截面的幾何性質(zhì)課件

1、附錄I 截面的幾何性質(zhì) I.1 截面的靜矩和形心I.2 慣性矩 慣性積I.3 平行移軸公式 組合截面慣性矩和慣性積I.4 轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸和主慣性矩I.1.1 靜矩 （面積矩）I.1 截面的靜矩和形心1、定義dA對(duì) y 軸的微靜矩:2、量綱：長(zhǎng)度3；單位：m3、cm3、mm3。dA對(duì) x 軸的微靜矩:3、靜矩的值可以是正值、負(fù)值、或零。OxydA xy4、靜矩和形心的關(guān)系 平面圖形的形心公式結(jié)論： 圖形對(duì)過(guò)形心的軸的靜矩為零。 若圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則此軸一定過(guò)圖形的形心。靜矩和形心的關(guān)系xyO dA xyxCCyC組合圖形: 由若干個(gè)基本圖形組合而成的圖形基本圖形: 面積、形心位置已知的

2、圖形I.1.2 組合圖形的靜矩：組合圖形對(duì)于某一軸的靜矩，等于圖形各組成部分對(duì)于同一軸靜矩之代數(shù)和。例-1 求圖示半圓形的靜矩Sx、Sy。解：由對(duì)稱性取平行于 x 軸的狹長(zhǎng)條作為微面積 dAORxyydyI.2 慣性矩 慣性積1、定義：dA 對(duì) x 軸的慣性矩:dA 對(duì) y 軸的慣性矩:2、量綱：m4、mm4。3、慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩：（對(duì)O點(diǎn)而言）圖形對(duì) x 軸的慣性矩:圖形對(duì) y 軸的慣性矩:I.2.1 慣性矩 OxydA xy 圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。bhxccyc 圓形截面的慣性矩：實(shí)心

3、（直徑D）空心（外徑D，內(nèi)徑d） 矩形截面的慣性矩：b dyh dx6、慣性半徑：1、定義：2、量綱：長(zhǎng)度4，單位：m4、mm4。3、慣性積是對(duì)軸而言。4、慣性積的取值為正值、負(fù)值、零。5、規(guī)律： 兩坐標(biāo)軸中，只要有一個(gè)軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零。I.2.2 慣性積 OxydA xyI.3 平行移軸公式I.3.1 平行移軸公式 圖形截面積 A，形心坐標(biāo) xc、 yc ，對(duì)形心軸的慣性矩和慣性積分別為 Ixc、Iyc、 Ixcyc，a、b 已知。xc 軸平行于 x 軸；yc 軸平行于 y 軸。求：Iz、Iy。xyOCbaycxcdAycxcxy同理xyOCbaycxcdAy

4、cxcxy平行移軸公式注意： xC、yC 為形心軸 a、b 為圖形形心 C 在 Oxy 坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負(fù)I.3.2 組合截面的慣性矩 慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得 組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：例 I-2 求 T 形截面對(duì)其形心軸 yc 的慣性矩。解：將截面分成兩個(gè)矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對(duì)稱軸 zc 上。取過(guò)矩形 2 的形心且平行于底邊的 y 軸作為參考軸形心坐標(biāo)zC2014010020zcycy12zC例I-3 求圖示直徑為 d 的半圓對(duì)其自身形心軸 xc 的慣性矩。解：xydycCx

5、cb(y)取平行于 x 軸的狹長(zhǎng)條作為微面積 dA求對(duì)形心軸 xc 的慣性矩由平行移軸公式得： 例I-4 試求圖示截面對(duì)于對(duì)稱軸 x 的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。1、矩形對(duì) x 軸的慣性矩：2、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸的慣性矩xyCd=8040100a=10040 a+2d3p3、一個(gè)半圓對(duì) x 的慣性矩4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸 x 的慣性矩I.4.1 轉(zhuǎn)軸公式 I.4 轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸 主慣性矩dA 在坐標(biāo)系 Oxy 的坐標(biāo)為（x，y ）慣性矩定義xyOxyAdAx1y1a已知：Ix、Iy、Ixy。 求：Ix1、Iy1、Ix1y1。ax1y1 dA 在坐標(biāo)系Ox1y1 的坐

6、標(biāo)（x1 ， y1 ）BDEC 利用二倍角函數(shù)，得 轉(zhuǎn)軸公式 ： 的符號(hào)為：從 x 軸至 x1 軸 逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。表明: 截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為 一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩前兩式相加I.4.2 主慣性軸和主慣性矩令可求得 a0 和 a0 + 90 兩個(gè)角度，從而確定兩根軸 x0 ，y0 ，且由求出 代入轉(zhuǎn)軸公式可得：2、主慣性矩（主矩）： 圖形對(duì)主軸的慣性矩 Ix0、Iy0 稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對(duì)過(guò)該點(diǎn)的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。由此引出幾個(gè)概念：1、主慣性軸（主軸）： 如果圖形對(duì)過(guò)某點(diǎn)的某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，則該對(duì)

7、軸為圖形過(guò)該點(diǎn)的主慣性軸。（Ix0y0 =0 ，x0，y0 軸為主軸）。3、形心主慣性軸（形心主軸）： 如果圖形的兩個(gè)主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（ Ixcyc = 0。 xc、yc 為形心軸。xc、yc 為形心主軸）。 4、形心主慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。（Ixc、Iyc）。幾個(gè)結(jié)論: 若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過(guò)形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。 若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。 若截面有三根對(duì)稱軸，則通過(guò)形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。求截面形心主慣性矩的基本步驟1)、建立坐標(biāo)系。2)、求形心位置。3)、建立形心坐標(biāo)系，并求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc4)、確定形心主軸位置 0 ：5)、求形心主慣性矩例I-5 確定圖示截面的形心主慣性軸位置，并計(jì)算形心主慣性矩。解：(1)首先確定圖形的形心。矩形 I：11707080801111IIIIII11Cxy 利用平行移軸公式分別求出各矩形對(duì) x 軸和 y 軸的慣性矩和慣性積。11707080