2Vec (B) 2

9、. 定理6. 10（P. 146）Vec(ABC) = (CT A)VecB 3. Vec(AX) = (I A)VecX4. Vec(XC) = (CTI)VecX令 B = X, C = I令 B = X, A = I用向量化算子求解矩陣方程思想：用Vec算子，結(jié)合Kronecker積將矩陣方程化為線性方程組求解。 1、AFmm，BFnn，DFmn，AX+XB = D分析： AX + XB = D (IA + BTI)VecX = VecDG = (IA + BTI)，方程有惟一解的充要條件是G為可逆矩陣，即A和-B沒(méi)有共同的特征值。例題1 （P. 147）用向量化算子求解矩陣方程2、A，

10、XFnn，AX XA = kX分析： AX XA = kX (I AATI)VecX = kVecX H = (IA ATI)，方程 (kI H)y = 0 有非零解的充要條件是k為H的特征值，k = i j。例題2 求解矩陣方程 AX XA = 2X 用向量化算子求解矩陣方程3 A，B，D，XFnn ，AXB = D分析：AXB = D (BTA)VecX = VecD L = BT A ，方程有惟一解的充要條件是L為可逆矩陣.例題3 求解方程 A1XB1+ A2XB2 = D例題4 設(shè)A Cmm，B Cnn，D Fmn，證明譜半徑 (A) (B) 1 時(shí)方程： X = AXB + D 的解為證用向量化算子求解矩陣微分方程A，B，XFnn ， X(t) = AX(t) +X(t)B, X(t0) = C VecX(t) = (I A+BTI)VecX(t), VecX(t0) = VecC。交換矩陣Kmn及其性質(zhì)定理6.11 (1) (2) (3) 定理6.12 設(shè) 則 定理6.13 設(shè) 則 復(fù)習(xí)選講：線性空間的表示線性變換與變換矩陣線性變換的確定方法相應(yīng)變換矩陣的求法矩陣分解與空間分解準(zhǔn)對(duì)角矩陣分解與不變子空間的分解可對(duì)角化矩陣的分解與特征子空間的分解冪等矩陣的空間分解JA，mA() ，f() =|I-A | 之間的關(guān)系A(chǔ)與f